भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

कूलॉम का नियम: F = k·|q₁q₂|/r²
बिंदु आवेश का क्षेत्र: E = k·|q|/r²
स्थिरांक: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
आवेश पर बल: F = q·E

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध: R_eq = R₁ + R₂ + …
समांतर में प्रतिरोध: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
दो समांतर में: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
ओम का नियम: V = I·R
शक्ति: P = V·I = I²R = V²/R

विधि

नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

लंबा सीधा तार: B = μ₀I/(2πr)
समतल कुंडली का केंद्र: B = μ₀NI/(2R)
लंबी परिनालिका: B = μ₀nI, n = N/L
स्थिरांक: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
तार पर बल: F = BIL·sin θ
आवेश पर बल: F = |q|vB·sin θ
वृत्तीय गति: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
समांतर तार: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
फ्लक्स: Φ = BA·cos θ
फैराडे का नियम: ε = −N·ΔΦ/Δt
गतिमान छड़: ε = BLv
जनित्र: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
प्रेरकत्व: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
अन्योन्य प्रेरकत्व: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

विधि

हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

2अभ्यास प्रश्न

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम

तीन बिंदु आवेश एक सीधी रेखा पर हैं: बाईं ओर −3 µC, 30 cm दूर दाईं ओर −1 µC, और उनके बीच, बाएँ आवेश से 12 cm पर, −5 µC। बीच वाले आवेश पर नेट विद्युत बल F का परिमाण ज्ञात कीजिए। Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −3 µCq_R = −1 µCq_M = −5 µCr_L = 12 cmr_R = 18 cm

F = N

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन

तीन धनात्मक बिंदु आवेश एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों पर हैं: q₃ = 10 µC समकोण वाले शीर्ष पर है, q₁ = 3 µC एक भुजा के अनुदिश उससे 10 cm दूर है और q₂ = 2 µC दूसरी भुजा के अनुदिश उससे 3 cm दूर है। q₃ पर नेट विद्युत बल का परिमाण F ज्ञात कीजिए।

q₁ = 3 µCq₂ = 2 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम

स्रोत द्वारा दी गई धारा I_R1 ज्ञात कीजिए, जो R₁ से होकर बहती है।

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन

स्रोत द्वारा दी गई धारा I_R1 ज्ञात कीजिए, जो R₁ से होकर बहती है।

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

प्रेरक 1 A की स्थिर धारा वहन करता है। t = 0 पर स्विच R से होकर लूप बंद करता है और स्रोत हटा दिया जाता है, इसलिए प्रेरक धारा R से होकर क्षय होती है। t = 1 ms पर धारा i ज्ञात कीजिए।

i(0) = 1 AR = 68 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

t = 0 पर स्विच बंद होने से ठीक पहले संधारित्र पर दर्शाई ध्रुवता के साथ 3 V है। t = 150 ms पर संधारित्र वोल्टता v_C ज्ञात कीजिए।

V_s = 5 VR = 1 kΩC = 68 µFv_C(0) = 3 Vt = 150 ms

v_C = V

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम

एक ऐल्फ़ा कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में समकोण पर 6 × 10⁶ m/s से प्रवेश करता है और 24.89 cm त्रिज्या के वृत्त पर चलता है। चुंबकीय फ्लक्स घनत्व B ज्ञात करें।

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁶ m/sr = 24.89 cm

B = T

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन

वेग चयनक में, क्रॉस किए गए क्षेत्र E = 8 × 10⁴ V/m और B = 0.1 T केवल एक चाल के आयनों को सीधे गुज़रने देते हैं। वह चाल v ज्ञात करें।

E = 8 × 10⁴ V/mB₁ = 0.1 T

v = m/s

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ 12 V (rms), 500 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। rms धारा I ज्ञात कीजिए।

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 4.7 µF

I = A

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ 24 V (rms), 200 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। संधारित्र पर rms वोल्टता V_C ज्ञात कीजिए।

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 4.7 µF

V_C = V

3विलयन

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: F = 7.977 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

