इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

45 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 4.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 45 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 25 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 19 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 19 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

19 kg का एक गुटका क्षैतिज से 25° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 19 kgθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

एक गुटके को धक्का दिया जाता है ताकि वह 25° के रैंप पर 8 m/s की चाल से ऊपर फिसलना शुरू करे। गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। रुकने से पहले यह रैंप पर कितनी दूर d फिसलता है?

v₀ = 8 m/sθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 35° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 20 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

t = s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 35 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 35 m/s से क्षैतिज से 40° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वह चाल v ज्ञात कीजिए जिससे यह ज़मीन से टकराती है।

v₀ = 35 m/sθ = 40°h = 35 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक खिलौना प्रक्षेपक में 800 N/m कठोरता वाला ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग है। उस पर 0.05 kg गेंद रखी जाती है और स्प्रिंग को 6 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। वायु प्रतिरोध और स्प्रिंग के द्रव्यमान को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई h ज्ञात कीजिए जिस तक गेंद उठती है, स्प्रिंग संपीडित होने पर उसकी स्थिति से मापकर।

m = 0.05 kgk = 800 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

2.5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 3 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 4 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.25) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 5000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 2.5 kgh = 3 mL = 4 mμ = 0.25k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

6 m/s से क्षैतिज रूप से चल रहा एक 11 kg प्रक्षेप्य दो टुकड़ों में फटता है जो उसी रेखा में चलते हैं। 5 kg टुकड़ा 45 m/s से आगे चलता रहता है। 6 kg टुकड़े का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए (मूल दिशा में धनात्मक)।

M = 11 kgu = 6 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 45 m/sm₂ = 6 kg

v′₂ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 1500 kg कार एक खड़ी 1900 kg कार से टकराती है। मलबे आपस में जुड़ जाते हैं और रुकने से पहले 9 m फिसलते हैं। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.5 है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से ठीक पहले पहली कार की चाल v₁ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1500 kgm₂ = 1900 kgd = 9 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक समुद्री जल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 3 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक बड़ी खुली टंकी से 50 mm व्यास वाले तीक्ष्ण-धार छिद्र (ऑरिफ़िस) से निकलता है। जल स्तर छिद्र से 1.5 m ऊपर बनाए रखा जाता है और निस्सरण गुणांक 0.64 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। g = 9.81 m/s² लें।

d = 50 mmh = 1.5 mC_d = 0.64g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक बंद पानी की टंकी में पानी के ऊपर 70 kPa गेज दाब पर संपीडित वायु है। पानी सतह से 1.5 m नीचे 50 mm व्यास वाले छिद्र से खुली हवा में निकलता है। हानियों को नगण्य मानते हुए ज्ञात कीजिए: जेट वेग v। g = 9.81 m/s² लें।

p_air = 70 kPa (गेज)h = 1.5 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.आदर्श गैस नियममध्यम

300 kPa और 45 °C पर N₂ का 220 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 220 gM = 28.01 g/molP = 300 kPaT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.आदर्श गैस नियमकठिन

350 kPa और 40 °C पर CO₂ का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 44.01 g/molP = 350 kPaT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 350 °C पर गर्म भंडार और 10 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। अधिकतम संभव तापीय दक्षता η_max ज्ञात कीजिए।

T_H = 350 °CT_L = 10 °C

η_max = %

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप बाहर 7 °C होने पर घर को 20 °C पर रखता है, और घर को 13 kW ऊष्मा देता है। न्यूनतम शक्ति निवेश Ẇ_min ज्ञात कीजिए।

T_H = 20 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 13 kW

Ẇ_min = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

प्रकाश फ्लिंट काँच (n = 1.62) में ग्लिसरॉल (n = 1.47) के साथ समतल सीमा की ओर चलता है। वह क्रांतिक कोण θ_c ज्ञात करें जिसके आगे वह पूर्णतः परावर्तित होता है।

n₁ = 1.62n₂ = 1.47

θ_c = °

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

एक वस्तु 10 cm वक्रता त्रिज्या वाले अवतल दर्पण के सामने 25 cm पर है। आवर्धन m ज्ञात करें (उल्टे प्रतिबिंब के लिए ऋणात्मक)।

d_o = 25 cmR = 10 cm

m =

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 17.36 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·4.5) = 17.36 m

उत्तर

s = 17.36 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 4.911 s

गति का समीकरण

ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।

−25 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 25 = 0

द्विघात समीकरण हल करें

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t = (19 + √(19² + 2·9.81·25))/9.81 = 4.911 s

