भौतिकी 1: यांत्रिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

एक विमान विराम से शुरू होकर रनवे पर 2.75 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होता है। 1800 m के बाद इसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

v₀ = 0a = 2.75 m/s²s = 1800 m

v = m/s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक पत्थर कुएँ में विराम से गिराया जाता है। पत्थर छोड़ने के 4.5 s बाद छपाक की आवाज़ सुनाई देती है। ध्वनि की चाल 343 m/s है; वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। कुएँ की गहराई d ज्ञात कीजिए।

t_total = 4.5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

6 kg और 5.5 kg के द्रव्यमान एक हल्की, घर्षणरहित घिरनी के दोनों ओर लटके हैं, एक हल्की डोरी से जुड़े। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 6 kgm₂ = 5.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.न्यूटन के नियमकठिन

समतल फ़र्श पर दो गुटके एक हल्की क्षैतिज डोरी से जुड़े हैं। 60 N का एक क्षैतिज बल आगे वाले 8 kg गुटके को खींचता है; 2 kg गुटका पीछे घसीटा जाता है। दोनों गुटकों के लिए गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। जोड़ने वाली डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 2 kgm₂ = 8 kgF = 60 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 25° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 100 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 25°R = 100 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 10 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 30° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 24 m/sθ = 30°h = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.वृत्तीय गतिमध्यम

0.3 m लंबी डोरी पर एक छोटी गेंद क्षैतिज वृत्त में इस तरह चलती है कि डोरी ऊर्ध्वाधर से स्थिर 50° का कोण बनाती है (शंक्वाकार लोलक)। g = 9.81 m/s² लें। गेंद की चाल v ज्ञात कीजिए।

L = 0.3 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

290 m त्रिज्या का एक मोड़ 18° पर ढलवाँ है, और टायरों तथा सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.15 है। g = 9.81 m/s² लें। वह न्यूनतम चाल v_min ज्ञात कीजिए जिस पर कोई कार ढलान से नीचे फिसले बिना मोड़ पार कर सकती है।

r = 290 mθ = 18°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। ढलान के साथ 2 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 30°μ = 0.1d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 10 kg गाड़ी 10.5 m की ऊँचाई पर विराम से एक चिकने ट्रैक पर छोड़ी जाती है जो 3 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप में जाता है। लूप के शीर्ष पर ट्रैक द्वारा गाड़ी पर लगाया गया अभिलंब बल N ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgh = 10.5 mR = 3 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

38 m/s से क्षैतिज रूप से चल रहा एक 6 kg प्रक्षेप्य दो टुकड़ों में फटता है जो उसी रेखा में चलते हैं। 4 kg टुकड़ा 45 m/s से आगे चलता रहता है। 2 kg टुकड़े का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए (मूल दिशा में धनात्मक)।

M = 6 kgu = 38 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 45 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक चौराहे पर 12 m/s से पूर्व की ओर जा रही एक 1600 kg कार 10 m/s से उत्तर की ओर जा रही एक 1600 kg कार से टकराती है। कारें आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर के ठीक बाद मलबे की दिशा θ, पूर्व से उत्तर की ओर मापकर, ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1600 kgv₁ = 12 m/s (E)m₂ = 1600 kgv₂ = 10 m/s (N)

θ = °

13.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

एक सरल लोलक की लंबाई 2.7 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।

L = 2.7 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.स्प्रिंग और लोलककठिन

100 m/s से चलती एक 10 g गोली घर्षणरहित सतह पर रखे 1 kg गुटके से टकराकर उसमें रह जाती है। गुटका k = 2000 N/m वाले एक क्षैतिज स्प्रिंग से जुड़ा है। परिणामी दोलन का आयाम A cm में ज्ञात कीजिए।

m = 10 gv = 100 m/sM = 1 kgk = 2000 N/m

A = cm

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

2 cm ऊँची एक वस्तु 15 cm फोकस दूरी वाले पतले अभिसारी लेंस के सामने 20 cm पर रखी है। प्रतिबिंब की ऊँचाई h_i ज्ञात करें (उल्टे प्रतिबिंब के लिए ऋणात्मक)।

h_o = 2 cmd_o = 20 cmf = 15 cm

h_i = cm

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

एक प्रकाशिक तंतु का क्रोड n₁ = 1.62 का है और आवरण n₂ = 1.52 का। तंतु अक्ष से वह अधिकतम कोण θ_a ज्ञात करें जिस पर हवा से आया प्रकाश तंतु के सिरे में प्रवेश कर पूर्ण आंतरिक परावर्तन द्वारा निर्देशित हो सके।

n₁ = 1.62n₂ = 1.52n₀ = 1.00

θ_a = °

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: v = 99.5 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