हर आवेश से बल

दाईं ओर धनात्मक है।

F_L = +k·3·5 × 10⁻¹²/0.12² = 9.365 N

F_R = −k·1·5 × 10⁻¹²/0.18² = −1.387 N

नेट बल

F = 9.365 + (−1.387) = 7.977 N → |F| = 7.977 N

उत्तर

F = 7.977 N

नेट बल दाईं ओर है।

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: F = 201.6 N

कूलॉम का नियम: दो बिंदु आवेश F = k·|q₁·q₂|/r² बल से एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं, जहाँ k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²। बिंदु आवेश का क्षेत्र E = k·|q|/r² है, जो धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर होता है। कई आवेशों से उत्पन्न बल और क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ते हैं।

q₃ पर हर बल

F₁ = k·3·10 × 10⁻¹²/0.1² = 26.97 N

F₂ = k·2·10 × 10⁻¹²/0.03² = 199.8 N

सदिश योग

F = √(26.97² + 199.8²) = 201.6 N

उत्तर

F = 201.6 N

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R1 = 0.6857 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R₃ + R₄ = 5 + 15 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 12·20/(12+20) = 7.5 Ω

R_eq = R₁ + 7.5 = 10 + 7.5 = 17.5 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल R_eq देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

I_R1 = V₁/R_eq = 12/17.5 = 0.6857 A

उत्तर

I_R1 = 0.6857 A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R1 = 1.408 A

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

R₅ + R₆ = 25 + 12 = 37 Ω

R₄ ∥ 37 = 1.897 Ω

R₃ + 1.897 = 31.9 Ω

R₂ ∥ 31.9 = 5.05 Ω

R_eq = R₁ + 5.05 = 12 + 5.05 = 17.05 Ω

स्रोत से धारा

I_R1 = V₁/R_eq = 24/17.05 = 1.408 A

उत्तर

I_R1 = 1.408 A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: i = 0.3679 A

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक

τ = L/R = 68 mH / 68 Ω = 1 ms

धारा का क्षय

i(t) = 1·e^−1/1 = 0.3679 A

उत्तर

i = 0.3679 A

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: v_C = 4.78 V

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

संधारित्र वोल्टता अचानक नहीं बदल सकती, इसलिए वह अपने संचित मान से शुरू होकर स्रोत वोल्टता की ओर जाती है।

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms

v_C(t) = 5 + (3 − 5)·e^−t/τ

दिए गए समय पर वोल्टता

v_C(150) = 5 + (−2)·e^−150/68 = 4.78 V

उत्तर

v_C = 4.78 V

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: B = 0.5 T

चुंबकीय बल: क्षेत्र B में I ले जाने वाला सीधा तार F = BIL·sin θ अनुभव करता है, और गतिमान आवेश F = |q|vB·sin θ, जहाँ θ धारा (या वेग) और B के बीच का कोण है। बल दोनों के लंबवत होता है: दाहिने हाथ की उँगलियाँ I या v की दिशा में रखें, उन्हें B की ओर मोड़ें, और अँगूठा धनात्मक आवेश के लिए F देता है; ऋणात्मक आवेश के लिए इसे उलट दें। क्योंकि F, v के लंबवत है, एकसमान क्षेत्र के आर-पार चलता आवेश वृत्त में चलता है: |q|vB = mv²/r से r = mv/(|q|B) और आवर्तकाल T = 2πm/(|q|B) मिलता है, जो चाल पर निर्भर नहीं करता। एक ही दिशा की धाराओं के लिए दो समांतर तार आकर्षित करते हैं: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)।

त्रिज्या से क्षेत्र

B = mv/(|q|r) = 6.645 × 10⁻²⁷·6 × 10⁶/(3.204 × 10⁻¹⁹·0.2489) = 0.5 T

उत्तर

B = 0.5 T

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: v = 800000 m/s

चयनित चाल

बिना विक्षेप: विद्युत बल qE चुंबकीय बल qvB को संतुलित करता है।

v = E/B₁ = 8 × 10⁴/0.1 = 800000 m/s

उत्तर

v = 800000 m/s

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: I = 0.04834 A

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.1 = 314.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (246.4)²) = 248.3 Ω

धारा

श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।

I = V/|Z| = 12/248.3 = 0.04834 A

उत्तर

I = 0.04834 A

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: V_C = 68.63 V

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.1 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4.7·10⁻⁶) = 169.3 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−43.65)²) = 59.21 Ω

धारा

श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।

I = V/|Z| = 24/59.21 = 0.4054 A

संधारित्र पर वोल्टता

V_C = I·X_C = 0.4054·169.3 = 68.63 V

उत्तर

V_C = 68.63 V

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