भौतिकी 1: यांत्रिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

स्थिर 34 m/s से तेज़ चल रही एक कार खड़ी पुलिस कार के पास से गुज़रती है। उसी क्षण पुलिस कार चल पड़ती है और 5.5 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होती है। पुलिस कार अपने प्रारंभिक बिंदु से कितनी दूर पकड़ती है? d ज्ञात कीजिए।

v_car = 34 m/sa_police = 5.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

गेंद A को 45 m की ऊँचाई से विराम से गिराया जाता है। उसी क्षण गेंद B को ठीक नीचे ज़मीन से 28 m/s से सीधे ऊपर फेंका जाता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वे ज़मीन से किस ऊँचाई y पर मिलती हैं?

H = 45 mv_0B = 28 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

10 kg का एक गुटका क्षैतिज से 45° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgθ = 45°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 9.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 4.5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 9.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 22 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 45 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 22 m/sR = 45 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 40 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 25 m/s से क्षैतिज से 50° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। चट्टान के आधार पर ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 25 m/sθ = 50°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

0.8 m लंबी डोरी पर एक छोटी गेंद क्षैतिज वृत्त में इस तरह चलती है कि डोरी ऊर्ध्वाधर से स्थिर 50° का कोण बनाती है (शंक्वाकार लोलक)। g = 9.81 m/s² लें। एक चक्कर का समय T ज्ञात कीजिए।

L = 0.8 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = s

8.वृत्तीय गतिकठिन

110 m त्रिज्या का एक मोड़ 8° पर ढलवाँ है, और टायरों तथा सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.4 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कोई कार ऊपर और बाहर फिसले बिना मोड़ पार कर सकती है।

r = 110 mθ = 8°μ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

समतल सड़क पर 30 km/h से चल रही एक कार ज़ोर से ब्रेक लगाती है और पहिए जाम होकर फिसलते हुए रुक जाती है। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.6 है। रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v = 30 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

1 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 1.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 2.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.25) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 2500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग तक पहुँचने पर गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgh = 1.5 mL = 2.5 mμ = 0.25k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

2 m/s से चल रहा 5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 4 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद पहले ग्लाइडर का वेग v′₁ ज्ञात कीजिए (उसकी मूल दिशा में धनात्मक)।

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

0.15 kg की एक गेंद 23 m/s से दीवार से टकराती है और 5 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 50 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण J ज्ञात कीजिए।

m = 0.15 kgv_in = 23 m/sv_out = 5 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

k = 260 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 1.7 kg द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 9 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 6 cm पर होने पर उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 1.7 kgk = 260 N/mA = 9 cmx = 6 cm

v = m/s

14.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 250 N/m वाले एक बिना खिंचे ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग के निचले सिरे पर एक 0.7 kg द्रव्यमान जोड़कर विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। स्प्रिंग का अधिकतम खिंचाव x_max cm में ज्ञात कीजिए।

m = 0.7 kgk = 250 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक वस्तु 5 cm फोकस दूरी वाले पतले अभिसारी लेंस के सामने 15 cm पर रखी है। आवर्धन m ज्ञात करें (उल्टे प्रतिबिंब के लिए ऋणात्मक)।

d_o = 15 cmf = 5 cm

m =

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

एक प्रकाशिक तंतु का क्रोड n₁ = 1.5 का है और आवरण n₂ = 1.49 का। तंतु अक्ष से वह अधिकतम कोण θ_a ज्ञात करें जिस पर हवा से आया प्रकाश तंतु के सिरे में प्रवेश कर पूर्ण आंतरिक परावर्तन द्वारा निर्देशित हो सके।

n₁ = 1.5n₂ = 1.49n₀ = 1.00

θ_a = °

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 420.4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

