भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

कूलॉम का नियम: F = k·|q₁q₂|/r²
बिंदु आवेश का क्षेत्र: E = k·|q|/r²
स्थिरांक: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
आवेश पर बल: F = q·E

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध: R_eq = R₁ + R₂ + …
समांतर में प्रतिरोध: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
दो समांतर में: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
ओम का नियम: V = I·R
शक्ति: P = V·I = I²R = V²/R

विधि

नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

लंबा सीधा तार: B = μ₀I/(2πr)
समतल कुंडली का केंद्र: B = μ₀NI/(2R)
लंबी परिनालिका: B = μ₀nI, n = N/L
स्थिरांक: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
तार पर बल: F = BIL·sin θ
आवेश पर बल: F = |q|vB·sin θ
वृत्तीय गति: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
समांतर तार: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
फ्लक्स: Φ = BA·cos θ
फैराडे का नियम: ε = −N·ΔΦ/Δt
गतिमान छड़: ε = BLv
जनित्र: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
प्रेरकत्व: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
अन्योन्य प्रेरकत्व: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

विधि

हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

2अभ्यास प्रश्न

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम

+5 µC और +4 µC के आवेश 50 cm दूर हैं। उनके बीच की रेखा पर +5 µC आवेश से किस दूरी x पर विद्युत क्षेत्र शून्य है?

q₁ = +5 µCq₂ = +4 µCd = 50 cm

x = cm

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन

एक इलेक्ट्रॉन 1 × 10⁷ m/s से दो समांतर प्लेटों के समांतर चलते हुए उनके बीच के एकसमान क्षेत्र में प्रवेश करता है। प्लेटें 3 cm लंबी हैं और उनके बीच क्षेत्र 1800 N/C है। इलेक्ट्रॉन आवेश 1.602 × 10⁻¹⁹ C, द्रव्यमान 9.109 × 10⁻³¹ kg; गुरुत्व को नगण्य मानें। प्लेटों से निकलते समय यह बगल की ओर कितना y विक्षेपित होता है? उत्तर mm में दें।

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 3 cmE = 1800 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम

R₂ से होकर धारा I_R2 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन

स्रोत द्वारा दी गई धारा I_R1 ज्ञात कीजिए, जो R₁ से होकर बहती है।

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। स्विच बंद होने के कितनी देर बाद धारा अपने अंतिम मान के 95% तक पहुँचती है? t ज्ञात कीजिए।

V_s = 5 VR = 22 ΩL = 47 mH

t = ms

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

एक टाइमर t = 0 पर 12 V आपूर्ति से एक प्रतिरोधक के माध्यम से एक अनावेशित संधारित्र को आवेशित करना शुरू करता है। इसे तब ट्रिगर होना है जब संधारित्र वोल्टता 7.2 V तक पहुँचे, शुरुआत के ठीक 200 ms बाद। R = 2.2 kΩ के साथ आवश्यक धारिता C ज्ञात कीजिए।

V_s = 12 VV_th = 7.2 VT = 200 msR = 2.2 kΩ

C = µF

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम

एक इलेक्ट्रॉन एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में समकोण पर 8 × 10⁶ m/s से प्रवेश करता है और 1.82 cm त्रिज्या के वृत्त पर चलता है। चुंबकीय फ्लक्स घनत्व B ज्ञात करें।

m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 8 × 10⁶ m/sr = 1.82 cm

B = mT

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन

एक लंबी वायु-क्रोड परिनालिका में 100 फेरे हैं, लंबाई 40 cm है और व्यास 1.5 cm है। जब उसमें 0.5 A धारा बहती है, तब उसके चुंबकीय क्षेत्र में संचित ऊर्जा W ज्ञात करें।

N = 100l = 40 cm⌀ = 1.5 cmI = 0.5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ 230 V (rms), 50 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। rms धारा I ज्ञात कीजिए।

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 100 µF

I = A

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ 24 V (rms), 1000 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। परिपथ की अनुनादी आवृत्ति f₀ ज्ञात कीजिए।

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

3विलयन

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: x = 26.39 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