दूरी के बाद चाल

v = √(2·a·s) = √(2·2.75·1800) = 99.5 m/s

उत्तर

v = 99.5 m/s

(358.2 km/h)

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 88.29 m

समय के दो भाग

½·9.81·t₁² = 343·(4.5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1544 = 0

गिरने का समय

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1544))/(2·4.905) = 4.243 s

गहराई

d = ½·9.81·4.243² = 88.29 m

उत्तर

d = 88.29 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 56.3 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

त्वरण

नेट चालक बल भारों का अंतर है; यह कुल द्रव्यमान को चलाता है।

a = (6 − 5.5)·9.81/(6 + 5.5) = 0.4265 m/s²

हल्के द्रव्यमान से तनाव

T − m₂·g = m₂·a → T = 5.5·(9.81 + 0.4265) = 56.3 N

उत्तर

T = 56.3 N

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 12 N

पूरा तंत्र

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (60 − 9.81)/10 = 5.019 m/s²

केवल पिछला गुटका

T = m₁·(a + μ·g) = 2·(5.019 + 0.981) = 12 N

उत्तर

T = 12 N

दोनों गुटकों पर समान μ होने से घर्षण हट जाता है: T = F·m₁/(m₁ + m₂)।

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 35.79 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·100/sin 50°) = 35.79 m/s

उत्तर

v₀ = 35.79 m/s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 3.103 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 30° = 20.78 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 30° = 12 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 10 + 12·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12 + √(144 + 196.2))/9.81 = 3.103 s

उत्तर

t = 3.103 s

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v = 1.639 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

वृत्त की त्रिज्या

r = L·sin θ = 0.3·sin 50° = 0.2298 m

चाल

तनाव और गुरुत्व मिलकर अंदर की ओर बल देते हैं: tan θ = v²/(r·g)।

v = √(r·g·tan θ) = √(0.2298·9.81·tan 50°) = 1.639 m/s

उत्तर

v = 1.639 m/s

8.वृत्तीय गति

उत्तर: v_min = 21.78 m/s

बल संतुलन

घर्षण ढलान के ऊपर की ओर है।

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

चाल

v = √(290·9.81·0.1664/0.9974) = 21.78 m/s

उत्तर

v_min = 21.78 m/s

(78.42 km/h)

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 4.028 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·2·(0.5 − 0.1·0.866)) = 4.028 m/s

उत्तर

v = 4.028 m/s

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: N = 196.2 N

शीर्ष पर चाल

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(10.5 − 6) = 88.29 m²/s²

शीर्ष पर बल

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

N = mv²/R − mg = 10·88.29/3 − 98.1 = 196.2 N

उत्तर

N = 196.2 N

गाड़ी ठीक तब लूप पूरा करती है जब h = 2.5R; तब शीर्ष पर N = 0।

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 24 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

पहले का संवेग

p = M·u = 6·38 = 228 kg·m/s

बाद का संवेग

228 = 4·45 + 2·v′₂

v′₂ = (228 − 180)/2 = 24 m/s

उत्तर

v′₂ = 24 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: θ = 39.81 °

संवेग घटक

p_x = 1600·12 = 19200 kg·m/s

p_y = 1600·10 = 16000 kg·m/s

दिशा

tan θ = p_y/p_x = 0.8333 → θ = 39.81°

उत्तर

θ = 39.81°

13.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: T = 3.296 s

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लोलक का आवर्तकाल

T = 2π·√(2.7/9.81) = 3.296 s

उत्तर

T = 3.296 s

14.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: A = 2.225 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

टक्कर के बाद चाल

V = m·v/(m + M) = 0.01·100/1.01 = 0.9901 m/s

कोणीय आवृत्ति

ω = √(k/(m + M)) = √(2000/1.01) = 44.5 rad/s

आयाम

A = V/ω = 0.9901/44.5 = 0.02225 m = 2.225 cm

उत्तर

A = 2.225 cm

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: h_i = −6 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

पतले लेंस का समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/20

d_i = 60 cm

आवर्धन और ऊँचाई

m = −60/20 = −3

h_i = −3·2 = −6 cm

उत्तर

h_i = −6 cm

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ_a = 34.08 °

आवरण पर क्रांतिक कोण

sin θc = 1.52/1.62 = 0.9383 → θc = 69.76°

संख्यात्मक द्वारक

NA = √(1.62² − 1.52²) = 0.5604

स्वीकृति कोण

θ_a = arcsin(0.5604) = 34.08°

उत्तर

θ_a = 34.08°

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