भौतिकी 1: यांत्रिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

स्थिर 27 m/s से तेज़ चल रही एक कार खड़ी पुलिस कार के पास से गुज़रती है। उसी क्षण पुलिस कार चल पड़ती है और 3 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होती है। पुलिस कार अपने प्रारंभिक बिंदु से कितनी दूर पकड़ती है? d ज्ञात कीजिए।

v_car = 27 m/sa_police = 3 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 20 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 7 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 7 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

11 kg का एक गुटका क्षैतिज से 20° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 11 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 10 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 4.5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। मेज़ घर्षणरहित है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 10 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 30 m/s से क्षैतिज से 70° ऊपर 47 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 30 m/sθ = 70°x = 47 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 25 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 30° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 29 m/sθ = 30°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

320 m त्रिज्या का एक मोड़ 20° पर ढलवाँ है। किस चाल v पर कोई कार बिना किसी घर्षण की ज़रूरत के इसे पार कर सकती है? g = 9.81 m/s² लें।

r = 320 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

0.5 m लंबी डोरी से बँधी एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। g = 9.81 m/s² लें। शीर्ष पर वह न्यूनतम चाल v_min क्या है जिस पर डोरी ठीक तनी रहती है?

r = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 1200 kg कार 3° की ढलान पर स्थिर 36 km/h से ऊपर चढ़ती है। वायु प्रतिरोध और लोटनिक प्रतिरोध मिलकर 650 N हैं। पहियों द्वारा दी जाने वाली आवश्यक शक्ति P, kW में ज्ञात कीजिए।

m = 1200 kgθ = 3°F_r = 650 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 2 kg गाड़ी 4 m की ऊँचाई पर विराम से एक चिकने ट्रैक पर छोड़ी जाती है जो 1 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप में जाता है। लूप के शीर्ष पर गाड़ी की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgh = 4 mR = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

एक 5 g गोली हल्की डोरियों पर लटके 1 kg लकड़ी के गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसके अंदर रह जाती है। गुटका प्रारंभ से 20 cm ऊँचा होने तक ऊपर झूलता है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 5 gM = 1 kgh = 20 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक चौराहे पर 14 m/s से पूर्व की ओर जा रही एक 1600 kg कार 8 m/s से उत्तर की ओर जा रही एक 1900 kg कार से टकराती है। कारें आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर के ठीक बाद मलबे की चाल v′ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1600 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 1900 kgv₂ = 8 m/s (N)

v′ = m/s

13.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

एक सरल लोलक की लंबाई 1.9 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।

L = 1.9 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.स्प्रिंग और लोलककठिन

एक पिंड 1.6 s आवर्तकाल और 7 cm आयाम के साथ सरल आवर्त गति में दोलन करता है। संतुलन से 3.5 cm विस्थापन तक जाने में इसे न्यूनतम कितना समय t लगता है?

T = 1.6 sA = 7 cmx = 3.5 cm

t = s

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

पारदर्शी ब्लॉक के भीतर प्रकाश हवा (n = 1.00) के साथ सीमा पर 35° से ऊपर हर आपतन कोण के लिए पूर्णतः परावर्तित होता है। ब्लॉक का अपवर्तनांक n₁ ज्ञात करें।

θ_c = 35°n₂ = 1.00

n₁ =

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

एक वस्तु 40 cm वक्रता त्रिज्या वाले अवतल दर्पण के सामने 50 cm पर है। प्रतिबिंब दूरी d_i ज्ञात करें, दर्पण के सामने (वास्तविक) प्रतिबिंब के लिए धनात्मक और पीछे (आभासी) के लिए ऋणात्मक।

d_o = 50 cmR = 40 cm

d_i = cm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 486 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

समान दूरियाँ

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·27/3 = 18 s

दूरी

d = v·t = 27·18 = 486 m

उत्तर

d = 486 m

उस क्षण पुलिस कार 2v = 54 m/s से चलती है।

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 2.855 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

गति का समीकरण

ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।

−20 = 7·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 7·t − 20 = 0

द्विघात समीकरण हल करें

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t = (7 + √(7² + 2·9.81·20))/9.81 = 2.855 s

उत्तर

t = 2.855 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 0.5897 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 20° − 0.3·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2819) = 0.5897 m/s²

उत्तर

a = 0.5897 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 3.044 m/s²

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 0)/14.5 = 3.044 m/s²

उत्तर

a = 3.044 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 26.21 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 30·cos 70° = 10.26 m/s

t = x/v_x = 47/10.26 = 4.581 s

उस समय ऊँचाई

y = 28.19·4.581 − ½·9.81·4.581² = 26.21 m

उत्तर

y = 26.21 m

दीवार पर गेंद पहले से नीचे आ रही है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 104.9 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 30° = 25.11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 30° = 14.5 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 25 + 14.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.5 + √(210.2 + 490.5))/9.81 = 4.177 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 25.11·4.177 = 104.9 m

उत्तर

x = 104.9 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v = 33.8 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

बल संतुलन

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

चाल

v = √(r·g·tan θ) = √(320·9.81·tan 20°) = 33.8 m/s

उत्तर

v = 33.8 m/s

(121.7 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: v_min = 2.215 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

शीर्ष पर तनाव शून्य

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.5) = 2.215 m/s

उत्तर

v_min = 2.215 m/s

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: P = 12.66 kW

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। शक्ति बल गुणा चाल है: P = F·v।

चालक बल

m·g = 1200·9.81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 3° = 616.1 N

F = 616.1 + 650 = 1266 N

शक्ति

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1266·10 = 12661 W = 12.66 kW

उत्तर

P = 12.66 kW

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 6.264 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।

शीर्ष पर चाल

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(4 − 2) = 39.24 m²/s²

v = 6.264 m/s

उत्तर

v = 6.264 m/s

गाड़ी ठीक तब लूप पूरा करती है जब h = 2.5R; तब शीर्ष पर N = 0।

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 398.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

टक्कर के बाद झूलना

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.2) = 1.981 m/s

टक्कर

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 1)·1.981/0.005 = 398.2 m/s

उत्तर

v = 398.2 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′ = 7.734 m/s

संवेग घटक

p_x = 1600·14 = 22400 kg·m/s

p_y = 1900·8 = 15200 kg·m/s

मलबे की चाल

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 27070/3500 = 7.734 m/s

उत्तर

v′ = 7.734 m/s

13.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: T = 2.765 s

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लोलक का आवर्तकाल

T = 2π·√(1.9/9.81) = 2.765 s

उत्तर

T = 2.765 s

14.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: t = 0.1333 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = 2π/T = 2π/1.6 = 3.927 rad/s

समय के लिए हल करें

0.5 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.5) = 0.5236 rad

t = 0.5236/3.927 = 0.1333 s

उत्तर

t = 0.1333 s

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: n₁ = 1.743

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

ब्लॉक का अपवर्तनांक

n₁ = n₂/sin θc = 1.00/0.5736 = 1.743

उत्तर

n₁ = 1.743

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: d_i = 33.33 cm

फोकस दूरी

f = R/2 = 20 cm

दर्पण समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/50

d_i = 33.33 cm

किरण आरेख

दर्पण के सामने वास्तविक प्रतिबिंब

उत्तर

d_i = 33.33 cm

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