इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

45 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 3.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 45 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

गेंद A को 10 m की ऊँचाई से विराम से गिराया जाता है। उसी क्षण गेंद B को ठीक नीचे ज़मीन से 26 m/s से सीधे ऊपर फेंका जाता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंदें कब मिलती हैं? t ज्ञात कीजिए।

H = 10 mv_0B = 26 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

12 kg का एक गुटका क्षैतिज से 45° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 12 kgθ = 45°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

एक गुटके को धक्का दिया जाता है ताकि वह 20° के रैंप पर 8 m/s की चाल से ऊपर फिसलना शुरू करे। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। रुकने से पहले यह रैंप पर कितनी दूर d फिसलता है?

v₀ = 8 m/sθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 36 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 100 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 36 m/sR = 100 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 20 m/s से क्षैतिज से 70° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 11 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 20 m/sθ = 70°h_roof = 11 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 45° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। ढलान के साथ 15 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 45°μ = 0.1d = 15 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 8 kg गुटका खुरदरी क्षैतिज मेज़ (μ = 0.1) पर रखा है। एक हल्की डोरी उससे मेज़ के किनारे पर एक चिकनी घिरनी के ऊपर से होकर एक लटकते 4 kg गुटके तक जाती है। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। लटकते गुटके के 2 m गिरने के बाद गुटकों की चाल v ज्ञात कीजिए।

m₁ = 8 kgm₂ = 4 kgμ = 0.1d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

23 m/s से क्षैतिज रूप से चल रहा एक 4 kg प्रक्षेप्य दो टुकड़ों में फटता है जो उसी रेखा में चलते हैं। 3 kg टुकड़ा 50 m/s से आगे चलता रहता है। 1 kg टुकड़े का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए (मूल दिशा में धनात्मक)।

M = 4 kgu = 23 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 50 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

एक चौराहे पर 17 m/s से पूर्व की ओर जा रही एक 1900 kg कार 14 m/s से उत्तर की ओर जा रही एक 1400 kg कार से टकराती है। कारें आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर के ठीक बाद मलबे की चाल v′ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1900 kgv₁ = 17 m/s (E)m₂ = 1400 kgv₂ = 14 m/s (N)

v′ = m/s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 1 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 2 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 75 mm से 50 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 230 kPa और वेग 0.75 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 230 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 75 mm से 50 mm तक संकरा होता है और 4 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 100 kPa और वेग 1.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 100 kPav₁ = 1.5 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

50 L की टंकी में 5 °C पर CH₄ का 350 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 350 gM = 16.04 g/molV = 50 LT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

N₂ की एक निश्चित मात्रा 100 kPa, 10 L, 20 °C से 100 kPa और 140 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 100 kPaV₁ = 10 LT₁ = 20 °CP₂ = 100 kPaT₂ = 140 °C

V₂ = L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय (कार्नो) ऊष्मा इंजन 550 °C वाले भंडार से प्रति चक्र 1000 kJ ऊष्मा लेता है और 387 kJ त्यागता है। ठंडे भंडार का तापमान T_L °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 550 °CQ_H = 1000 kJQ_L = 387 kJ

T_L = °C

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

दो कार्नो इंजन श्रेणी में काम करते हैं। इंजन A 1050 °C वाले भंडार से ऊष्मा लेता है और तापमान T_m वाले मध्यवर्ती भंडार को ऊष्मा त्यागता है। इंजन B वह सारी ऊष्मा लेता है और 25 °C वाले भंडार को ऊष्मा त्यागता है। दोनों इंजनों की तापीय दक्षता समान है। T_m को °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 1050 °CT_L = 25 °C

T_m = °C

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

दोनों सिरों पर बँधी डोरी का मूल (प्रथम संनादी) 75 Hz पर होना चाहिए; उस पर तरंगें 180 m/s से चलती हैं। उसकी लंबाई L ज्ञात करें।

v = 180 m/sn = 1f₁ = 75 Hz

L = m

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

500 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.2 mm चौड़ी एकल झिरी से गुज़रता है। सीधी दिशा से अदीप्त फ्रिंज संख्या 1 का कोण θ₁ ज्ञात करें।

λ = 500 nma = 0.2 mmm = 1

θ₁ = °

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 22.32 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·3.5) = 22.32 m

