भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

कूलॉम का नियम: F = k·|q₁q₂|/r²
बिंदु आवेश का क्षेत्र: E = k·|q|/r²
स्थिरांक: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
आवेश पर बल: F = q·E

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध: R_eq = R₁ + R₂ + …
समांतर में प्रतिरोध: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
दो समांतर में: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
ओम का नियम: V = I·R
शक्ति: P = V·I = I²R = V²/R

विधि

नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

लंबा सीधा तार: B = μ₀I/(2πr)
समतल कुंडली का केंद्र: B = μ₀NI/(2R)
लंबी परिनालिका: B = μ₀nI, n = N/L
स्थिरांक: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
तार पर बल: F = BIL·sin θ
आवेश पर बल: F = |q|vB·sin θ
वृत्तीय गति: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
समांतर तार: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
फ्लक्स: Φ = BA·cos θ
फैराडे का नियम: ε = −N·ΔΦ/Δt
गतिमान छड़: ε = BLv
जनित्र: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
प्रेरकत्व: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
अन्योन्य प्रेरकत्व: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

विधि

हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

2अभ्यास प्रश्न

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम

+6 µC का एक आवेश और +8 µC का एक आवेश 60 cm की दूरी पर हैं। बिंदु P उनके बीच की रेखा पर, पहले आवेश से 45 cm पर स्थित है। P पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण E ज्ञात कीजिए।

q₁ = +6 µCq₂ = +8 µCr₁ = 45 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन

तीन धनात्मक बिंदु आवेश एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों पर हैं: q₃ = 1 µC समकोण वाले शीर्ष पर है, q₁ = 6 µC एक भुजा के अनुदिश उससे 8 cm दूर है और q₂ = 2 µC दूसरी भुजा के अनुदिश उससे 5 cm दूर है। q₃ पर नेट विद्युत बल का परिमाण F ज्ञात कीजिए।

q₁ = 6 µCq₂ = 2 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम

स्रोत द्वारा दी गई धारा I_R1 ज्ञात कीजिए, जो R₁ से होकर बहती है।

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन

R₂ से होकर धारा I_R2 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। स्विच बंद होने के कितनी देर बाद धारा अपने अंतिम मान के 75% तक पहुँचती है? t ज्ञात कीजिए।

V_s = 20 VR = 47 ΩL = 100 mH

t = ms

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

R₂ के आर-पार लगा स्विच लंबे समय से खुला है, इसलिए प्रेरक धारा स्थिर है। t = 0 पर स्विच बंद होता है और R₂ को शॉर्ट कर देता है। t = 0 के कितनी देर बाद प्रेरक धारा 0.429 A तक पहुँचती है? t ज्ञात कीजिए।

V_s = 24 VR₁ = 47 ΩR₂ = 22 ΩL = 22 mH

t = ms

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम

एक ऐल्फ़ा कण, 0.25 T के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत 4 × 10⁵ m/s से चलता है। उसके वृत्ताकार पथ की त्रिज्या r ज्ञात करें।

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁵ m/sB = 0.25 T

r = cm

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन

एक लंबी वायु-क्रोड परिनालिका में 200 फेरे हैं, लंबाई 15 cm है और व्यास 5 cm है। जब उसमें 3 A धारा बहती है, तब उसके चुंबकीय क्षेत्र में संचित ऊर्जा W ज्ञात करें।

N = 200l = 15 cm⌀ = 5 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

L = 20 mH वाले एक श्रेणी RLC परिपथ को 100 Hz पर अनुनाद करना है। आवश्यक धारिता C ज्ञात कीजिए।

f₀ = 100 HzL = 20 mH

C = µF

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ को 12 V (rms) स्रोत से चलाया जाता है जिसकी आवृत्ति परिपथ की अनुनादी आवृत्ति पर सेट है। प्रेरक पर rms वोल्टता V_L ज्ञात कीजिए।

V = 12 V (rms)R = 50 ΩL = 100 mHC = 10 µF

V_L = V

3विलयन

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: E = 2.93 × 10⁶ N/C

कूलॉम का नियम: दो बिंदु आवेश F = k·|q₁·q₂|/r² बल से एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं, जहाँ k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²। बिंदु आवेश का क्षेत्र E = k·|q|/r² है, जो धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर होता है। कई आवेशों से उत्पन्न बल और क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ते हैं।

हर आवेश का क्षेत्र

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0.45² = 266370 N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0.15² = 3.196 × 10⁶ N/C

दिशाएँ और योग

दोनों आवेश धनात्मक हैं: P पर उनके क्षेत्र अपने-अपने आवेश से दूर, यानी विपरीत दिशाओं में होते हैं।

