भौतिकी 1: यांत्रिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

स्थिर 28 m/s से तेज़ चल रही एक कार खड़ी पुलिस कार के पास से गुज़रती है। उसी क्षण पुलिस कार चल पड़ती है और 2 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होती है। पुलिस कार अपने प्रारंभिक बिंदु से कितनी दूर पकड़ती है? d ज्ञात कीजिए।

v_car = 28 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक ट्राम विराम से शुरू होकर 11 s तक 2 m/s² से त्वरित होती है, फिर 12 s तक स्थिर चाल से चलती है, और अंत में रुकने तक 4.5 m/s² से ब्रेक लगाती है। कुल यात्रा समय t ज्ञात कीजिए।

a₁ = 2 m/s²t₁ = 11 st₂ = 12 sa₃ = −4.5 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक 40 kg स्लेज को क्षैतिज से 20° ऊपर एक रस्सी से 100 N के बल से समतल बर्फ़ पर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। स्लेज का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 40 kgF = 100 Nθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 7 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 2 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 7 kgm₂ = 2 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 40° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 16 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 37 m/s से क्षैतिज से 45° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 19 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 37 m/sθ = 45°h_roof = 19 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

90 m त्रिज्या का एक मोड़ 15° पर ढलवाँ है। किस चाल v पर कोई कार बिना किसी घर्षण की ज़रूरत के इसे पार कर सकती है? g = 9.81 m/s² लें।

r = 90 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

एक छोटी गाड़ी घर्षणरहित ट्रैक पर विराम से छोड़ी जाती है और 5 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर लूप में जाती है। लूप के शीर्ष पर ट्रैक पर बने रहने के लिए उसे लूप के तल से कम से कम किस ऊँचाई h_min से शुरू होना चाहिए?

R = 5 mv₀ = 0

h_min = m

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 1200 kg कार 5° की ढलान पर स्थिर 72 km/h से ऊपर चढ़ती है। वायु प्रतिरोध और लोटनिक प्रतिरोध मिलकर 400 N हैं। पहियों द्वारा दी जाने वाली आवश्यक शक्ति P, kW में ज्ञात कीजिए।

m = 1200 kgθ = 5°F_r = 400 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

1 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 2.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 3.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.15) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 5000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgh = 2.5 mL = 3.5 mμ = 0.15k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

22 m/s से चल रही एक 1400 kg कार खड़ी 1900 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 1400 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 2000 kg कार एक खड़ी 1600 kg कार से टकराती है। मलबे आपस में जुड़ जाते हैं और रुकने से पहले 9 m फिसलते हैं। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.8 है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से ठीक पहले पहली कार की चाल v₁ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 2000 kgm₂ = 1600 kgd = 9 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

k = 40 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 1.5 kg द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 18 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 10 cm पर होने पर उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 1.5 kgk = 40 N/mA = 18 cmx = 10 cm

v = m/s

14.स्प्रिंग और लोलककठिन

200 m/s से चलती एक 12 g गोली घर्षणरहित सतह पर रखे 3 kg गुटके से टकराकर उसमें रह जाती है। गुटका k = 200 N/m वाले एक क्षैतिज स्प्रिंग से जुड़ा है। परिणामी दोलन का आयाम A cm में ज्ञात कीजिए।

m = 12 gv = 200 m/sM = 3 kgk = 200 N/m

A = cm

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

3 cm ऊँची एक वस्तु 20 cm फोकस दूरी वाले पतले अभिसारी लेंस के सामने 8 cm पर रखी है। प्रतिबिंब की ऊँचाई h_i ज्ञात करें (उल्टे प्रतिबिंब के लिए ऋणात्मक)।

h_o = 3 cmd_o = 8 cmf = 20 cm

h_i = cm

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

प्रति मिलीमीटर 600 रेखाओं वाली झरझरी किसी वर्णक्रम रेखा का कोटि-1 उच्चिष्ठ सीधी दिशा से 19.3° पर दिखाती है। रेखा की तरंगदैर्ध्य λ ज्ञात करें।

