इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

45 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 3.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 45 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक ट्राम विराम से शुरू होकर 4 s तक 2.5 m/s² से त्वरित होती है, फिर 14 s तक स्थिर चाल से चलती है, और अंत में रुकने तक 3 m/s² से ब्रेक लगाती है। दोनों स्टॉपों के बीच कुल दूरी s ज्ञात कीजिए।

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 14 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 11 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 31 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 11 m/sd = 31 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 5.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 4.5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। मेज़ घर्षणरहित है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 5.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 50° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 38 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

t = s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 45 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 30 m/s से क्षैतिज से 55° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। यह क्षैतिज से नीचे किस कोण α पर ज़मीन से टकराती है?

v₀ = 30 m/sθ = 55°h = 45 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 45° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। ढलान के साथ 2 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 45°μ = 0.15d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

4 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 2.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 4 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.15) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 4000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग तक पहुँचने पर गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 4 kgh = 2.5 mL = 4 mμ = 0.15k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

2 m/s से चल रहा 2 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 0.5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद पहले ग्लाइडर का वेग v′₁ ज्ञात कीजिए (उसकी मूल दिशा में धनात्मक)।

m₁ = 2 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 20 g गोली 1.3 m लंबी हल्की डोरियों से लटके 5 kg गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसमें रह जाती है। डोरियाँ ऊर्ध्वाधर से अधिकतम 30° के कोण तक झूलती हैं। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 20 gM = 5 kgL = 1.3 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 1 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

1 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक समुद्री जल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 0.5 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक बड़ी खुली टंकी से 40 mm व्यास वाले तीक्ष्ण-धार छिद्र (ऑरिफ़िस) से निकलता है। जल स्तर छिद्र से 6 m ऊपर बनाए रखा जाता है और निस्सरण गुणांक 0.61 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। g = 9.81 m/s² लें।

d = 40 mmh = 6 mC_d = 0.61g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक क्षैतिज वेंचुरी मीटर (प्रवेश 100 mm, कंठ 50 mm) पानी ले जाता है। प्रवेश और कंठ के बीच जुड़ा पारे का U-नली मैनोमीटर 160 mm का स्तर अंतर दिखाता है। निस्सरण गुणांक 0.96 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। पानी के लिए ρ = 1000 kg/m³, पारे के लिए 13 600 kg/m³ और g = 9.81 m/s² लें।

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmΔh = 160 mmC_d = 0.96ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.आदर्श गैस नियममध्यम

30 L की टंकी में 55 °C पर CH₄ का 340 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 340 gM = 16.04 g/molV = 30 LT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

CO₂ की एक निश्चित मात्रा 300 kPa, 10 L, 40 °C से 150 kPa और 190 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 300 kPaV₁ = 10 LT₁ = 40 °CP₂ = 150 kPaT₂ = 190 °C

V₂ = L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 400 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेता है और 20 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसकी वास्तविक तापीय दक्षता 31% है। इसकी द्वितीय-नियम दक्षता η_II, अर्थात वास्तविक दक्षता और कार्नो दक्षता का अनुपात, ज्ञात कीजिए।

T_H = 400 °CT_L = 20 °Cη = 31%

η_II = %

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक रेफ़्रिजरेटर 32 °C वाली रसोई में अपने ठंडे भाग को 2 °C पर रखता है, ठंडे भाग से 2 kW ऊष्मा निकालते हुए। न्यूनतम शक्ति निवेश Ẇ_min ज्ञात कीजिए।

T_H = 32 °CT_L = 2 °CQ̇_L = 2 kW

Ẇ_min = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

प्रकाश फ्लिंट काँच (n = 1.62) में ऐक्रिलिक (n = 1.49) के साथ समतल सीमा की ओर चलता है। वह क्रांतिक कोण θ_c ज्ञात करें जिसके आगे वह पूर्णतः परावर्तित होता है।

n₁ = 1.62n₂ = 1.49

θ_c = °

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

480 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.15 mm की दूरी पर स्थित दो झिरियों पर पड़ता है। परदा 1 m दूर है। केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से दीप्त फ्रिंज संख्या 2 तक की दूरी y₂ ज्ञात करें।

λ = 480 nmd = 0.15 mmL = 1 mm = 2

y₂ = mm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 22.32 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·3.5) = 22.32 m

उत्तर

s = 22.32 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 176.7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

