भौतिकी 1: यांत्रिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

स्थिर 21 m/s से तेज़ चल रही एक कार खड़ी पुलिस कार के पास से गुज़रती है। उसी क्षण पुलिस कार चल पड़ती है और 2.5 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होती है। पुलिस कार अपने प्रारंभिक बिंदु से कितनी दूर पकड़ती है? d ज्ञात कीजिए।

v_car = 21 m/sa_police = 2.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

गेंद A को 10 m की ऊँचाई से विराम से गिराया जाता है। उसी क्षण गेंद B को ठीक नीचे ज़मीन से 24 m/s से सीधे ऊपर फेंका जाता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वे ज़मीन से किस ऊँचाई y पर मिलती हैं?

H = 10 mv_0B = 24 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

15 kg का एक गुटका क्षैतिज से 25° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 15 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

समतल फ़र्श पर दो गुटके एक हल्की क्षैतिज डोरी से जुड़े हैं। 85 N का एक क्षैतिज बल आगे वाले 1 kg गुटके को खींचता है; 5 kg गुटका पीछे घसीटा जाता है। दोनों गुटकों के लिए गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। जोड़ने वाली डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgF = 85 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 25° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 40 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

t = s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 60 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 60° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 11 m/sθ = 60°h = 60 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 75 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.4 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 75 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

0.8 m लंबी डोरी से बँधी एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। g = 9.81 m/s² लें। शीर्ष पर वह न्यूनतम चाल v_min क्या है जिस पर डोरी ठीक तनी रहती है?

r = 0.8 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 15° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। ढलान के साथ 8 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 15°μ = 0.1d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

2 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 3 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 3 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.15) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 1500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग तक पहुँचने पर गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgh = 3 mL = 3 mμ = 0.15k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

2 m/s से चल रहा 4 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 2 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 4 kgm₂ = 2 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

0.3 kg की एक गेंद 10 m/s से दीवार से टकराती है और 9 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 10 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण J ज्ञात कीजिए।

m = 0.3 kgv_in = 10 m/sv_out = 9 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

एक सरल लोलक की लंबाई 0.8 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।

L = 0.8 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 380 N/m वाले स्प्रिंग पर 3.3 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 10 cm खींचकर छोड़ा जाता है। उसका अधिकतम त्वरण a_max ज्ञात कीजिए।

m = 3.3 kgk = 380 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

दोनों सिरों पर खुली नली 1.5 m लंबी है। ध्वनि की चाल 343 m/s है। उसके संनादी संख्या 4 की आवृत्ति f₄ ज्ञात करें।

v = 343 m/sn = 4L = 1.5 m

f₄ = Hz

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

एक वस्तु 60 cm वक्रता त्रिज्या वाले उत्तल दर्पण के सामने 10 cm पर है। प्रतिबिंब दूरी d_i ज्ञात करें, दर्पण के सामने (वास्तविक) प्रतिबिंब के लिए धनात्मक और पीछे (आभासी) के लिए ऋणात्मक।

d_o = 10 cmR = 60 cm

d_i = cm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 352.8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

समान दूरियाँ

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·21/2.5 = 16.8 s

दूरी

d = v·t = 21·16.8 = 352.8 m

उत्तर

d = 352.8 m

उस क्षण पुलिस कार 2v = 42 m/s से चलती है।

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: y = 9.148 m

मिलने का समय

ऊपर धनात्मक है, ज़मीन y = 0 है।

10 − ½g·t² = 24·t − ½g·t² → t = 10/24 = 0.4167 s

मिलने की ऊँचाई

y = 24·0.4167 − ½·9.81·0.4167² = 9.148 m

उत्तर

y = 9.148 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 3.257 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 25° − 0.1·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.09063) = 3.257 m/s²

उत्तर

a = 3.257 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 70.83 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

पूरा तंत्र

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (85 − 17.66)/6 = 11.22 m/s²

केवल पिछला गुटका

T = m₁·(a + μ·g) = 5·(11.22 + 2.943) = 70.83 N

उत्तर

T = 70.83 N

दोनों गुटकों पर समान μ होने से घर्षण हट जाता है: T = F·m₁/(m₁ + m₂)।

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 3.446 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 25° = 36.25 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 25° = 16.9 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·16.9/9.81 = 3.446 s

उत्तर

t = 3.446 s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 25.3 m

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 60° = 5.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 60° = 9.526 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 60 + 9.526·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.526 + √(90.75 + 1177))/9.81 = 4.601 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 5.5·4.601 = 25.3 m

उत्तर

x = 25.3 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 17.16 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·75) = 17.16 m/s

उत्तर

v_max = 17.16 m/s (61.76 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: v_min = 2.801 m/s

शीर्ष पर तनाव शून्य

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.8) = 2.801 m/s

उत्तर

v_min = 2.801 m/s

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 5.046 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·8·(0.2588 − 0.1·0.9659)) = 5.046 m/s

उत्तर

v = 5.046 m/s

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 7.073 m/s

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 19.62·(3 − 0.15·3) = 50.03 J

स्प्रिंग पर चाल

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.55) = 7.073 m/s

उत्तर

v = 7.073 m/s

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 2.667 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (4 − 2)/(4 + 2)·2 = 0.6667 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 2)·2 = 2.667 m/s

उत्तर

v′₂ = 2.667 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: J = 5.7 N·s

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.3·(9 + 10) = 5.7 N·s

उत्तर

J = 5.7 N·s

13.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: T = 1.794 s

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लोलक का आवर्तकाल

T = 2π·√(0.8/9.81) = 1.794 s

उत्तर

T = 1.794 s

14.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: a_max = 11.52 m/s²

कोणीय आवृत्ति

ω = √(380/3.3) = 10.73 rad/s

अधिकतम त्वरण

a_max = A·ω² = 0.1·10.73² = 11.52 m/s²

उत्तर

a_max = 11.52 m/s²

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f₄ = 457.3 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

इस विधा की तरंगदैर्ध्य

λ = 2L/n = 2·1.5/4 = 0.75 m

आवृत्ति

f = v/λ = 343/0.75 = 457.3 Hz

उत्तर

f₄ = 457.3 Hz

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: d_i = −7.5 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

फोकस दूरी

f = −R/2 = −30 cm

दर्पण समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−30) − 1/10

d_i = −7.5 cm

किरण आरेख

दर्पण के पीछे आभासी प्रतिबिंब

उत्तर

d_i = −7.5 cm

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