N = 600 mm⁻¹θ₁ = 19.3°m = 1

λ = nm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 784 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

समान दूरियाँ

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·28/2 = 28 s

दूरी

d = v·t = 28·28 = 784 m

उत्तर

d = 784 m

उस क्षण पुलिस कार 2v = 56 m/s से चलती है।

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 27.89 s

अधिकतम चाल

v = a₁·t₁ = 2·11 = 22 m/s

ब्रेकिंग समय

t₃ = v/a₃ = 22/4.5 = 4.889 s

कुल समय

t = 11 + 12 + 4.889 = 27.89 s

उत्तर

t = 27.89 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 1.454 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

अभिलंब बल

N = m·g − F·sin θ = 392.4 − 100·sin 20° = 358.2 N

क्षैतिज बल

m·a = F·cos θ − μ·N = 93.97 − 35.82

a = 58.15/40 = 1.454 m/s²

उत्तर

a = 1.454 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 1.417 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 6.867)/9 = 1.417 m/s²

उत्तर

a = 1.417 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 2.097 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 40° = 12.26 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 40° = 10.28 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·10.28/9.81 = 2.097 s

उत्तर

t = 2.097 s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 116.9 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 26.16 m/s, v_y = 26.16 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

19 = 26.16·t − 4.905·t²

t = (26.16 + √(26.16² − 2·9.81·19))/9.81 = 4.467 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 26.16·4.467 = 116.9 m

उत्तर

x = 116.9 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v = 15.38 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

बल संतुलन

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

चाल

v = √(r·g·tan θ) = √(90·9.81·tan 15°) = 15.38 m/s

उत्तर

v = 15.38 m/s

(55.37 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: h_min = 12.5 m

शीर्ष पर शर्त

m·g = m·v²/R → v² = g·R

ऊर्जा संरक्षण

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·5 = 12.5 m

उत्तर

h_min = 12.5 m

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: P = 28.52 kW

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। शक्ति बल गुणा चाल है: P = F·v।

चालक बल

m·g = 1200·9.81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 5° = 1026 N

F = 1026 + 400 = 1426 N

शक्ति

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1426·20 = 28520 W = 28.52 kW

उत्तर

P = 28.52 kW

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 8.803 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 9.81·(2.5 − 0.15·3.5) = 19.37 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 19.37 → x = √(2·19.37/5000) = 0.08803 m = 8.803 cm

उत्तर

x = 8.803 cm

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 195067 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·22/3300 = 9.333 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·1400·22² = 338800 J

K_after = ½·3300·9.333² = 143733 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 338800 − 143733 = 195067 J

उत्तर

ΔK = 195067 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v₁ = 21.39 m/s

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·9) = 11.89 m/s

टक्कर में संवेग

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3600·11.89/2000 = 21.39 m/s

उत्तर

v₁ = 21.39 m/s

(77.02 km/h)

13.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v = 0.7729 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = √(40/1.5) = 5.164 rad/s

x पर चाल

v = ω·√(A² − x²) = 5.164·√(0.18² − 0.1²) = 0.7729 m/s

उत्तर

v = 0.7729 m/s

14.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: A = 9.778 cm

टक्कर के बाद चाल

V = m·v/(m + M) = 0.012·200/3.012 = 0.7968 m/s

कोणीय आवृत्ति

ω = √(k/(m + M)) = √(200/3.012) = 8.149 rad/s

आयाम

A = V/ω = 0.7968/8.149 = 0.09778 m = 9.778 cm

उत्तर

A = 9.778 cm

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: h_i = 5 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

पतले लेंस का समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/8

d_i = −13.33 cm

आवर्धन और ऊँचाई

m = −(−13.33)/8 = 1.667

h_i = 1.667·3 = 5 cm

उत्तर

h_i = 5 cm

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: λ = 550.9 nm

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

तरंगदैर्ध्य

λ = d·sin θ/m = 1.667 × 10⁻⁶·sin 19.3°/1 = 550.9 nm

उत्तर

λ = 550.9 nm

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