बराबर क्षेत्र

5/x² = 4/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(4/5) = 0.8944

स्थिति

x = 50/(1 + 0.8944) = 26.39 cm

उत्तर

x = 26.39 cm

शून्य बिंदु हमेशा छोटे आवेश के निकट होता है।

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: y = 1.425 mm

प्लेटों के बीच समय

t = L/v₀ = 0.03/1 × 10⁷ = 3 × 10⁻⁹ s

बगल की ओर त्वरण

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·1800/9.109 × 10⁻³¹ = 3.166 × 10¹⁴ m/s²

विक्षेप

y = ½·a·t² = ½·3.166 × 10¹⁴·(3 × 10⁻⁹)² = 0.001425 m = 1.425 mm

उत्तर

y = 1.425 mm

इलेक्ट्रॉन क्षेत्र की दिशा के विरुद्ध, धनात्मक प्लेट की ओर धकेला जाता है।

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R2 = 1.209 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R₃ + R₄ = 12 + 5 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 8·17/(8+17) = 5.44 Ω

R_eq = R₁ + 5.44 = 3 + 5.44 = 8.44 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल R_eq देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

I_R1 = V₁/R_eq = 15/8.44 = 1.777 A

R₂ से होकर धारा

नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1.777·3 = 9.668 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9.668/8 = 1.209 A

उत्तर

I_R2 = 1.209 A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R1 = 0.6336 A

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

R₅ + R₆ = 8 + 15 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 4.759 Ω

R₃ + 4.759 = 29.76 Ω

R₂ ∥ 29.76 = 14.94 Ω

R_eq = R₁ + 14.94 = 4 + 14.94 = 18.94 Ω

स्रोत से धारा

I_R1 = V₁/R_eq = 12/18.94 = 0.6336 A

उत्तर

I_R1 = 0.6336 A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: t = 6.4 ms

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।

τ = L/R = 47 mH / 22 Ω = 2.136 ms

i(∞) = V_s/R = 5/22 = 0.2273 A

समय के लिए हल करें

0.95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)

t = −2.136·ln(0.05) = 6.4 ms

उत्तर

t = 6.4 ms

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: C = 99.21 µF

आवश्यक समय स्थिरांक

7.2 = 12·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(12/(12 − 7.2))

τ = 200/0.9163 = 218.3 ms

धारिता

kΩ गुणा µF से मिलीसेकंड मिलते हैं।

C = τ/R = 218.3/2.2 = 99.21 µF

उत्तर

C = 99.21 µF

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: B = 2.499 mT

चुंबकीय बल: क्षेत्र B में I ले जाने वाला सीधा तार F = BIL·sin θ अनुभव करता है, और गतिमान आवेश F = |q|vB·sin θ, जहाँ θ धारा (या वेग) और B के बीच का कोण है। बल दोनों के लंबवत होता है: दाहिने हाथ की उँगलियाँ I या v की दिशा में रखें, उन्हें B की ओर मोड़ें, और अँगूठा धनात्मक आवेश के लिए F देता है; ऋणात्मक आवेश के लिए इसे उलट दें। क्योंकि F, v के लंबवत है, एकसमान क्षेत्र के आर-पार चलता आवेश वृत्त में चलता है: |q|vB = mv²/r से r = mv/(|q|B) और आवर्तकाल T = 2πm/(|q|B) मिलता है, जो चाल पर निर्भर नहीं करता। एक ही दिशा की धाराओं के लिए दो समांतर तार आकर्षित करते हैं: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)।

त्रिज्या से क्षेत्र

B = mv/(|q|r) = 9.109 × 10⁻³¹·8 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.0182) = 2.499 mT

उत्तर

B = 2.499 mT

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: W = 0.694 µJ

विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।

स्वप्रेरकत्व

L = μ₀N²A/l = 5.552 µH

संचित ऊर्जा

W = ½LI² = ½·5.552 × 10⁻⁶·0.5² = 6.94 × 10⁻⁷ J = 0.694 µJ

उत्तर

W = 0.694 µJ

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: I = 4.378 A

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.05 = 15.71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−16.12)²) = 52.54 Ω

धारा

श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।

I = V/|Z| = 230/52.54 = 4.378 A

उत्तर

I = 4.378 A

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: f₀ = 73.41 Hz

अनुनाद

अनुनाद पर प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात एक-दूसरे को निरस्त करते हैं: ωL = 1/(ωC)। आपूर्ति आवृत्ति मायने नहीं रखती।

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.1·47·10⁻⁶)) = 73.41 Hz

उत्तर

f₀ = 73.41 Hz

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