भौतिकी 1: यांत्रिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

90 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 4 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेक लगाने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 90 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक मॉडल रॉकेट विराम से सीधे ऊपर प्रक्षेपित किया जाता है। इसका इंजन इसे 2.5 s तक 36 m/s² का स्थिर ऊर्ध्वमुखी त्वरण देता है, जिसके बाद इंजन बंद हो जाता है और रॉकेट मुक्त रूप से चलता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। रॉकेट द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

a = 36 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक 20 kg डिब्बे को ढलान के समांतर बल से क्षैतिज से 15° पर झुके रैंप पर स्थिर चाल से ऊपर धकेला जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। धकेलने वाला बल F ज्ञात कीजिए।

m = 20 kgθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.न्यूटन के नियमकठिन

समतल फ़र्श पर दो गुटके एक हल्की क्षैतिज डोरी से जुड़े हैं। 80 N का एक क्षैतिज बल आगे वाले 2 kg गुटके को खींचता है; 1 kg गुटका पीछे घसीटा जाता है। दोनों गुटकों के लिए गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। जोड़ने वाली डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1 kgm₂ = 2 kgF = 80 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 20 m/s से क्षैतिज से 30° ऊपर 7 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 20 m/sθ = 30°x = 7 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 25 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 27 m/s से क्षैतिज से 45° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। चट्टान के आधार पर ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 27 m/sθ = 45°h = 25 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 135 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.8 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 135 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

1.1 m लंबी डोरी से बँधी एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। g = 9.81 m/s² लें। शीर्ष पर वह न्यूनतम चाल v_min क्या है जिस पर डोरी ठीक तनी रहती है?

r = 1.1 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 35° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। ढलान के साथ 3 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 35°μ = 0.3d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 2 kg गुटका 20° की ढलान के तल पर विराम से शुरू होता है और ढलान के समांतर 20 N के स्थिर बल से ऊपर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। ढलान पर 3 m ऊपर चलने के बाद गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgF = 20 Nθ = 20°μ = 0.25d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

एक 12 g गोली हल्की डोरियों पर लटके 3.5 kg लकड़ी के गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसके अंदर रह जाती है। गुटका प्रारंभ से 6 cm ऊँचा होने तक ऊपर झूलता है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 12 gM = 3.5 kgh = 6 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 5 g गोली 2 m लंबी हल्की डोरियों से लटके 5 kg गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसमें रह जाती है। डोरियाँ ऊर्ध्वाधर से अधिकतम 30° के कोण तक झूलती हैं। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 5 gM = 5 kgL = 2 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

एक सरल लोलक की लंबाई 0.7 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।

L = 0.7 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.स्प्रिंग और लोलककठिन

एक पिंड 2.3 s आवर्तकाल और 15 cm आयाम के साथ सरल आवर्त गति में दोलन करता है। अपने अधिकतम 15 cm विस्थापन से 10.5 cm विस्थापन तक जाने में इसे न्यूनतम कितना समय t लगता है?

T = 2.3 sA = 15 cmx = 10.5 cm

t = s

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक सिरे पर बंद नली का संनादी संख्या 5 572 Hz पर होना चाहिए। ध्वनि की चाल 343 m/s है। नली की लंबाई L ज्ञात करें।

v = 343 m/sn = 5f₅ = 572 Hz

L = m

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

एक प्रकाशिक तंतु का क्रोड n₁ = 1.62 का है और आवरण n₂ = 1.54 का। तंतु अक्ष से वह अधिकतम कोण θ_a ज्ञात करें जिस पर हवा से आया प्रकाश तंतु के सिरे में प्रवेश कर पूर्ण आंतरिक परावर्तन द्वारा निर्देशित हो सके।

n₁ = 1.62n₂ = 1.54n₀ = 1.00

θ_a = °

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 6.25 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

ब्रेकिंग समय

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/4 = 6.25 s

उत्तर

t = 6.25 s

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 525.3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

