भौतिकी 1: यांत्रिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

60 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 1.5 s है, जिसके बाद कार 7 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 60 km/ht_r = 1.5 sa = −7 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 25 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 7 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

v₀ = 7 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक 40 kg डिब्बे को ढलान के समांतर बल से क्षैतिज से 35° पर झुके रैंप पर स्थिर चाल से ऊपर धकेला जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। धकेलने वाला बल F ज्ञात कीजिए।

m = 40 kgθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.न्यूटन के नियमकठिन

एक गुटके को धक्का दिया जाता है ताकि वह 30° के रैंप पर 12 m/s की चाल से ऊपर फिसलना शुरू करे। गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। रुकने से पहले यह रैंप पर कितनी दूर d फिसलता है?

v₀ = 12 m/sθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 36 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 55 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 36 m/sR = 55 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 45 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 15° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 13 m/sθ = 15°h = 45 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.वृत्तीय गतिमध्यम

0.6 m लंबी डोरी पर एक छोटी गेंद क्षैतिज वृत्त में इस तरह चलती है कि डोरी ऊर्ध्वाधर से स्थिर 50° का कोण बनाती है (शंक्वाकार लोलक)। g = 9.81 m/s² लें। गेंद की चाल v ज्ञात कीजिए।

L = 0.6 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

1.2 m लंबी डोरी से बँधी 1 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 7 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgr = 1.2 mv = 7 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 1200 kg कार 4° की ढलान पर स्थिर 72 km/h से ऊपर चढ़ती है। वायु प्रतिरोध और लोटनिक प्रतिरोध मिलकर 750 N हैं। पहियों द्वारा दी जाने वाली आवश्यक शक्ति P, kW में ज्ञात कीजिए।

m = 1200 kgθ = 4°F_r = 750 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 1 kg गाड़ी 6 m की ऊँचाई पर विराम से एक चिकने ट्रैक पर छोड़ी जाती है जो 2 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप में जाता है। लूप के शीर्ष पर गाड़ी की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgh = 6 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

21 m/s से चल रही एक 1100 kg कार खड़ी 1300 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 1100 kgv₁ = 21 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक चौराहे पर 25 m/s से पूर्व की ओर जा रही एक 2000 kg कार 22 m/s से उत्तर की ओर जा रही एक 1600 kg कार से टकराती है। कारें आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर के ठीक बाद मलबे की चाल v′ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 2000 kgv₁ = 25 m/s (E)m₂ = 1600 kgv₂ = 22 m/s (N)

v′ = m/s

13.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

एक सरल लोलक की लंबाई 3 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।

L = 3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.स्प्रिंग और लोलककठिन

300 m/s से चलती एक 8 g गोली घर्षणरहित सतह पर रखे 0.5 kg गुटके से टकराकर उसमें रह जाती है। गुटका k = 900 N/m वाले एक क्षैतिज स्प्रिंग से जुड़ा है। परिणामी दोलन का आयाम A cm में ज्ञात कीजिए।

m = 8 gv = 300 m/sM = 0.5 kgk = 900 N/m

A = cm

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

1.5 cm ऊँची एक वस्तु 25 cm फोकस दूरी वाले पतले अभिसारी लेंस के सामने 40 cm पर रखी है। प्रतिबिंब की ऊँचाई h_i ज्ञात करें (उल्टे प्रतिबिंब के लिए ऋणात्मक)।

h_o = 1.5 cmd_o = 40 cmf = 25 cm

h_i = cm

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

स्थिर पार्किंग सेंसर 25 kHz की पराश्रव्य ध्वनि एक कार की ओर भेजता है जो 15 m/s से दूर जा रही है। सेंसर पर वापस प्राप्त प्रतिध्वनि की आवृत्ति f″ ज्ञात करें (ध्वनि की चाल 343 m/s)।

f = 25 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 44.84 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 16.67·1.5 = 25 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·7) = 19.84 m

कुल

d = 25 + 19.84 = 44.84 m

उत्तर

d = 44.84 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 27.5 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

