भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

कूलॉम का नियम: F = k·|q₁q₂|/r²
बिंदु आवेश का क्षेत्र: E = k·|q|/r²
स्थिरांक: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
आवेश पर बल: F = q·E

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध: R_eq = R₁ + R₂ + …
समांतर में प्रतिरोध: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
दो समांतर में: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
ओम का नियम: V = I·R
शक्ति: P = V·I = I²R = V²/R

विधि

नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

लंबा सीधा तार: B = μ₀I/(2πr)
समतल कुंडली का केंद्र: B = μ₀NI/(2R)
लंबी परिनालिका: B = μ₀nI, n = N/L
स्थिरांक: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
तार पर बल: F = BIL·sin θ
आवेश पर बल: F = |q|vB·sin θ
वृत्तीय गति: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
समांतर तार: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
फ्लक्स: Φ = BA·cos θ
फैराडे का नियम: ε = −N·ΔΦ/Δt
गतिमान छड़: ε = BLv
जनित्र: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
प्रेरकत्व: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
अन्योन्य प्रेरकत्व: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

विधि

हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

2अभ्यास प्रश्न

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम

+3 µC का एक आवेश और +10 µC का एक आवेश 20 cm की दूरी पर हैं। बिंदु P उनके बीच की रेखा पर, पहले आवेश से 5 cm पर स्थित है। P पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण E ज्ञात कीजिए।

q₁ = +3 µCq₂ = +10 µCr₁ = 5 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन

3 g द्रव्यमान वाली दो सर्वसम छोटी गेंदें 60 cm लंबे विद्युतरोधी धागों पर एक ही बिंदु से लटकी हैं। उन्हें बराबर आवेश दिए जाते हैं और हर धागा ऊर्ध्वाधर से 15° पर ठहर जाता है। g = 9.81 m/s² लें। हर गेंद पर आवेश q nC में ज्ञात कीजिए। Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 60 cmθ = 15°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम

स्रोत द्वारा दी गई धारा I_R1 ज्ञात कीजिए, जो R₁ से होकर बहती है।

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन

स्रोत द्वारा दी गई धारा I_R1 ज्ञात कीजिए, जो R₁ से होकर बहती है।

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

प्रेरक 0.5 A की स्थिर धारा वहन करता है। t = 0 पर स्विच R से होकर लूप बंद करता है और स्रोत हटा दिया जाता है, इसलिए प्रेरक धारा R से होकर क्षय होती है। t = 1 ms पर धारा i ज्ञात कीजिए।

i(0) = 0.5 AR = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

t = 0 पर स्विच बंद होने से ठीक पहले संधारित्र पर दर्शाई ध्रुवता के साथ 5 V है। t = 300 ms पर संधारित्र वोल्टता v_C ज्ञात कीजिए।

V_s = 12 VR = 10 kΩC = 68 µFv_C(0) = 5 Vt = 300 ms

v_C = V

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम

250 फेरों की कुंडली का क्षेत्रफल 50 cm² है। कुंडली 0.5 T के एकसमान क्षेत्र में, उसके तल के लंबवत, रखी है, और क्षेत्र 100 ms में बंद कर दिया जाता है। औसत प्रेरित emf ε ज्ञात करें।

N = 250A = 50 cm²B = 0.5 TΔt = 100 ms

ε = V

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन

वेग चयनक में, क्रॉस किए गए क्षेत्र E = 5 × 10⁴ V/m और B = 0.1 T केवल एक चाल के आयनों को सीधे गुज़रने देते हैं। वह चाल v ज्ञात करें।

E = 5 × 10⁴ V/mB₁ = 0.1 T

v = m/s

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

L = 1 mH वाले एक श्रेणी RLC परिपथ को 2000 Hz पर अनुनाद करना है। आवश्यक धारिता C ज्ञात कीजिए।

f₀ = 2000 HzL = 1 mH

C = µF

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ में R = 50 Ω, L = 100 mH और C = 2.2 µF है। इसकी बैंडविड्थ B (अर्ध-शक्ति आवृत्तियों के बीच के बैंड की चौड़ाई) Hz में ज्ञात कीजिए।

R = 50 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF

B = Hz

3विलयन

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: E = 6.792 × 10⁶ N/C

कूलॉम का नियम: दो बिंदु आवेश F = k·|q₁·q₂|/r² बल से एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं, जहाँ k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²। बिंदु आवेश का क्षेत्र E = k·|q|/r² है, जो धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर होता है। कई आवेशों से उत्पन्न बल और क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ते हैं।

हर आवेश का क्षेत्र

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0.05² = 1.079 × 10⁷ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0.15² = 3.996 × 10⁶ N/C

