भौतिकी 1: यांत्रिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

54 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 5.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 54 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

गेंद A को 35 m की ऊँचाई से विराम से गिराया जाता है। उसी क्षण गेंद B को ठीक नीचे ज़मीन से 30 m/s से सीधे ऊपर फेंका जाता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वे ज़मीन से किस ऊँचाई y पर मिलती हैं?

H = 35 mv_0B = 30 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक 15 kg स्लेज को क्षैतिज से 20° ऊपर एक रस्सी से 130 N के बल से समतल बर्फ़ पर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.4 है। g = 9.81 m/s² लें। स्लेज का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 15 kgF = 130 Nθ = 20°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

समतल फ़र्श पर दो गुटके एक हल्की क्षैतिज डोरी से जुड़े हैं। 35 N का एक क्षैतिज बल आगे वाले 2 kg गुटके को खींचता है; 6 kg गुटका पीछे घसीटा जाता है। दोनों गुटकों के लिए गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। गुटकों का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 6 kgm₂ = 2 kgF = 35 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 75° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 15 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 75°R = 15 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 30 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 55° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 13 m/sθ = 55°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार सड़क के एक उभार के शीर्ष पर से गुज़रती है, जो 35 m त्रिज्या का वृत्तीय चाप है। g = 9.81 m/s² लें। किस चाल v_max से ऊपर शीर्ष पर पहिए सड़क छोड़ देते हैं?

r = 35 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

190 m त्रिज्या का एक मोड़ 25° पर ढलवाँ है, और टायरों तथा सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। वह न्यूनतम चाल v_min ज्ञात कीजिए जिस पर कोई कार ढलान से नीचे फिसले बिना मोड़ पार कर सकती है।

r = 190 mθ = 25°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 20° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। ढलान के साथ 7 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 20°μ = 0.1d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

40° ढलान के तल पर 3000 N/m कठोरता वाले एक स्प्रिंग को एक 3 kg गुटके के विरुद्ध 10 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। गुटके और ढलान के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। रुकने से पहले गुटका छोड़ने के बिंदु से ढलान पर कितनी दूर d ऊपर जाता है? (स्प्रिंग के धकेलने वाली छोटी दूरी को नगण्य मानें, अर्थात घर्षण और गुरुत्व को पूरी दूरी d पर लें।)

m = 3 kgk = 3000 N/mx = 10 cmθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

7 m/s से चल रही एक 700 kg कार खड़ी 1200 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। मूल गतिज ऊर्जा का कितना प्रतिशत ΔK/K नष्ट होता है?

m₁ = 700 kgv₁ = 7 m/sm₂ = 1200 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.संवेग और टक्करेंकठिन

0.45 kg की एक गेंद 18 m/s से दीवार से टकराती है और 6 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 40 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल F_avg ज्ञात कीजिए।

m = 0.45 kgv_in = 18 m/sv_out = 6 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

k = 20 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 0.2 kg द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 17 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 16 cm पर होने पर उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 0.2 kgk = 20 N/mA = 17 cmx = 16 cm

v = m/s

14.स्प्रिंग और लोलककठिन

100 m/s से चलती एक 20 g गोली घर्षणरहित सतह पर रखे 2 kg गुटके से टकराकर उसमें रह जाती है। गुटका k = 900 N/m वाले एक क्षैतिज स्प्रिंग से जुड़ा है। परिणामी दोलन का आयाम A cm में ज्ञात कीजिए।

m = 20 gv = 100 m/sM = 2 kgk = 900 N/m

A = cm

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक वस्तु 20 cm फोकस दूरी वाले पतले अपसारी लेंस के सामने 8 cm पर रखी है। प्रतिबिंब दूरी d_i ज्ञात करें। चिह्न परिपाटी 1/f = 1/d_o + 1/d_i का उपयोग करें (अपसारी लेंस के लिए f < 0, आभासी प्रतिबिंब के लिए d_i < 0)।

d_o = 8 cmf = −20 cm

d_i = cm

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

एक वस्तु 40 cm वक्रता त्रिज्या वाले अवतल दर्पण के सामने 50 cm पर है। आवर्धन m ज्ञात करें (उल्टे प्रतिबिंब के लिए ऋणात्मक)।

d_o = 50 cmR = 40 cm

m =

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 20.45 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·5.5) = 20.45 m