समान दूरियाँ

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·34/5.5 = 12.36 s

दूरी

d = v·t = 34·12.36 = 420.4 m

उत्तर

d = 420.4 m

उस क्षण पुलिस कार 2v = 68 m/s से चलती है।

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: y = 32.33 m

मिलने का समय

ऊपर धनात्मक है, ज़मीन y = 0 है।

45 − ½g·t² = 28·t − ½g·t² → t = 45/28 = 1.607 s

मिलने की ऊँचाई

y = 28·1.607 − ½·9.81·1.607² = 32.33 m

उत्तर

y = 32.33 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 5.549 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 45° − 0.2·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1414) = 5.549 m/s²

उत्तर

a = 5.549 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 32.95 N

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 9.32)/14 = 2.488 m/s²

मेज़ पर रखे गुटके से तनाव

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9.5·2.488 + 9.32 = 32.95 N

उत्तर

T = 32.95 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 32.9 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·45/22² = 0.9121

कोण

2θ = 65.8° → θ = 32.9°

उत्तर

θ = 32.9°

दूसरा हल 90° − θ = 57.1° है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 58.69 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण चाल

v_y = 25·sin 50° = 19.15 m/s

चट्टान से ऊपर उठान

Δh = v_y²/(2g) = 19.15²/(2·9.81) = 18.69 m

ज़मीन से ऊँचाई

H = 40 + 18.69 = 58.69 m

उत्तर

H = 58.69 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: T = 1.439 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

वृत्त की त्रिज्या

r = L·sin θ = 0.8·sin 50° = 0.6128 m

चाल

तनाव और गुरुत्व मिलकर अंदर की ओर बल देते हैं: tan θ = v²/(r·g)।

v = √(r·g·tan θ) = √(0.6128·9.81·tan 50°) = 2.677 m/s

आवर्तकाल

T = 2π·r/v = 2π·0.6128/2.677 = 1.439 s

उत्तर

T = 1.439 s

8.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 24.86 m/s

बल संतुलन

घर्षण ढलान के नीचे की ओर है।

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

चाल

v = √(110·9.81·0.5353/0.9346) = 24.86 m/s

उत्तर

v_max = 24.86 m/s

(89.5 km/h)

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: d = 5.899 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

मूल इकाइयों में चाल

v = 30/3.6 = 8.333 m/s

ऊर्जा संतुलन

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 8.333²/(2·0.6·9.81) = 5.899 m

उत्तर

d = 5.899 m

चाल दोगुनी करने से रुकने की दूरी चार गुना हो जाती है।

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 4.143 m/s

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 9.81·(1.5 − 0.25·2.5) = 8.584 J

स्प्रिंग पर चाल

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·0.875) = 4.143 m/s

उत्तर

v = 4.143 m/s

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₁ = 0.2222 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·2 = 0.2222 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·2 = 2.222 m/s

उत्तर

v′₁ = 0.2222 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: J = 4.2 N·s

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.15·(5 + 23) = 4.2 N·s

उत्तर

J = 4.2 N·s

13.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v = 0.8296 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = √(260/1.7) = 12.37 rad/s

x पर चाल

v = ω·√(A² − x²) = 12.37·√(0.09² − 0.06²) = 0.8296 m/s

उत्तर

v = 0.8296 m/s

14.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: x_max = 5.494 cm

संतुलन और आयाम

x₀ = m·g/k = 0.7·9.81/250 = 0.02747 m = A

निम्नतम बिंदु

x_max = 2A = 0.05494 m = 5.494 cm

उत्तर

x_max = 5.494 cm

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: m = −0.5

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

पतले लेंस का समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/15

d_i = 7.5 cm

आवर्धन

m = −d_i/d_o = −7.5/15 = −0.5

उत्तर

m = −0.5

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ_a = 9.957 °

आवरण पर क्रांतिक कोण

sin θc = 1.49/1.5 = 0.9933 → θc = 83.38°

संख्यात्मक द्वारक

NA = √(1.5² − 1.49²) = 0.1729

स्वीकृति कोण

θ_a = arcsin(0.1729) = 9.957°

उत्तर

θ_a = 9.957°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics