भौतिकी 1: यांत्रिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

स्थिर 18 m/s से तेज़ चल रही एक कार खड़ी पुलिस कार के पास से गुज़रती है। उसी क्षण पुलिस कार चल पड़ती है और 6 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होती है। पुलिस कार को पकड़ने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

v_car = 18 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक मॉडल रॉकेट विराम से सीधे ऊपर प्रक्षेपित किया जाता है। इसका इंजन इसे 1.5 s तक 32 m/s² का स्थिर ऊर्ध्वमुखी त्वरण देता है, जिसके बाद इंजन बंद हो जाता है और रॉकेट मुक्त रूप से चलता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण के कितनी देर बाद यह ज़मीन से टकराता है? t ज्ञात कीजिए।

a = 32 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक 50 kg डिब्बे को ढलान के समांतर बल से क्षैतिज से 25° पर झुके रैंप पर स्थिर चाल से ऊपर धकेला जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। धकेलने वाला बल F ज्ञात कीजिए।

m = 50 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.न्यूटन के नियमकठिन

समतल फ़र्श पर दो गुटके एक हल्की क्षैतिज डोरी से जुड़े हैं। 45 N का एक क्षैतिज बल आगे वाले 7 kg गुटके को खींचता है; 5 kg गुटका पीछे घसीटा जाता है। दोनों गुटकों के लिए गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। गुटकों का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 5 kgm₂ = 7 kgF = 45 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 35° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 38 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

H = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 35 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 34 m/s से क्षैतिज से 40° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। चट्टान के आधार पर ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 34 m/sθ = 40°h = 35 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 140 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.8 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 140 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

1.2 m लंबी डोरी से बँधी 0.4 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 5.5 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 0.4 kgr = 1.2 mv = 5.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 5 kg गेंद 2 m लंबी हल्की डोरी पर लटकी है। उसे तब तक एक ओर खींचा जाता है जब तक डोरी ऊर्ध्वाधर से 50° न बना ले, और विराम से छोड़ा जाता है। जब गेंद निम्नतम बिंदु से गुज़रती है तब डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgL = 2 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

2.5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 2.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 1 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.3) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 2.5 kgh = 2.5 mL = 1 mμ = 0.3k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

6 m/s से चल रहा 3.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 1.5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 3.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

0.2 kg की एक गेंद 25 m/s से दीवार से टकराती है और 5 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 40 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल F_avg ज्ञात कीजिए।

m = 0.2 kgv_in = 25 m/sv_out = 5 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

एक सरल लोलक की लंबाई 2.4 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।

L = 2.4 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 500 N/m वाले स्प्रिंग पर 2.7 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 20 cm खींचकर छोड़ा जाता है। उसकी अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए।

m = 2.7 kgk = 500 N/mA = 20 cm

v_max = m/s

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक छोटा लाउडस्पीकर 0.05 W ध्वनि शक्ति सभी दिशाओं में समान रूप से विकीर्ण करता है। 8 m पर ध्वनि तीव्रता स्तर β ज्ञात करें।

P = 0.05 Wr = 8 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

स्थिर पार्किंग सेंसर 35 kHz की पराश्रव्य ध्वनि एक कार की ओर भेजता है जो 15 m/s से पास आ रही है। सेंसर पर वापस प्राप्त प्रतिध्वनि की आवृत्ति f″ ज्ञात करें (ध्वनि की चाल 343 m/s)।

f = 35 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 6 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

समान दूरियाँ

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·18/6 = 6 s

उत्तर

t = 6 s

उस क्षण पुलिस कार 2v = 36 m/s से चलती है।

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 11.99 s

संचालित चरण

v₁ = 32·1.5 = 48 m/s

h₁ = ½·32·1.5² = 36 m

ज़मीन तक मुक्त उड़ान

−h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

t₂ = (48 + √(48² + 2·9.81·36))/9.81 = 10.49 s

t = 1.5 + 10.49 = 11.99 s

उत्तर

t = 11.99 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: F = 318.4 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ढलान के अनुदिश बल