E = |266370 − 3.196 × 10⁶| = 2.93 × 10⁶ N/C

उत्तर

E = 2.93 × 10⁶ N/C

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: F = 11.08 N

q₃ पर हर बल

F₁ = k·6·1 × 10⁻¹²/0.08² = 8.428 N

F₂ = k·2·1 × 10⁻¹²/0.05² = 7.192 N

सदिश योग

F = √(8.428² + 7.192²) = 11.08 N

उत्तर

F = 11.08 N

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R1 = 0.5514 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R₃ + R₄ = 10 + 5 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 2·15/(2+15) = 1.765 Ω

R_eq = R₁ + 1.765 = 20 + 1.765 = 21.76 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल R_eq देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

I_R1 = V₁/R_eq = 12/21.76 = 0.5514 A

उत्तर

I_R1 = 0.5514 A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R2 = 0.6922 A

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

R₅ + R₆ = 20 + 3 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 11.98 Ω

R₃ + 11.98 = 19.98 Ω

R₂ ∥ 19.98 = 9.995 Ω

R_eq = R₁ + 9.995 = 3 + 9.995 = 12.99 Ω

स्रोत से धारा

I_R1 = V₁/R_eq = 18/12.99 = 1.385 A

R₂ से होकर धारा

नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1.385·3 = 13.84 V

I_R2 = V_A/R₂ = 13.84/20 = 0.6922 A

उत्तर

I_R2 = 0.6922 A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: t = 2.95 ms

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।

τ = L/R = 100 mH / 47 Ω = 2.128 ms

i(∞) = V_s/R = 20/47 = 0.4255 A

समय के लिए हल करें

0.75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)

t = −2.128·ln(0.25) = 2.95 ms

उत्तर

t = 2.95 ms

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: t = 0.3231 ms

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

t = 0 से पहले दोनों प्रतिरोधक लूप में हैं; बाद में बंद स्विच R₂ को बायपास करता है।

i(0) = 24/(47 + 22) = 0.3478 A

i(∞) = 24/47 = 0.5106 A

τ = L/R = 22/47 = 0.4681 ms

i(t) = 0.5106 + (0.3478 − 0.5106)·e^−t/τ

समय के लिए हल करें

e^−t/τ = (0.429 − 0.5106)/(0.3478 − 0.5106) = 0.5014

t = 0.4681·ln(1.994) = 0.3231 ms

उत्तर

t = 0.3231 ms

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: r = 3.318 cm

चुंबकीय बल: क्षेत्र B में I ले जाने वाला सीधा तार F = BIL·sin θ अनुभव करता है, और गतिमान आवेश F = |q|vB·sin θ, जहाँ θ धारा (या वेग) और B के बीच का कोण है। बल दोनों के लंबवत होता है: दाहिने हाथ की उँगलियाँ I या v की दिशा में रखें, उन्हें B की ओर मोड़ें, और अँगूठा धनात्मक आवेश के लिए F देता है; ऋणात्मक आवेश के लिए इसे उलट दें। क्योंकि F, v के लंबवत है, एकसमान क्षेत्र के आर-पार चलता आवेश वृत्त में चलता है: |q|vB = mv²/r से r = mv/(|q|B) और आवर्तकाल T = 2πm/(|q|B) मिलता है, जो चाल पर निर्भर नहीं करता। एक ही दिशा की धाराओं के लिए दो समांतर तार आकर्षित करते हैं: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)।

बल संतुलन

चुंबकीय बल हमेशा वेग के लंबवत होता है, इसलिए वह पथ को वृत्त में मोड़ देता है।

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

त्रिज्या

r = 6.645 × 10⁻²⁷·4 × 10⁵/(3.204 × 10⁻¹⁹·0.25) = 0.03318 m = 3.318 cm

उत्तर

r = 3.318 cm

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: W = 2.961 mJ

विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।

स्वप्रेरकत्व

L = μ₀N²A/l = 658 µH

संचित ऊर्जा

W = ½LI² = ½·0.000658·3² = 0.002961 J = 2.961 mJ

उत्तर

W = 2.961 mJ

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: C = 126.7 µF

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

अनुनाद शर्त

अनुनाद पर प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात एक-दूसरे को निरस्त करते हैं: ωL = 1/(ωC)।

ω₀ = 2π·100 = 628.3 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(628.3²·0.02) = 126.7 µF

उत्तर

C = 126.7 µF

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: V_L = 24 V

अनुनाद

अनुनाद पर प्रतिघात निरस्त हो जाते हैं, इसलिए प्रतिबाधा केवल R है।

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·10·10⁻⁶) = 1000 rad/s

I = V/R = 12/50 = 0.24 A

प्रेरक पर वोल्टता

X_L = ω₀L = 1000·0.1 = 100 Ω

V_L = I·X_L = 0.24·100 = 24 V

उत्तर

V_L = 24 V

यह आपूर्ति वोल्टता का Q = 2 गुना है।

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