दिशाएँ और योग

दोनों आवेश धनात्मक हैं: P पर उनके क्षेत्र अपने-अपने आवेश से दूर, यानी विपरीत दिशाओं में होते हैं।

E = |1.079 × 10⁷ − 3.996 × 10⁶| = 6.792 × 10⁶ N/C

उत्तर

E = 6.792 × 10⁶ N/C

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: q = 290.9 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

संतुलन से विद्युत बल

तनाव का क्षैतिज भाग F को और ऊर्ध्वाधर भाग m·g को संतुलित करता है।

F = m·g·tan θ = 0.003·9.81·tan 15° = 0.007886 N

दूरी

r = 2·L·sin θ = 2·0.6·sin 15° = 0.3106 m

आवेश

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.3106·√(0.007886/8.99 × 10⁹) = 2.909 × 10⁻⁷ C = 290.9 nC

उत्तर

q = 290.9 nC

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R1 = 0.932 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R₃ + R₄ = 6 + 5 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 5·11/(5+11) = 3.438 Ω

R_eq = R₁ + 3.438 = 3 + 3.438 = 6.438 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल R_eq देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

I_R1 = V₁/R_eq = 6/6.438 = 0.932 A

उत्तर

I_R1 = 0.932 A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R1 = 3.451 A

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

R₅ + R₆ = 4 + 10 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 8.235 Ω

R₃ + 8.235 = 20.24 Ω

R₂ ∥ 20.24 = 6.693 Ω

R_eq = R₁ + 6.693 = 2 + 6.693 = 8.693 Ω

स्रोत से धारा

I_R1 = V₁/R_eq = 30/8.693 = 3.451 A

उत्तर

I_R1 = 3.451 A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: i = 0.1839 A

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

धारा का क्षय

i(t) = 0.5·e^−1/1 = 0.1839 A

उत्तर

i = 0.1839 A

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: v_C = 7.497 V

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

संधारित्र वोल्टता अचानक नहीं बदल सकती, इसलिए वह अपने संचित मान से शुरू होकर स्रोत वोल्टता की ओर जाती है।

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 10 kΩ · 68 µF = 680 ms

v_C(t) = 12 + (5 − 12)·e^−t/τ

दिए गए समय पर वोल्टता

v_C(300) = 12 + (−7)·e^−300/680 = 7.497 V

उत्तर

v_C = 7.497 V

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: ε = 6.25 V

विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।

प्रति फेरा फ्लक्स में परिवर्तन

ΔΦ = 0.5·0.005 = 0.0025 Wb

औसत emf

ε = NΔΦ/Δt = 250·0.0025/0.1 = 6.25 V

उत्तर

ε = 6.25 V

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: v = 500000 m/s

चुंबकीय बल: क्षेत्र B में I ले जाने वाला सीधा तार F = BIL·sin θ अनुभव करता है, और गतिमान आवेश F = |q|vB·sin θ, जहाँ θ धारा (या वेग) और B के बीच का कोण है। बल दोनों के लंबवत होता है: दाहिने हाथ की उँगलियाँ I या v की दिशा में रखें, उन्हें B की ओर मोड़ें, और अँगूठा धनात्मक आवेश के लिए F देता है; ऋणात्मक आवेश के लिए इसे उलट दें। क्योंकि F, v के लंबवत है, एकसमान क्षेत्र के आर-पार चलता आवेश वृत्त में चलता है: |q|vB = mv²/r से r = mv/(|q|B) और आवर्तकाल T = 2πm/(|q|B) मिलता है, जो चाल पर निर्भर नहीं करता। एक ही दिशा की धाराओं के लिए दो समांतर तार आकर्षित करते हैं: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)।

चयनित चाल

बिना विक्षेप: विद्युत बल qE चुंबकीय बल qvB को संतुलित करता है।

v = E/B₁ = 5 × 10⁴/0.1 = 500000 m/s

उत्तर

v = 500000 m/s

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: C = 6.333 µF

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

अनुनाद शर्त

अनुनाद पर प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात एक-दूसरे को निरस्त करते हैं: ωL = 1/(ωC)।

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0.001) = 6.333 µF

उत्तर

C = 6.333 µF

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: B = 79.58 Hz

अनुनादी आवृत्ति

f₀ = 1/(2π·√(0.1·2.2·10⁻⁶)) = 339.3 Hz

गुणता गुणक

Q अनुनाद पर प्रतिघात की तुलना प्रतिरोध से करता है: Q = ω₀L/R।

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0.1/(2.2·10⁻⁶)) = 4.264

बैंडविड्थ

B = f₀/Q = 339.3/4.264 = 79.58 Hz

उत्तर

B = 79.58 Hz

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