उत्तर

s = 22.32 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 0.3846 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

मिलने का समय

ऊपर धनात्मक है, ज़मीन y = 0 है।

10 − ½g·t² = 26·t − ½g·t² → t = 10/26 = 0.3846 s

उत्तर

t = 0.3846 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 6.243 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 45° − 0.1·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.07071) = 6.243 m/s²

उत्तर

a = 6.243 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: d = 7.482 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

दोनों बल ढलान के नीचे की ओर हैं; द्रव्यमान कट जाता है।

a = 9.81·(sin 20° + 0.1·cos 20°) = 4.277 m/s²

दूरी

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·4.277) = 7.482 m

उत्तर

d = 7.482 m

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 24.6 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·100/36² = 0.7569

कोण

2θ = 49.2° → θ = 24.6°

उत्तर

θ = 24.6°

दूसरा हल 90° − θ = 65.4° है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 21.28 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 6.84 m/s, v_y = 18.79 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

11 = 18.79·t − 4.905·t²

t = (18.79 + √(18.79² − 2·9.81·11))/9.81 = 3.111 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 6.84·3.111 = 21.28 m

उत्तर

x = 21.28 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 13.69 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·15·(0.7071 − 0.1·0.7071)) = 13.69 m/s

उत्तर

v = 13.69 m/s

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 3.235 m/s

मुक्त और खोई गई ऊर्जा

m₂g·d = 39.24·2 = 78.48 J

μ·m₁g·d = 0.1·78.48·2 = 15.7 J

दोनों गुटकों की गतिज ऊर्जा

½(m₁ + m₂)v² = 62.78 → v = √(2·62.78/12) = 3.235 m/s

उत्तर

v = 3.235 m/s

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = −58 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

पहले का संवेग

p = M·u = 4·23 = 92 kg·m/s

बाद का संवेग

92 = 3·50 + 1·v′₂

v′₂ = (92 − 150)/1 = −58 m/s

उत्तर

v′₂ = −58 m/s

ऋण चिह्न का अर्थ है कि दूसरा टुकड़ा पीछे की ओर उड़ता है।

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′ = 11.45 m/s

संवेग घटक

p_x = 1900·17 = 32300 kg·m/s

p_y = 1400·14 = 19600 kg·m/s

मलबे की चाल

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 37782/3300 = 11.45 m/s

उत्तर

v′ = 11.45 m/s

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 147.2 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·6 = 147.2 kN

उत्तर

F = 147.2 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 3.111 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 1/(3·3) = 3.111 m

उत्तर

y_cp = 3.111 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 228.9 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(75/50)² = 1.688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 1.688²)/1000 = −1.143 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 230 + (−1.143) = 228.9 kPa

उत्तर

p₂ = 228.9 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 56.19 kPa

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(75/50)² = 3.375 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 3.375²)/1000 = −4.57 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 100 + (−4.57) − 39.24 = 56.19 kPa

उत्तर

p₂ = 56.19 kPa

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 1009 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 350/16.04 = 21.82 mol

T = 5 + 273.15 = 278.1 K

दाब

P = nRT/V = 21.82·8.314·278.1/0.05 = 1009 kPa

उत्तर

P = 1009 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 14.09 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 293.1 K, T₂ = 413.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(100/100)·(413.1/293.1) = 14.09 L

उत्तर

V₂ = 14.09 L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_L = 45.41 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

स्रोत का परम तापमान

T_H = 550 + 273.15 = 823.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 823.1·387/1000 = 318.6 K = 45.41 °C

उत्तर

T_L = 45.41 °C

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_m = 354.9 °C

परम तापमान

T_H = 1050 + 273.15 = 1323 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

समान दक्षताएँ

1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m से T_m² = T_H·T_L मिलता है।

T_m = √(1323·298.1) = 628.1 K = 354.9 °C

उत्तर

T_m = 354.9 °C

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: L = 1.2 m

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

तरंगदैर्ध्य

λ = v/f = 180/75 = 2.4 m

लंबाई

L = nλ/2 = 1·2.4/2 = 1.2 m

उत्तर

L = 1.2 m

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ₁ = 0.1432 °

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

अदीप्त फ्रिंज की शर्त

sin θ = mλ/a = 0.0025

θ = 0.1432°

उत्तर

θ₁ = 0.1432°

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