कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
- कूलॉम का नियम
- F = k·|q1q2|/r²
- बिंदु आवेश का क्षेत्र
- E = k·|q|/r²
- स्थिरांक
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- आवेश पर बल
- F = q·E
भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
- श्रेणी में प्रतिरोध
- Req = R1 + R2 + …
- समांतर में प्रतिरोध
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- दो समांतर में
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- ओम का नियम
- V = I·R
- शक्ति
- P = V·I = I²R = V²/R
विधि
- नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
- श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
- हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
- तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।
RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
- समय स्थिरांक
- τ = RC | τ = L/R
- अनुक्रिया
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- DC पर संधारित्र
- खुला परिपथ; vC अचानक नहीं बदल सकता
- DC पर प्रेरक
- शॉर्ट सर्किट; iL अचानक नहीं बदल सकता
- स्थिर अवस्था
- t ≈ 5τ
विधि
- स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
- स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
- समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ का उपयोग करें।
चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
- लंबा सीधा तार
- B = μ0I/(2πr)
- समतल कुंडली का केंद्र
- B = μ0NI/(2R)
- लंबी परिनालिका
- B = μ0nI, n = N/L
- स्थिरांक
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- तार पर बल
- F = BIL·sin θ
- आवेश पर बल
- F = |q|vB·sin θ
- वृत्तीय गति
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- समांतर तार
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- फ्लक्स
- Φ = BA·cos θ
- फैराडे का नियम
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- गतिमान छड़
- ε = BLv
- जनित्र
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- प्रेरकत्व
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- अन्योन्य प्रेरकत्व
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
विधि
- हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
- सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
- प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
- दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।
AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
- प्रतिबाधाएँ
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- कोणीय आवृत्ति
- ω = 2πf
- परिमाण और कोण
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- फेज़र रूप में ओम का नियम
- V = I·Z
विधि
- आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
- हर प्रतिघात ज्ञात करें: XL = ωL और XC = 1/(ωC)।
- प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
- परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।
2अभ्यास प्रश्न
1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम
+3 µC का एक आवेश और −10 µC का एक आवेश 10 cm की दूरी पर हैं। बिंदु P उनके बीच की रेखा पर, पहले आवेश से 4 cm पर स्थित है। P पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण E ज्ञात कीजिए।
q1 = +3 µCq2 = −10 µCr1 = 4 cmr2 = 6 cm
E = N/C
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन
तीन धनात्मक बिंदु आवेश एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों पर हैं: q₃ = 10 µC समकोण वाले शीर्ष पर है, q₁ = 1 µC एक भुजा के अनुदिश उससे 3 cm दूर है और q₂ = 5 µC दूसरी भुजा के अनुदिश उससे 10 cm दूर है। q₃ पर नेट विद्युत बल का परिमाण F ज्ञात कीजिए।
q1 = 1 µCq2 = 5 µCq3 = 10 µCr13 = 3 cmr23 = 10 cm
F = N
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम
स्रोत V1 द्वारा देखा गया समतुल्य प्रतिरोध Req ज्ञात कीजिए।
V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 Ω
Req = Ω
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन
R2 से होकर धारा IR2 ज्ञात कीजिए।
V1 = 18 VR1 = 25 ΩR2 = 3 ΩR3 = 5 ΩR4 = 20 ΩR5 = 30 ΩR6 = 4 Ω
IR2 = A
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम
प्रेरक 2 A की स्थिर धारा वहन करता है। t = 0 पर स्विच R से होकर लूप बंद करता है और स्रोत हटा दिया जाता है, इसलिए प्रेरक धारा R से होकर क्षय होती है। t = 10 ms पर धारा i ज्ञात कीजिए।
i(0) = 2 AR = 33 ΩL = 150 mHt = 10 ms
i = A
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन
एक टाइमर t = 0 पर 9 V आपूर्ति से एक प्रतिरोधक के माध्यम से एक अनावेशित संधारित्र को आवेशित करना शुरू करता है। इसे तब ट्रिगर होना है जब संधारित्र वोल्टता 5.4 V तक पहुँचे, शुरुआत के ठीक 50 ms बाद। R = 100 kΩ के साथ आवश्यक धारिता C ज्ञात कीजिए।
Vs = 9 VVth = 5.4 VT = 50 msR = 100 kΩ
C = µF
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम
250 फेरों की कुंडली का क्षेत्रफल 20 cm² है। कुंडली के लंबवत एकसमान क्षेत्र 50 ms में 0.1 T से 0.4 T तक लगातार बढ़ता है। औसत प्रेरित emf ε ज्ञात करें।
N = 250A = 20 cm²B: 0.1 T → 0.4 TΔt = 50 ms
ε = V
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन
एक ड्यूटरॉन विरामावस्था से शुरू होकर 500 V के विभवांतर से त्वरित होता है और फिर 0.1 T के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में समकोण पर प्रवेश करता है। क्षेत्र में उसके पथ की त्रिज्या r ज्ञात करें।
m = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 500 VB = 0.1 T
r = cm
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम
एक श्रेणी RLC परिपथ 120 V (rms), 1000 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। प्रतिबाधा का कलान्तर कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए (धनात्मक जब धारा वोल्टता से पीछे हो)।
V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 1 µF
φ = °