उत्तर

s = 20.45 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: y = 28.32 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

मिलने का समय

ऊपर धनात्मक है, ज़मीन y = 0 है।

35 − ½g·t² = 30·t − ½g·t² → t = 35/30 = 1.167 s

मिलने की ऊँचाई

y = 30·1.167 − ½·9.81·1.167² = 28.32 m

उत्तर

y = 28.32 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 5.406 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

अभिलंब बल

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 130·sin 20° = 102.7 N

क्षैतिज बल

m·a = F·cos θ − μ·N = 122.2 − 41.07

a = 81.09/15 = 5.406 m/s²

उत्तर

a = 5.406 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 2.413 m/s²

पूरा तंत्र

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (35 − 15.7)/8 = 2.413 m/s²

उत्तर

a = 2.413 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 17.16 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·15/sin 150°) = 17.16 m/s

उत्तर

v₀ = 17.16 m/s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 3.786 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 55° = 7.456 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 55° = 10.65 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 30 + 10.65·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.65 + √(113.4 + 588.6))/9.81 = 3.786 s

उत्तर

t = 3.786 s

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 18.53 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

अभिलंब बल शून्य

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·35) = 18.53 m/s

उत्तर

v_max = 18.53 m/s

(66.71 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: v_min = 19 m/s

बल संतुलन

घर्षण ढलान के ऊपर की ओर है।

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

चाल

v = √(190·9.81·0.196/1.012) = 19 m/s

उत्तर

v_min = 19 m/s

(68.41 km/h)

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 5.837 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·7·(0.342 − 0.1·0.9397)) = 5.837 m/s

उत्तर

v = 5.837 m/s

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: d = 0.6403 m

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·3000·0.1² = 15 J

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 15/(29.43·(0.6428 + 0.2·0.766)) = 0.6403 m

उत्तर

d = 0.6403 m

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK/K = 63.16 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·7/1900 = 2.579 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·700·7² = 17150 J

K_after = ½·1900·2.579² = 6318 J

नष्ट अंश

ΔK/K = 10832/17150 = 63.16 %

उत्तर

ΔK/K = 63.16 %

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: F_avg = 270 N

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.45·(6 + 18) = 10.8 N·s

औसत बल

F_avg = J/Δt = 10.8/0.04 = 270 N

उत्तर

F_avg = 270 N

13.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v = 0.5745 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = √(20/0.2) = 10 rad/s

x पर चाल

v = ω·√(A² − x²) = 10·√(0.17² − 0.16²) = 0.5745 m/s

उत्तर

v = 0.5745 m/s

14.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: A = 4.691 cm

टक्कर के बाद चाल

V = m·v/(m + M) = 0.02·100/2.02 = 0.9901 m/s

कोणीय आवृत्ति

ω = √(k/(m + M)) = √(900/2.02) = 21.11 rad/s

आयाम

A = V/ω = 0.9901/21.11 = 0.04691 m = 4.691 cm

उत्तर

A = 4.691 cm

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: d_i = −5.714 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

पतले लेंस का समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−20) − 1/8

d_i = −5.714 cm

किरण आरेख

आभासी, वस्तु की ही ओर

उत्तर

d_i = −5.714 cm

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: m = −0.6667

फोकस दूरी

f = R/2 = 20 cm

दर्पण समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/50

d_i = 33.33 cm

आवर्धन

m = −33.33/50 = −0.6667

उत्तर

m = −0.6667

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