भौतिकी 1: यांत्रिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

72 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 8 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 72 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक मॉडल रॉकेट विराम से सीधे ऊपर प्रक्षेपित किया जाता है। इसका इंजन इसे 1 s तक 28 m/s² का स्थिर ऊर्ध्वमुखी त्वरण देता है, जिसके बाद इंजन बंद हो जाता है और रॉकेट मुक्त रूप से चलता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। रॉकेट द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

a = 28 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

16 kg का एक गुटका क्षैतिज से 40° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 16 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 1 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 3 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1 kgm₂ = 3 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 20 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 20 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 20 m/sR = 20 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 50 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 19 m/s से क्षैतिज से 65° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। चट्टान के आधार पर ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 19 m/sθ = 65°h = 50 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 40 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.4 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 40 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

0.6 m लंबी डोरी से बँधी 1.1 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 5 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 1.1 kgr = 0.6 mv = 5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 1 kg गेंद 0.5 m लंबी हल्की डोरी पर लटकी है। उसे तब तक एक ओर खींचा जाता है जब तक डोरी ऊर्ध्वाधर से 45° न बना ले, और विराम से छोड़ा जाता है। जब गेंद निम्नतम बिंदु से गुज़रती है तब डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgL = 0.5 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 2.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 3.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.3) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 1000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग तक पहुँचने पर गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgh = 2.5 mL = 3.5 mμ = 0.3k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

11 m/s से चल रही एक 1100 kg कार खड़ी 1500 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 1100 kgv₁ = 11 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.संवेग और टक्करेंकठिन

0.55 kg की एक गेंद 14 m/s से दीवार से टकराती है और 18 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 40 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण J ज्ञात कीजिए।

m = 0.55 kgv_in = 14 m/sv_out = 18 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

एक सरल लोलक की लंबाई 2.1 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।

L = 2.1 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 420 N/m वाले स्प्रिंग पर एक द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 15 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 1 cm पर होने पर उसकी गतिज ऊर्जा K ज्ञात कीजिए।

k = 420 N/mA = 15 cmx = 1 cm

K = J

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक वस्तु 30 cm फोकस दूरी वाले पतले अपसारी लेंस के सामने 4 cm पर रखी है। प्रतिबिंब दूरी d_i ज्ञात करें। चिह्न परिपाटी 1/f = 1/d_o + 1/d_i का उपयोग करें (अपसारी लेंस के लिए f < 0, आभासी प्रतिबिंब के लिए d_i < 0)।

d_o = 4 cmf = −30 cm

d_i = cm

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

दो पतले लेंस एक ही अक्ष पर 20 cm की दूरी पर हैं: लेंस 1 की f₁ = 20 cm और लेंस 2 की f₂ = 15 cm है। एक वस्तु लेंस 1 के सामने 12 cm पर है। अंतिम प्रतिबिंब की स्थिति d_i2 लेंस 2 से मापकर ज्ञात करें (लेंस 2 के आगे धनात्मक, वास्तविक-धनात्मक परिपाटी)।

f₁ = 20 cmf₂ = 15 cms = 20 cmd_o = 12 cm

d_i2 = cm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 25 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·8) = 25 m

उत्तर

s = 25 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 53.96 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

संचालित चरण

v₁ = 28·1 = 28 m/s

h₁ = ½·28·1² = 14 m

ऊपर की ओर मुक्त उड़ान

शीर्ष पर वेग शून्य है।

Δh = v₁²/(2g) = 28²/(2·9.81) = 39.96 m

h_max = 14 + 39.96 = 53.96 m

उत्तर

h_max = 53.96 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 4.803 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 40° − 0.2·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1532) = 4.803 m/s²

उत्तर

a = 4.803 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 9.197 N

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 2.453)/4 = 6.744 m/s²

मेज़ पर रखे गुटके से तनाव

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·6.744 + 2.453 = 9.197 N

उत्तर

T = 9.197 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 14.69 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·20/20² = 0.4905

कोण

2θ = 29.37° → θ = 14.69°

उत्तर

θ = 14.69°

दूसरा हल 90° − θ = 75.31° है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 65.11 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण चाल

v_y = 19·sin 65° = 17.22 m/s

चट्टान से ऊपर उठान

Δh = v_y²/(2g) = 17.22²/(2·9.81) = 15.11 m

ज़मीन से ऊँचाई

H = 50 + 15.11 = 65.11 m

उत्तर

H = 65.11 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 12.53 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·40) = 12.53 m/s

उत्तर

v_max = 12.53 m/s (45.1 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T = 56.62 N

निम्नतम बिंदु पर बल

केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।

T − m·g = m·v²/r

T = 1.1·9.81 + 1.1·5²/0.6 = 10.79 + 45.83 = 56.62 N

उत्तर

T = 56.62 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: T = 15.56 N

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।

तल पर चाल

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 45°) = 2.873 m²/s²

तल पर बल

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·2.873/0.5 = 15.56 N

उत्तर

T = 15.56 N

जाँच: T = mg(3 − 2cos θ) = 15.56 N।

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 5.334 m/s

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 49.05·(2.5 − 0.3·3.5) = 71.12 J

स्प्रिंग पर चाल

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.45) = 5.334 m/s

उत्तर

v = 5.334 m/s

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 38394 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·11/2600 = 4.654 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·1100·11² = 66550 J

K_after = ½·2600·4.654² = 28156 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 66550 − 28156 = 38394 J

उत्तर

ΔK = 38394 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: J = 17.6 N·s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.55·(18 + 14) = 17.6 N·s

उत्तर

J = 17.6 N·s

13.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: T = 2.907 s

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लोलक का आवर्तकाल

T = 2π·√(2.1/9.81) = 2.907 s

उत्तर

T = 2.907 s

14.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: K = 4.704 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कुल ऊर्जा

E = ½·k·A² = ½·420·0.15² = 4.725 J

x पर स्प्रिंग ऊर्जा

U = ½·k·x² = ½·420·0.01² = 0.021 J

गतिज ऊर्जा

K = 4.725 − 0.021 = 4.704 J

उत्तर

K = 4.704 J

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: d_i = −3.529 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

पतले लेंस का समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−30) − 1/4

d_i = −3.529 cm

किरण आरेख

आभासी, वस्तु की ही ओर

उत्तर

d_i = −3.529 cm

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: d_i2 = 21.43 cm

लेंस 1 का प्रतिबिंब

1/d_i1 = 1/20 − 1/12 → d_i1 = −30 cm

लेंस 2 के लिए वस्तु

d_o2 = 20 − (−30) = 50 cm

अंतिम प्रतिबिंब

1/d_i2 = 1/15 − 1/50 → d_i2 = 21.43 cm

उत्तर

d_i2 = 21.43 cm

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