स्थिर चाल: बल संतुलित हैं।

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

धकेलने वाला बल

F = 207.3 + 111.1 = 318.4 N

उत्तर

F = 318.4 N

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 1.297 m/s²

पूरा तंत्र

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (45 − 29.43)/12 = 1.297 m/s²

उत्तर

a = 1.297 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 24.21 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 35° = 31.13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 35° = 21.8 m/s

उच्चतम बिंदु

शीर्ष पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है: v_y² = 2gH।

H = v_y²/(2g) = 21.8²/(2·9.81) = 24.21 m

उत्तर

H = 24.21 m

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 59.34 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण चाल

v_y = 34·sin 40° = 21.85 m/s

चट्टान से ऊपर उठान

Δh = v_y²/(2g) = 21.85²/(2·9.81) = 24.34 m

ज़मीन से ऊँचाई

H = 35 + 24.34 = 59.34 m

उत्तर

H = 59.34 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 33.15 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·140) = 33.15 m/s

उत्तर

v_max = 33.15 m/s (119.3 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T = 14.01 N

निम्नतम बिंदु पर बल

केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।

T − m·g = m·v²/r

T = 0.4·9.81 + 0.4·5.5²/1.2 = 3.924 + 10.08 = 14.01 N

उत्तर

T = 14.01 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: T = 84.09 N

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।

तल पर चाल

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 50°) = 14.02 m²/s²

तल पर बल

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·14.02/2 = 84.09 N

उत्तर

T = 84.09 N

जाँच: T = mg(3 − 2cos θ) = 84.09 N।

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 46.46 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 24.53·(2.5 − 0.3·1) = 53.96 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 53.96 → x = √(2·53.96/500) = 0.4646 m = 46.46 cm

उत्तर

x = 46.46 cm

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 8.4 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (3.5 − 1.5)/(3.5 + 1.5)·6 = 2.4 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 1.5)·6 = 8.4 m/s

उत्तर

v′₂ = 8.4 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: F_avg = 150 N

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.2·(5 + 25) = 6 N·s

औसत बल

F_avg = J/Δt = 6/0.04 = 150 N

उत्तर

F_avg = 150 N

13.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: T = 3.108 s

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लोलक का आवर्तकाल

T = 2π·√(2.4/9.81) = 3.108 s

उत्तर

T = 3.108 s

14.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v_max = 2.722 m/s

कोणीय आवृत्ति

ω = √(500/2.7) = 13.61 rad/s

अधिकतम चाल

v_max = A·ω = 0.2·13.61 = 2.722 m/s

उत्तर

v_max = 2.722 m/s

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: β = 77.94 dB

तरंगें: आवर्ती तरंग एक आवर्तकाल में एक तरंगदैर्ध्य चलती है, इसलिए v = fλ, जहाँ T = 1/f। तनी हुई डोरी पर v = √(T/μ), जहाँ T तनाव और μ = m/L प्रति मीटर द्रव्यमान है। 20 °C पर वायु में ध्वनि लगभग 343 m/s से चलती है, निर्वात में प्रकाश c = 3.00 × 10⁸ m/s से। प्रबलता लघुगणकीय पैमाने पर मापी जाती है: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, जहाँ I₀ = 10⁻¹² W/m², इसलिए तीव्रता 10 गुनी होने पर 10 dB जुड़ता है। बिंदु स्रोत अपनी शक्ति P को गोले पर फैलाता है: I = P/(4πr²)।

तीव्रता

I = P/(4πr²) = 6.217 × 10⁻⁵ W/m²

स्तर

β = 10·log₁₀(6.217 × 10⁻⁵/10⁻¹²) = 77.94 dB

उत्तर

β = 77.94 dB

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f″ = 38201 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

कार पर आवृत्ति

f′ = 35000·(343 + 15)/343 = 36531 Hz

प्रतिध्वनि की आवृत्ति

f″ = f′·343/(343 − 15) = 38201 Hz

उत्तर

f″ = 38201 Hz

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