इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

60 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 0.5 s है, जिसके बाद कार 4.5 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 60 km/ht_r = 0.5 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 25 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 18 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

v₀ = 18 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

18 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 18 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

एक गुटके को धक्का दिया जाता है ताकि वह 15° के रैंप पर 4.5 m/s की चाल से ऊपर फिसलना शुरू करे। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। रुकने से पहले यह रैंप पर कितनी दूर d फिसलता है?

v₀ = 4.5 m/sθ = 15°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 24 m/s से क्षैतिज से 35° ऊपर 33 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 24 m/sθ = 35°x = 33 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 20 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 18 m/s से क्षैतिज से 40° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वह चाल v ज्ञात कीजिए जिससे यह ज़मीन से टकराती है।

v₀ = 18 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

5 kg का एक गुटका क्षैतिज से 35° पर झुकी ढलान पर 5 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य W_f ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgθ = 35°μ = 0.2d = 5 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

25° ढलान के तल पर 5000 N/m कठोरता वाले एक स्प्रिंग को एक 3 kg गुटके के विरुद्ध 10 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। गुटके और ढलान के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। रुकने से पहले गुटका छोड़ने के बिंदु से ढलान पर कितनी दूर d ऊपर जाता है? (स्प्रिंग के धकेलने वाली छोटी दूरी को नगण्य मानें, अर्थात घर्षण और गुरुत्व को पूरी दूरी d पर लें।)

m = 3 kgk = 5000 N/mx = 10 cmθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

14 m/s से चल रही एक 700 kg कार खड़ी 900 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 700 kgv₁ = 14 m/sm₂ = 900 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 1800 kg कार एक खड़ी 1400 kg कार से टकराती है। मलबे आपस में जुड़ जाते हैं और रुकने से पहले 21 m फिसलते हैं। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.6 है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से ठीक पहले पहली कार की चाल v₁ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1800 kgm₂ = 1400 kgd = 21 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 2.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 0.5 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 0.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 75 mm से 25 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 170 kPa और वेग 1.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 170 kPav₁ = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक क्षैतिज वेंचुरी मीटर (प्रवेश 250 mm, कंठ 125 mm) पानी ले जाता है। प्रवेश और कंठ के बीच जुड़ा पारे का U-नली मैनोमीटर 380 mm का स्तर अंतर दिखाता है। निस्सरण गुणांक 0.95 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। पानी के लिए ρ = 1000 kg/m³, पारे के लिए 13 600 kg/m³ और g = 9.81 m/s² लें।

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmΔh = 380 mmC_d = 0.95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.आदर्श गैस नियममध्यम

5 L की टंकी में 70 °C पर O₂ का 10 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 10 gM = 32 g/molV = 5 LT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

950 kPa और 10 °C पर CH₄ का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 16.04 g/molP = 950 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 500 °C पर गर्म भंडार और 35 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। यह 2000 kJ ऊष्मा लेता है। यह अधिकतम कितना कार्य W_max उत्पन्न कर सकता है, ज्ञात कीजिए।

T_H = 500 °CT_L = 35 °CQ_H = 2000 kJ

W_max = kJ

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप -10 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेकर 35 °C वाले तापन तंत्र को 16.5 kW ऊष्मा देता है। इसका वास्तविक COP इन तापमानों के बीच कार्नो COP का 35% है। इसके द्वारा ली गई विद्युत शक्ति Ẇ ज्ञात कीजिए।

T_H = 35 °CT_L = -10 °Cη_II = 35%Q̇_H = 16.5 kW

Ẇ = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

प्रकाश हीरा (n = 2.42) में ग्लिसरॉल (n = 1.47) के साथ समतल सीमा की ओर चलता है। वह क्रांतिक कोण θ_c ज्ञात करें जिसके आगे वह पूर्णतः परावर्तित होता है।

n₁ = 2.42n₂ = 1.47

θ_c = °

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

दो पतले लेंस एक ही अक्ष पर 30 cm की दूरी पर हैं: लेंस 1 की f₁ = 20 cm और लेंस 2 की f₂ = −20 cm है। एक वस्तु लेंस 1 के सामने 50 cm पर है। अंतिम प्रतिबिंब की स्थिति d_i2 लेंस 2 से मापकर ज्ञात करें (लेंस 2 के आगे धनात्मक, वास्तविक-धनात्मक परिपाटी)।

f₁ = 20 cmf₂ = −20 cms = 30 cmd_o = 50 cm

d_i2 = cm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 39.2 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 16.67·0.5 = 8.333 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·4.5) = 30.86 m

कुल

d = 8.333 + 30.86 = 39.2 m

उत्तर

d = 39.2 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 41.51 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

