भौतिकी 1: यांत्रिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

स्थिर 18 m/s से तेज़ चल रही एक कार खड़ी पुलिस कार के पास से गुज़रती है। उसी क्षण पुलिस कार चल पड़ती है और 4 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होती है। पुलिस कार को पकड़ने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

v_car = 18 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

गेंद A को 45 m की ऊँचाई से विराम से गिराया जाता है। उसी क्षण गेंद B को ठीक नीचे ज़मीन से 30 m/s से सीधे ऊपर फेंका जाता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वे ज़मीन से किस ऊँचाई y पर मिलती हैं?

H = 45 mv_0B = 30 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

9 kg और 3 kg के द्रव्यमान एक हल्की, घर्षणरहित घिरनी के दोनों ओर लटके हैं, एक हल्की डोरी से जुड़े। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। द्रव्यमानों का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 9 kgm₂ = 3 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

30° पर झुके रैंप पर एक 9 kg गुटका रैंप के शीर्ष पर एक घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से हल्की डोरी द्वारा एक लटकते 8.5 kg द्रव्यमान से जुड़ा है। लटकता द्रव्यमान नीचे चलता है। गुटके और रैंप के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 9 kgm₂ = 8.5 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 75° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 145 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 75°R = 145 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 20 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 19 m/s से क्षैतिज से 40° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। यह क्षैतिज से नीचे किस कोण α पर ज़मीन से टकराती है?

v₀ = 19 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 85 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.7 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 85 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

230 m त्रिज्या का एक मोड़ 30° पर ढलवाँ है, और टायरों तथा सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.15 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कोई कार ऊपर और बाहर फिसले बिना मोड़ पार कर सकती है।

r = 230 mθ = 30°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

1 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर 3 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.4 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य W_f ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgθ = 30°μ = 0.4d = 3 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

0.5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 4 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 2.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.3) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 800 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 0.5 kgh = 4 mL = 2.5 mμ = 0.3k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

10 m/s से चल रहा 1.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 4 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

0.1 kg की एक गेंद 18 m/s से दीवार से टकराती है और 14 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 5 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण J ज्ञात कीजिए।

m = 0.1 kgv_in = 18 m/sv_out = 14 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

k = 310 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 0.7 kg द्रव्यमान को धनात्मक दिशा में 7 cm खींचकर t = 0 पर विराम से छोड़ा जाता है। t = 1.3 s पर संतुलन से उसका विस्थापन x (चिह्न सहित) ज्ञात कीजिए।

m = 0.7 kgk = 310 N/mA = 7 cmt = 1.3 s

x = cm

14.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 140 N/m वाले स्प्रिंग पर 1.7 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 20 cm खींचकर छोड़ा जाता है। दोलन की कुल ऊर्जा E ज्ञात कीजिए।

m = 1.7 kgk = 140 N/mA = 20 cm

E = J

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

300 Hz का एक स्रोत स्थिर प्रेक्षक से दूर 25 m/s से चलता है। ध्वनि की चाल 343 m/s है। प्रेक्षक को सुनाई देने वाली आवृत्ति f′ ज्ञात करें।

f = 300 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/s

f′ = Hz

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

486 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 300 रेखाएँ प्रति मिलीमीटर वाली झरझरी पर समकोण पर पड़ता है। कोटि-1 उच्चिष्ठ का कोण θ₁ ज्ञात करें।

N = 300 mm⁻¹λ = 486 nmm = 1

θ₁ = °

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 9 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

समान दूरियाँ

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·18/4 = 9 s

उत्तर

t = 9 s

उस क्षण पुलिस कार 2v = 36 m/s से चलती है।

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: y = 33.96 m

मिलने का समय

ऊपर धनात्मक है, ज़मीन y = 0 है।

45 − ½g·t² = 30·t − ½g·t² → t = 45/30 = 1.5 s

मिलने की ऊँचाई

y = 30·1.5 − ½·9.81·1.5² = 33.96 m

उत्तर

y = 33.96 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 4.905 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

त्वरण

नेट चालक बल भारों का अंतर है; यह कुल द्रव्यमान को चलाता है।

a = (9 − 3)·9.81/(9 + 3) = 4.905 m/s²

उत्तर

a = 4.905 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 69.9 N

डोरी के साथ बल

m₂·g = 83.39 N

m₁·g·sin θ = 44.14 N

μ·m₁·g·cos θ = 11.47 N

निकाय का त्वरण

a = (83.39 − 44.14 − 11.47)/17.5 = 1.587 m/s²

लटकते द्रव्यमान से तनाव

m₂·g − T = m₂·a → T = 8.5·(9.81 − 1.587) = 69.9 N

उत्तर

T = 69.9 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 53.34 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·145/sin 150°) = 53.34 m/s

उत्तर

v₀ = 53.34 m/s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: α = 57.98 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 19·cos 40° = 14.55 m/s

v_y0 = 19·sin 40° = 12.21 m/s

टकराने पर ऊर्ध्वाधर चाल

ऊर्जा या ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = v₀² + 2as।

v_y = √(12.21² + 2·9.81·20) = 23.27 m/s

टकराने का कोण

tan α = v_y/v_x = 23.27/14.55 → α = 57.98°

उत्तर

α = 57.98°

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 24.16 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·85) = 24.16 m/s

उत्तर

v_max = 24.16 m/s (86.98 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 42.39 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

बल संतुलन

घर्षण ढलान के नीचे की ओर है।

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

चाल

v = √(230·9.81·0.6299/0.791) = 42.39 m/s

उत्तर

v_max = 42.39 m/s

(152.6 km/h)

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: W_f = 10.19 J

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

घर्षण बल

N = mg·cos θ = 9.81·0.866 = 8.496 N

F = μN = 0.4·8.496 = 3.398 N

घर्षण के विरुद्ध कार्य

W_f = F·d = 3.398·3 = 10.19 J

उत्तर

W_f = 10.19 J

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 19.96 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 4.905·(4 − 0.3·2.5) = 15.94 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 15.94 → x = √(2·15.94/800) = 0.1996 m = 19.96 cm

उत्तर

x = 19.96 cm

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 5.455 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (1.5 − 4)/(1.5 + 4)·10 = −4.545 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 4)·10 = 5.455 m/s

उत्तर

v′₂ = 5.455 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: J = 3.2 N·s

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.1·(14 + 18) = 3.2 N·s

उत्तर

J = 3.2 N·s

13.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: x = −4.258 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = √(310/0.7) = 21.04 rad/s

ω·t = 21.04·1.3 = 27.36 rad

विस्थापन

x = A·cos(ω·t) = 7·cos(27.36) = −4.258 cm

उत्तर

x = −4.258 cm

14.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: E = 2.8 J

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

कोणीय आवृत्ति

ω = √(140/1.7) = 9.075 rad/s

ऊर्जा

E = ½·k·A² = ½·140·0.2² = 2.8 J

उत्तर

E = 2.8 J

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f′ = 279.6 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

डॉप्लर सूत्र

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 300·(343 − 0)/(343 + 25)

f′ = 279.6 Hz

उत्तर

f′ = 279.6 Hz

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ₁ = 8.384 °

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

रेखा अंतराल

d = 1/300 mm = 3.333 × 10⁻⁶ m

झरझरी समीकरण

sin θ = mλ/d = 1·486 × 10⁻⁹/(3.333 × 10⁻⁶) = 0.1458

θ = 8.384°

उत्तर

θ₁ = 8.384°

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