संचालित चरण

v₁ = 36·2.5 = 90 m/s

h₁ = ½·36·2.5² = 112.5 m

ऊपर की ओर मुक्त उड़ान

शीर्ष पर वेग शून्य है।

Δh = v₁²/(2g) = 90²/(2·9.81) = 412.8 m

h_max = 112.5 + 412.8 = 525.3 m

उत्तर

h_max = 525.3 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: F = 88.68 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ढलान के अनुदिश बल

स्थिर चाल: बल संतुलित हैं।

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

धकेलने वाला बल

F = 50.78 + 37.9 = 88.68 N

उत्तर

F = 88.68 N

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 26.67 N

पूरा तंत्र

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (80 − 8.829)/3 = 23.72 m/s²

केवल पिछला गुटका

T = m₁·(a + μ·g) = 1·(23.72 + 2.943) = 26.67 N

उत्तर

T = 26.67 N

दोनों गुटकों पर समान μ होने से घर्षण हट जाता है: T = F·m₁/(m₁ + m₂)।

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 3.24 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 20·cos 30° = 17.32 m/s

t = x/v_x = 7/17.32 = 0.4041 s

उस समय ऊँचाई

y = 10·0.4041 − ½·9.81·0.4041² = 3.24 m

उत्तर

y = 3.24 m

दीवार पर गेंद अभी ऊपर उठ रही है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 43.58 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण चाल

v_y = 27·sin 45° = 19.09 m/s

चट्टान से ऊपर उठान

Δh = v_y²/(2g) = 19.09²/(2·9.81) = 18.58 m

ज़मीन से ऊँचाई

H = 25 + 18.58 = 43.58 m

उत्तर

H = 43.58 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 32.55 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·135) = 32.55 m/s

उत्तर

v_max = 32.55 m/s (117.2 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: v_min = 3.285 m/s

शीर्ष पर तनाव शून्य

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.1) = 3.285 m/s

उत्तर

v_min = 3.285 m/s

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 4.393 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·3·(0.5736 − 0.3·0.8192)) = 4.393 m/s

उत्तर

v = 4.393 m/s

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 5.103 m/s

ढलान के अनुदिश बल

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

mg·sin θ = 6.71 N

μ·mg·cos θ = 4.609 N

कार्य–ऊर्जा

½mv² = (20 − 11.32)·3 = 26.04 J

v = √(2·26.04/2) = 5.103 m/s

उत्तर

v = 5.103 m/s

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 317.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

टक्कर के बाद झूलना

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.06) = 1.085 m/s

टक्कर

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 3.5)·1.085/0.012 = 317.5 m/s

उत्तर

v = 317.5 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 2295 m/s

गुटके का उठान

h = L·(1 − cos θ) = 2·(1 − cos 30°) = 0.2679 m

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·9.81·0.2679) = 2.293 m/s

टक्कर

v = (m + M)·V/m = 5.005·2.293/0.005 = 2295 m/s

उत्तर

v = 2295 m/s

13.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: T = 1.678 s

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लोलक का आवर्तकाल

T = 2π·√(0.7/9.81) = 1.678 s

उत्तर

T = 1.678 s

14.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: t = 0.2912 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = 2π/T = 2π/2.3 = 2.732 rad/s

समय के लिए हल करें

0.7 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.7) = 0.7954 rad

t = 0.7954/2.732 = 0.2912 s

उत्तर

t = 0.2912 s

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: L = 0.7496 m

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

तरंगदैर्ध्य

λ = v/f = 343/572 = 0.5997 m

लंबाई

L = nλ/4 = 5·0.5997/4 = 0.7496 m

उत्तर

L = 0.7496 m

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ_a = 30.18 °

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

आवरण पर क्रांतिक कोण

sin θc = 1.54/1.62 = 0.9506 → θc = 71.92°

संख्यात्मक द्वारक

NA = √(1.62² − 1.54²) = 0.5028

स्वीकृति कोण

θ_a = arcsin(0.5028) = 30.18°

उत्तर

θ_a = 30.18°

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