अधिकतम चाल

v = a₁·t₁ = 2.5·4 = 10 m/s

हर चरण की दूरी

s₁ = ½·2.5·4² = 20 m

s₂ = 10·14 = 140 m

s₃ = 10²/(2·3) = 16.67 m

कुल दूरी

s = 20 + 140 + 16.67 = 176.7 m

उत्तर

s = 176.7 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.1989

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 11²/(2·31) = 1.952 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.952/9.81 = 0.1989

उत्तर

μ = 0.1989

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 24.28 N

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 0)/10 = 4.415 m/s²

मेज़ पर रखे गुटके से तनाव

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5.5·4.415 + 0 = 24.28 N

उत्तर

T = 24.28 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 5.935 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 50° = 24.43 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 50° = 29.11 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·29.11/9.81 = 5.935 s

उत्तर

t = 5.935 s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: α = 65.95 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 30·cos 55° = 17.21 m/s

v_y0 = 30·sin 55° = 24.57 m/s

टकराने पर ऊर्ध्वाधर चाल

ऊर्जा या ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = v₀² + 2as।

v_y = √(24.57² + 2·9.81·45) = 38.56 m/s

टकराने का कोण

tan α = v_y/v_x = 38.56/17.21 → α = 65.95°

उत्तर

α = 65.95°

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 4.856 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·2·(0.7071 − 0.15·0.7071)) = 4.856 m/s

उत्तर

v = 4.856 m/s

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 6.106 m/s

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 39.24·(2.5 − 0.15·4) = 74.56 J

स्प्रिंग पर चाल

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.9) = 6.106 m/s

उत्तर

v = 6.106 m/s

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₁ = 1.2 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (2 − 0.5)/(2 + 0.5)·2 = 1.2 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 0.5)·2 = 3.2 m/s

उत्तर

v′₁ = 1.2 m/s

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 464 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

गुटके का उठान

h = L·(1 − cos θ) = 1.3·(1 − cos 30°) = 0.1742 m

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·9.81·0.1742) = 1.849 m/s

टक्कर

v = (m + M)·V/m = 5.02·1.849/0.02 = 464 m/s

उत्तर

v = 464 m/s

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 165.5 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·7.5 = 165.5 kN

उत्तर

F = 165.5 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 1.4 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1.25·1.5 = 18.85 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 1·1.5³/12 = 0.2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.25 + 0.2813/(1.25·1.5) = 1.4 m

उत्तर

y_cp = 1.4 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 8.317 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

आदर्श जेट वेग

√(2gh) = √(2·9.81·6) = 10.85 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

निस्सरण गुणांक जेट के संकुचन और किनारे पर घर्षण को ध्यान में रखता है।

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.61·0.001257·10.85 = 0.008317 m³/s = 8.317 L/s

उत्तर

Q = 8.317 L/s

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 12.24 L/s

मैनोमीटर से दाबांतर

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.16 = 19777 Pa

कंठ वेग

सांतत्य और बर्नूली मिलकर आदर्श कंठ वेग देते हैं।

β = 50/100 = 0.5

v₂ = √(2·19777/(1000·(1 − 0.0625))) = 6.495 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.96·0.001963·6.495 = 0.01224 m³/s = 12.24 L/s

उत्तर

Q = 12.24 L/s

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 1928 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 340/16.04 = 21.2 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

दाब

P = nRT/V = 21.2·8.314·328.1/0.03 = 1928 kPa

उत्तर

P = 1928 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 29.58 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 313.1 K, T₂ = 463.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(300/150)·(463.1/313.1) = 29.58 L

उत्तर

V₂ = 29.58 L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: η_II = 54.91 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

कार्नो दक्षता

η_Carnot = 1 − 293.1/673.1 = 56.45 %

द्वितीय-नियम दक्षता

η_II = η/η_Carnot = 31/56.45 = 54.91 %

उत्तर

η_II = 54.91 %

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ_min = 0.2181 kW

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 275.1/(305.1 − 275.1) = 9.172

न्यूनतम शक्ति

सबसे कम कार्य उत्क्रमणीय मशीन को चाहिए, जिसका COP सबसे अधिक है।

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 2/9.172 = 0.2181 kW

उत्तर

Ẇ_min = 0.2181 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ_c = 66.89 °

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

90° पर अपवर्तन

sin θc = n₂/n₁ = 1.49/1.62 = 0.9198

क्रांतिक कोण

θc = arcsin(0.9198) = 66.89°

उत्तर

θ_c = 66.89°

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: y₂ = 6.4 mm

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

फ्रिंज अंतराल

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·1/(0.15 × 10⁻³) = 3.2 mm

फ्रिंज संख्या 2

y₂ = 2·3.2 = 6.4 mm

उत्तर

y₂ = 6.4 mm

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