उत्तर

t = 4.911 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 1.479 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 25° − 0.3·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2719) = 1.479 m/s²

उत्तर

a = 1.479 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: d = 4.697 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

दोनों बल ढलान के नीचे की ओर हैं; द्रव्यमान कट जाता है।

a = 9.81·(sin 25° + 0.3·cos 25°) = 6.813 m/s²

दूरी

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·6.813) = 4.697 m

उत्तर

d = 4.697 m

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 2.339 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 35° = 16.38 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 35° = 11.47 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·11.47/9.81 = 2.339 s

उत्तर

t = 2.339 s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v = 43.72 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 35·cos 40° = 26.81 m/s

v_y0 = 35·sin 40° = 22.5 m/s

टकराने पर ऊर्ध्वाधर चाल

ऊर्जा या ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = v₀² + 2as।

v_y = √(22.5² + 2·9.81·35) = 34.54 m/s

टकराने की चाल

v = √(26.81² + 34.54²) = 43.72 m/s

उत्तर

v = 43.72 m/s

ऊर्जा से जाँचें: v² = v₀² + 2gh।

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: h = 2.936 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 6 cm = 0.06 m

½kx² = ½·800·0.06² = 1.44 J

ऊँचाई

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 1.44/0.4905 = 2.936 m

उत्तर

h = 2.936 m

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 14.01 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 24.53·(3 − 0.25·4) = 49.05 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 49.05 → x = √(2·49.05/5000) = 0.1401 m = 14.01 cm

उत्तर

x = 14.01 cm

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = −26.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

पहले का संवेग

p = M·u = 11·6 = 66 kg·m/s

बाद का संवेग

66 = 5·45 + 6·v′₂

v′₂ = (66 − 225)/6 = −26.5 m/s

उत्तर

v′₂ = −26.5 m/s

ऋण चिह्न का अर्थ है कि दूसरा टुकड़ा पीछे की ओर उड़ता है।

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: v₁ = 21.3 m/s

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·9) = 9.396 m/s

टक्कर में संवेग

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3400·9.396/1500 = 21.3 m/s

उत्तर

v₁ = 21.3 m/s

(76.67 km/h)

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 44.15 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·3 = 44.15 kN

उत्तर

F = 44.15 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 4.083 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4·4 = 160.9 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1.333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 1.333/(4·4) = 4.083 m

उत्तर

y_cp = 4.083 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 6.817 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

आदर्श जेट वेग

√(2gh) = √(2·9.81·1.5) = 5.425 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

निस्सरण गुणांक जेट के संकुचन और किनारे पर घर्षण को ध्यान में रखता है।

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.64·0.001963·5.425 = 0.006817 m³/s = 6.817 L/s

उत्तर

Q = 6.817 L/s

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: v = 13.02 m/s

सतह से जेट तक बर्नूली

v = √(2·(70000/1000 + 9.81·1.5)) = 13.02 m/s

उत्तर

v = 13.02 m/s

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 69.25 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 220/28.01 = 7.854 mol

T = 45 + 273.15 = 318.1 K

आयतन

V = nRT/P = 7.854·8.314·318.1/300 = 69.25 L

उत्तर

V = 69.25 L

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 5.916 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

घनत्व

ρ = 350·44.01/(8.314·313.1) = 5.916 kg/m³

उत्तर

ρ = 5.916 kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: η_max = 54.56 %

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 350 + 273.15 = 623.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283.1/623.1 = 54.56 %

उत्तर

η_max = 54.56 %

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ_min = 0.5765 kW

परम तापमान

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 7 + 273.15 = 280.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 280.1) = 22.55

न्यूनतम शक्ति

सबसे कम कार्य उत्क्रमणीय मशीन को चाहिए, जिसका COP सबसे अधिक है।

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 13/22.55 = 0.5765 kW

उत्तर

Ẇ_min = 0.5765 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ_c = 65.15 °

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

90° पर अपवर्तन

sin θc = n₂/n₁ = 1.47/1.62 = 0.9074

क्रांतिक कोण

θc = arcsin(0.9074) = 65.15°

उत्तर

θ_c = 65.15°

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: m = −0.25

फोकस दूरी

f = R/2 = 5 cm

दर्पण समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/25

d_i = 6.25 cm

आवर्धन

m = −6.25/25 = −0.25

उत्तर

m = −0.25

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