इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

एक विमान विराम से शुरू होकर रनवे पर 3.75 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होता है। 600 m के बाद इसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

v₀ = 0a = 3.75 m/s²s = 600 m

v = m/s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक ट्राम विराम से शुरू होकर 8 s तक 2.5 m/s² से त्वरित होती है, फिर 5 s तक स्थिर चाल से चलती है, और अंत में रुकने तक 4 m/s² से ब्रेक लगाती है। कुल यात्रा समय t ज्ञात कीजिए।

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 8 st₂ = 5 sa₃ = −4 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 3 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 3.1 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 3 m/sd = 3.1 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 2 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 4.5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 2 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 30° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 18 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

x = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 5 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 15° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 23 m/sθ = 15°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक खिलौना प्रक्षेपक में 500 N/m कठोरता वाला ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग है। उस पर 0.05 kg गेंद रखी जाती है और स्प्रिंग को 4 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। वायु प्रतिरोध और स्प्रिंग के द्रव्यमान को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई h ज्ञात कीजिए जिस तक गेंद उठती है, स्प्रिंग संपीडित होने पर उसकी स्थिति से मापकर।

m = 0.05 kgk = 500 N/mx = 4 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 5 kg गाड़ी 8 m की ऊँचाई पर विराम से एक चिकने ट्रैक पर छोड़ी जाती है जो 2.5 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप में जाता है। लूप के शीर्ष पर ट्रैक द्वारा गाड़ी पर लगाया गया अभिलंब बल N ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgh = 8 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

20 m/s से चल रही एक 500 kg कार खड़ी 1800 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 500 kgv₁ = 20 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.संवेग और टक्करेंकठिन

0.5 kg की एक गेंद 9 m/s से दीवार से टकराती है और 16 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 5 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल F_avg ज्ञात कीजिए।

m = 0.5 kgv_in = 9 m/sv_out = 16 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 0.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 0.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 0.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक बड़ी खुली टंकी से 25 mm व्यास वाले तीक्ष्ण-धार छिद्र (ऑरिफ़िस) से निकलता है। जल स्तर छिद्र से 1 m ऊपर बनाए रखा जाता है और निस्सरण गुणांक 0.63 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। g = 9.81 m/s² लें।

d = 25 mmh = 1 mC_d = 0.63g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 100 mm से 40 mm तक संकरा होता है और 7 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 230 kPa और वेग 1.25 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 230 kPav₁ = 1.25 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

200 kPa और 80 °C पर CH₄ का 230 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 230 gM = 16.04 g/molP = 200 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.आदर्श गैस नियमकठिन

CO₂ की एक निश्चित मात्रा 300 kPa, 20 L, 40 °C से 450 kPa और 230 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 300 kPaV₁ = 20 LT₁ = 40 °CP₂ = 450 kPaT₂ = 230 °C

V₂ = L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 475 °C पर गर्म भंडार और 20 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। यह 1600 kJ ऊष्मा लेता है। यह अधिकतम कितना कार्य W_max उत्पन्न कर सकता है, ज्ञात कीजिए।

T_H = 475 °CT_L = 20 °CQ_H = 1600 kJ

W_max = kJ

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

दो कार्नो इंजन श्रेणी में काम करते हैं। इंजन A 1000 °C वाले भंडार से ऊष्मा लेता है और तापमान T_m वाले मध्यवर्ती भंडार को ऊष्मा त्यागता है। इंजन B वह सारी ऊष्मा लेता है और 35 °C वाले भंडार को ऊष्मा त्यागता है। दोनों इंजनों की तापीय दक्षता समान है। T_m को °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 1000 °CT_L = 35 °C

T_m = °C

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

दोनों सिरों पर खुली नली 1.5 m लंबी है। ध्वनि की चाल 343 m/s है। उसके संनादी संख्या 2 की आवृत्ति f₂ ज्ञात करें।

v = 343 m/sn = 2L = 1.5 m

f₂ = Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

550 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.5 mm की दूरी पर स्थित दो झिरियों पर पड़ता है। परदा 1.5 m दूर है। केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से दीप्त फ्रिंज संख्या 5 तक की दूरी y₅ ज्ञात करें।

λ = 550 nmd = 0.5 mmL = 1.5 mm = 5

y₅ = mm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: v = 67.08 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