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन
एक श्रेणी RLC परिपथ 12 V (rms), 100 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। संधारित्र पर rms वोल्टता VC ज्ञात कीजिए।
V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF
VC = V
3विलयन
1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
उत्तर: E = 4.183 × 10⁷ N/C
कूलॉम का नियम: दो बिंदु आवेश F = k·|q₁·q₂|/r² बल से एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं, जहाँ k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²। बिंदु आवेश का क्षेत्र E = k·|q|/r² है, जो धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर होता है। कई आवेशों से उत्पन्न बल और क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ते हैं।
हर आवेश का क्षेत्र
E1 = k·3 × 10⁻⁶/0.04² = 1.686 × 10⁷ N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0.06² = 2.497 × 10⁷ N/C
दिशाएँ और योग
पहला क्षेत्र धनात्मक आवेश से दूर और दूसरा ऋणात्मक आवेश की ओर है: दोनों एक ही दिशा में हैं।
E = |1.686 × 10⁷ + 2.497 × 10⁷| = 4.183 × 10⁷ N/C
उत्तर
E = 4.183 × 10⁷ N/C
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
उत्तर: F = 109.5 N
कूलॉम का नियम: दो बिंदु आवेश F = k·|q₁·q₂|/r² बल से एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं, जहाँ k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²। बिंदु आवेश का क्षेत्र E = k·|q|/r² है, जो धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर होता है। कई आवेशों से उत्पन्न बल और क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ते हैं।
q₃ पर हर बल
F1 = k·1·10 × 10⁻¹²/0.03² = 99.89 N
F2 = k·5·10 × 10⁻¹²/0.1² = 44.95 N
सदिश योग
F = √(99.89² + 44.95²) = 109.5 N
उत्तर
F = 109.5 N
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
उत्तर: Req = 12.5 Ω
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
R3 + R4 = 8 + 12 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 12·20/(12+20) = 7.5 Ω
Req = R1 + 7.5 = 5 + 7.5 = 12.5 Ω
उत्तर
Req = 12.5 Ω
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
उत्तर: IR2 = 0.5579 A
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
R5 + R6 = 30 + 4 = 34 Ω
R4 ∥ 34 = 12.59 Ω
R3 + 12.59 = 17.59 Ω
R2 ∥ 17.59 = 2.563 Ω
Req = R1 + 2.563 = 25 + 2.563 = 27.56 Ω
स्रोत से धारा
स्रोत केवल Req देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।
IR1 = V1/Req = 18/27.56 = 0.6531 A
R₂ से होकर धारा
नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 0.6531·25 = 1.674 V
IR2 = VA/R2 = 1.674/3 = 0.5579 A
उत्तर
IR2 = 0.5579 A
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: i = 0.2216 A
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
समय स्थिरांक
τ = L/R = 150 mH / 33 Ω = 4.545 ms
धारा का क्षय
i(t) = 2·e−10/4.545 = 0.2216 A
उत्तर
i = 0.2216 A
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: C = 0.5457 µF
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
आवश्यक समय स्थिरांक
5.4 = 9·(1 − e−50/τ) → τ = 50/ln(9/(9 − 5.4))
τ = 50/0.9163 = 54.57 ms
धारिता
kΩ गुणा µF से मिलीसेकंड मिलते हैं।
C = τ/R = 54.57/100 = 0.5457 µF
उत्तर
C = 0.5457 µF
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
उत्तर: ε = 3 V
विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।
प्रति फेरा फ्लक्स में परिवर्तन
ΔΦ = (0.4 − 0.1)·0.002 = 0.0006 Wb
औसत emf
ε = NΔΦ/Δt = 250·0.0006/0.05 = 3 V
उत्तर
ε = 3 V
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
उत्तर: r = 4.569 cm
चुंबकीय बल: क्षेत्र B में I ले जाने वाला सीधा तार F = BIL·sin θ अनुभव करता है, और गतिमान आवेश F = |q|vB·sin θ, जहाँ θ धारा (या वेग) और B के बीच का कोण है। बल दोनों के लंबवत होता है: दाहिने हाथ की उँगलियाँ I या v की दिशा में रखें, उन्हें B की ओर मोड़ें, और अँगूठा धनात्मक आवेश के लिए F देता है; ऋणात्मक आवेश के लिए इसे उलट दें। क्योंकि F, v के लंबवत है, एकसमान क्षेत्र के आर-पार चलता आवेश वृत्त में चलता है: |q|vB = mv²/r से r = mv/(|q|B) और आवर्तकाल T = 2πm/(|q|B) मिलता है, जो चाल पर निर्भर नहीं करता। एक ही दिशा की धाराओं के लिए दो समांतर तार आकर्षित करते हैं: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)।
त्वरण के बाद की चाल
v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·500/(3.344 × 10⁻²⁷)) = 218876 m/s
क्षेत्र में त्रिज्या
r = mv/(|q|B) = 0.04569 m = 4.569 cm
उत्तर
r = 4.569 cm
संयुक्त: r = √(2mV/|q|)/B, इसलिए समान आवेश के भारी आयन बड़े वृत्तों में चलते हैं; यह समस्थानिकों को अलग करता है।
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: φ = 86.95 °
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
प्रतिघात
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.1 = 628.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159.2 Ω
प्रतिबाधा
श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(XL − XC)।
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (469.2)²) = 469.8 Ω
कलान्तर कोण
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(469.2/25) = 86.95°
उत्तर
φ = 86.95°
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: VC = 12.32 V
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
प्रतिघात
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.02 = 12.57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω
प्रतिबाधा
श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(XL − XC)।
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−326.1)²) = 329.9 Ω
धारा
श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।
I = V/|Z| = 12/329.9 = 0.03638 A
संधारित्र पर वोल्टता
VC = I·XC = 0.03638·338.6 = 12.32 V
उत्तर
VC = 12.32 V
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