छत के ऊपर उठान

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 7²/(2·9.81) = 2.497 m

ज़मीन से ऊँचाई

h_max = 25 + 2.497 = 27.5 m

उत्तर

h_max = 27.5 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: F = 289.4 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ढलान के अनुदिश बल

स्थिर चाल: बल संतुलित हैं।

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

धकेलने वाला बल

F = 225.1 + 64.29 = 289.4 N

उत्तर

F = 289.4 N

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: d = 9.66 m

मंदन

दोनों बल ढलान के नीचे की ओर हैं; द्रव्यमान कट जाता है।

a = 9.81·(sin 30° + 0.3·cos 30°) = 7.454 m/s²

दूरी

d = v₀²/(2a) = 12²/(2·7.454) = 9.66 m

उत्तर

d = 9.66 m

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 12.3 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·55/36² = 0.4163

कोण

2θ = 24.6° → θ = 12.3°

उत्तर

θ = 12.3°

दूसरा हल 90° − θ = 77.7° है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 3.391 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 15° = 12.56 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 15° = 3.365 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 45 + 3.365·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (3.365 + √(11.32 + 882.9))/9.81 = 3.391 s

उत्तर

t = 3.391 s

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v = 2.318 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

वृत्त की त्रिज्या

r = L·sin θ = 0.6·sin 50° = 0.4596 m

चाल

तनाव और गुरुत्व मिलकर अंदर की ओर बल देते हैं: tan θ = v²/(r·g)।

v = √(r·g·tan θ) = √(0.4596·9.81·tan 50°) = 2.318 m/s

उत्तर

v = 2.318 m/s

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T = 50.64 N

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

निम्नतम बिंदु पर बल

केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।

T − m·g = m·v²/r

T = 1·9.81 + 1·7²/1.2 = 9.81 + 40.83 = 50.64 N

उत्तर

T = 50.64 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: P = 31.42 kW

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। शक्ति बल गुणा चाल है: P = F·v।

चालक बल

m·g = 1200·9.81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 4° = 821.2 N

F = 821.2 + 750 = 1571 N

शक्ति

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1571·20 = 31423 W = 31.42 kW

उत्तर

P = 31.42 kW

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 6.264 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।

शीर्ष पर चाल

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6 − 4) = 39.24 m²/s²

v = 6.264 m/s

उत्तर

v = 6.264 m/s

गाड़ी ठीक तब लूप पूरा करती है जब h = 2.5R; तब शीर्ष पर N = 0।

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 131381 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·21/2400 = 9.625 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·1100·21² = 242550 J

K_after = ½·2400·9.625² = 111169 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 242550 − 111169 = 131381 J

उत्तर

ΔK = 131381 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′ = 16.99 m/s

संवेग घटक

p_x = 2000·25 = 50000 kg·m/s

p_y = 1600·22 = 35200 kg·m/s

मलबे की चाल

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 61148/3600 = 16.99 m/s

उत्तर

v′ = 16.99 m/s

13.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: T = 3.475 s

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लोलक का आवर्तकाल

T = 2π·√(3/9.81) = 3.475 s

उत्तर

T = 3.475 s

14.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: A = 11.22 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

टक्कर के बाद चाल

V = m·v/(m + M) = 0.008·300/0.508 = 4.724 m/s

कोणीय आवृत्ति

ω = √(k/(m + M)) = √(900/0.508) = 42.09 rad/s

आयाम

A = V/ω = 4.724/42.09 = 0.1122 m = 11.22 cm

उत्तर

A = 11.22 cm

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: h_i = −2.5 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

पतले लेंस का समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/40

d_i = 66.67 cm

आवर्धन और ऊँचाई

m = −66.67/40 = −1.667

h_i = −1.667·1.5 = −2.5 cm

उत्तर

h_i = −2.5 cm

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f″ = 22905 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

कार पर आवृत्ति

f′ = 25000·(343 − 15)/343 = 23907 Hz

प्रतिध्वनि की आवृत्ति

f″ = f′·343/(343 + 15) = 22905 Hz

उत्तर

f″ = 22905 Hz

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