दूरी के बाद चाल

v = √(2·a·s) = √(2·3.75·600) = 67.08 m/s

उत्तर

v = 67.08 m/s

(241.5 km/h)

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 18 s

अधिकतम चाल

v = a₁·t₁ = 2.5·8 = 20 m/s

ब्रेकिंग समय

t₃ = v/a₃ = 20/4 = 5 s

कुल समय

t = 8 + 5 + 5 = 18 s

उत्तर

t = 18 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.148

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 3²/(2·3.1) = 1.452 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.452/9.81 = 0.148

उत्तर

μ = 0.148

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 16.3 N

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 3.924)/6.5 = 6.188 m/s²

मेज़ पर रखे गुटके से तनाव

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2·6.188 + 3.924 = 16.3 N

उत्तर

T = 16.3 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 28.6 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 30° = 15.59 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 30° = 9 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·9/9.81 = 1.835 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 15.59·1.835 = 28.6 m

उत्तर

x = 28.6 m

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 39.65 m

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 15° = 22.22 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 15° = 5.953 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 5 + 5.953·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5.953 + √(35.44 + 98.1))/9.81 = 1.785 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 22.22·1.785 = 39.65 m

उत्तर

x = 39.65 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: h = 0.8155 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 4 cm = 0.04 m

½kx² = ½·500·0.04² = 0.4 J

ऊँचाई

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0.4/0.4905 = 0.8155 m

उत्तर

h = 0.8155 m

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: N = 68.67 N

शीर्ष पर चाल

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(8 − 5) = 58.86 m²/s²

शीर्ष पर बल

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·58.86/2.5 − 49.05 = 68.67 N

उत्तर

N = 68.67 N

गाड़ी ठीक तब लूप पूरा करती है जब h = 2.5R; तब शीर्ष पर N = 0।

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 78261 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 500·20/2300 = 4.348 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·500·20² = 100000 J

K_after = ½·2300·4.348² = 21739 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 100000 − 21739 = 78261 J

उत्तर

ΔK = 78261 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: F_avg = 2500 N

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.5·(16 + 9) = 12.5 N·s

औसत बल

F_avg = J/Δt = 12.5/0.005 = 2500 N

उत्तर

F_avg = 2500 N

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 27.59 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.25·2.25 = 27.59 kN

उत्तर

F = 27.59 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 88.29 kN

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·6 = 88.29 kN

उत्तर

F = 88.29 kN

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 1.37 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

आदर्श जेट वेग

√(2gh) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

निस्सरण गुणांक जेट के संकुचन और किनारे पर घर्षण को ध्यान में रखता है।

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.63·0.0004909·4.429 = 0.00137 m³/s = 1.37 L/s

उत्तर

Q = 1.37 L/s

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 131.6 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(100/40)² = 7.813 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 7.813²)/1000 = −29.74 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 230 + (−29.74) − 68.67 = 131.6 kPa

उत्तर

p₂ = 131.6 kPa

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 210.5 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 230/16.04 = 14.34 mol

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

आयतन

V = nRT/P = 14.34·8.314·353.1/200 = 210.5 L

उत्तर

V = 210.5 L

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 21.42 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 313.1 K, T₂ = 503.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(300/450)·(503.1/313.1) = 21.42 L

उत्तर

V₂ = 21.42 L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: W_max = 973.1 kJ

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 475 + 273.15 = 748.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293.1/748.1 = 60.82 %

अधिकतम कार्य

W_max = η_max·Q_H = 0.6082·1600 = 973.1 kJ

उत्तर

W_max = 973.1 kJ

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_m = 353.2 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 1000 + 273.15 = 1273 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

समान दक्षताएँ

1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m से T_m² = T_H·T_L मिलता है।

T_m = √(1273·308.1) = 626.4 K = 353.2 °C

उत्तर

T_m = 353.2 °C

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f₂ = 228.7 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

इस विधा की तरंगदैर्ध्य

λ = 2L/n = 2·1.5/2 = 1.5 m

आवृत्ति

f = v/λ = 343/1.5 = 228.7 Hz

उत्तर

f₂ = 228.7 Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: y₅ = 8.25 mm

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

फ्रिंज अंतराल

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·1.5/(0.5 × 10⁻³) = 1.65 mm

फ्रिंज संख्या 5

y₅ = 5·1.65 = 8.25 mm

उत्तर

y₅ = 8.25 mm

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