छत के ऊपर उठान

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 18²/(2·9.81) = 16.51 m

ज़मीन से ऊँचाई

h_max = 25 + 16.51 = 41.51 m

उत्तर

h_max = 41.51 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 3.206 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 30° − 0.2·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1732) = 3.206 m/s²

उत्तर

a = 3.206 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: d = 2.063 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

दोनों बल ढलान के नीचे की ओर हैं; द्रव्यमान कट जाता है।

a = 9.81·(sin 15° + 0.25·cos 15°) = 4.908 m/s²

दूरी

d = v₀²/(2a) = 4.5²/(2·4.908) = 2.063 m

उत्तर

d = 2.063 m

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 9.287 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 24·cos 35° = 19.66 m/s

t = x/v_x = 33/19.66 = 1.679 s

उस समय ऊँचाई

y = 13.77·1.679 − ½·9.81·1.679² = 9.287 m

उत्तर

y = 9.287 m

दीवार पर गेंद पहले से नीचे आ रही है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v = 26.77 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 18·cos 40° = 13.79 m/s

v_y0 = 18·sin 40° = 11.57 m/s

टकराने पर ऊर्ध्वाधर चाल

ऊर्जा या ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = v₀² + 2as।

v_y = √(11.57² + 2·9.81·20) = 22.94 m/s

टकराने की चाल

v = √(13.79² + 22.94²) = 26.77 m/s

उत्तर

v = 26.77 m/s

ऊर्जा से जाँचें: v² = v₀² + 2gh।

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: W_f = 40.18 J

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

घर्षण बल

N = mg·cos θ = 49.05·0.8192 = 40.18 N

F = μN = 0.2·40.18 = 8.036 N

घर्षण के विरुद्ध कार्य

W_f = F·d = 8.036·5 = 40.18 J

उत्तर

W_f = 40.18 J

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: d = 1.309 m

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·5000·0.1² = 25 J

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 25/(29.43·(0.4226 + 0.25·0.9063)) = 1.309 m

उत्तर

d = 1.309 m

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 38588 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·14/1600 = 6.125 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·700·14² = 68600 J

K_after = ½·1600·6.125² = 30013 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 68600 − 30013 = 38588 J

उत्तर

ΔK = 38588 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: v₁ = 27.95 m/s

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·21) = 15.72 m/s

टक्कर में संवेग

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3200·15.72/1800 = 27.95 m/s

उत्तर

v₁ = 27.95 m/s

(100.6 km/h)

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 176.6 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·4.5 = 176.6 kN

उत्तर

F = 176.6 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 1.722 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·4 = 58.86 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1.333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 1.333/(1.5·4) = 1.722 m

उत्तर

y_cp = 1.722 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 80 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(75/25)² = 13.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 13.5²)/1000 = −90 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 170 + (−90) = 80 kPa

उत्तर

p₂ = 80 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 116.7 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

मैनोमीटर से दाबांतर

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.38 = 46970 Pa

कंठ वेग

सांतत्य और बर्नूली मिलकर आदर्श कंठ वेग देते हैं।

β = 125/250 = 0.5

v₂ = √(2·46970/(1000·(1 − 0.0625))) = 10.01 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.95·0.01227·10.01 = 0.1167 m³/s = 116.7 L/s

उत्तर

Q = 116.7 L/s

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 178.3 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 10/32 = 0.3125 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

दाब

P = nRT/V = 0.3125·8.314·343.1/0.005 = 178.3 kPa

उत्तर

P = 178.3 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 6.473 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

घनत्व

ρ = 950·16.04/(8.314·283.1) = 6.473 kg/m³

उत्तर

ρ = 6.473 kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: W_max = 1203 kJ

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308.1/773.1 = 60.14 %

अधिकतम कार्य

W_max = η_max·Q_H = 0.6014·2000 = 1203 kJ

उत्तर

W_max = 1203 kJ

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ = 6.884 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

कार्नो और वास्तविक COP

COP_max = 308.1/(308.1 − 263.1) = 6.848

COP = 0.35·6.848 = 2.397

निवेश शक्ति

Ẇ = Q̇_H/COP = 16.5/2.397 = 6.884 kW

उत्तर

Ẇ = 6.884 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ_c = 37.4 °

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

90° पर अपवर्तन

sin θc = n₂/n₁ = 1.47/2.42 = 0.6074

क्रांतिक कोण

θc = arcsin(0.6074) = 37.4°

उत्तर

θ_c = 37.4°

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: d_i2 = 4 cm

लेंस 1 का प्रतिबिंब

1/d_i1 = 1/20 − 1/50 → d_i1 = 33.33 cm

लेंस 2 के लिए वस्तु

d_o2 = 30 − 33.33 = −3.333 cm

अंतिम प्रतिबिंब

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/(−3.333) → d_i2 = 4 cm

उत्तर

d_i2 = 4 cm

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