इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

72 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 4 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेक लगाने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 72 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 25 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 16 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

v₀ = 16 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 4 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 2 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 4 m/sd = 2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

समतल फ़र्श पर दो गुटके एक हल्की क्षैतिज डोरी से जुड़े हैं। 145 N का एक क्षैतिज बल आगे वाले 9 kg गुटके को खींचता है; 5 kg गुटका पीछे घसीटा जाता है। दोनों गुटकों के लिए गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। जोड़ने वाली डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 5 kgm₂ = 9 kgF = 145 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 30 m/s से क्षैतिज से 70° ऊपर 24 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 30 m/sθ = 70°x = 24 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 37 m/s से क्षैतिज से 65° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 11 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 37 m/sθ = 65°h_roof = 11 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 1200 kg कार 2° की ढलान पर स्थिर 90 km/h से ऊपर चढ़ती है। वायु प्रतिरोध और लोटनिक प्रतिरोध मिलकर 600 N हैं। पहियों द्वारा दी जाने वाली आवश्यक शक्ति P, kW में ज्ञात कीजिए।

m = 1200 kgθ = 2°F_r = 600 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

2 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 1 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 4 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.1) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 1500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgh = 1 mL = 4 mμ = 0.1k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

8 m/s से क्षैतिज रूप से चल रहा एक 19 kg प्रक्षेप्य दो टुकड़ों में फटता है जो उसी रेखा में चलते हैं। 8 kg टुकड़ा 46 m/s से आगे चलता रहता है। 11 kg टुकड़े का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए (मूल दिशा में धनात्मक)।

M = 19 kgu = 8 m/sm₁ = 8 kgv′₁ = 46 m/sm₂ = 11 kg

v′₂ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 800 kg कार एक खड़ी 1800 kg कार से टकराती है। मलबे आपस में जुड़ जाते हैं और रुकने से पहले 7 m फिसलते हैं। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.5 है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से ठीक पहले पहली कार की चाल v₁ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 800 kgm₂ = 1800 kgd = 7 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 3 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 3 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 0.5 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 0.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी के पाइप में एक पिटो-स्थैतिक नली अवरोध दाब और स्थैतिक दाब के बीच 22 kPa का अंतर दिखाती है। सिरे पर पानी का वेग v ज्ञात कीजिए।

p₀ − p = 22 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 100 mm से 50 mm तक संकरा होता है और 3 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 260 kPa और वेग 2.25 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 260 kPav₁ = 2.25 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

30 L की टंकी में 65 °C पर Ar का 200 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 200 gM = 39.95 g/molV = 30 LT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

650 kPa और 200 °C पर CO₂ का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 44.01 g/molP = 650 kPaT = 200 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 725 °C पर गर्म भंडार और 25 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। यह 1900 kJ ऊष्मा लेता है। यह अधिकतम कितना कार्य W_max उत्पन्न कर सकता है, ज्ञात कीजिए।

T_H = 725 °CT_L = 25 °CQ_H = 1900 kJ

W_max = kJ

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक रेफ़्रिजरेटर 25 °C वाली रसोई में अपने ठंडे भाग को 4 °C पर रखता है, ठंडे भाग से 2.5 kW ऊष्मा निकालते हुए। न्यूनतम शक्ति निवेश Ẇ_min ज्ञात कीजिए।

T_H = 25 °CT_L = 4 °CQ̇_L = 2.5 kW

Ẇ_min = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

1000 Hz का एक स्रोत स्थिर प्रेक्षक की ओर 10 m/s से चलता है। ध्वनि की चाल 343 m/s है। प्रेक्षक को सुनाई देने वाली आवृत्ति f′ ज्ञात करें।

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/s

f′ = Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

600 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.1 mm चौड़ी एकल झिरी से गुज़रता है। सीधी दिशा से अदीप्त फ्रिंज संख्या 3 का कोण θ₃ ज्ञात करें।

λ = 600 nma = 0.1 mmm = 3

θ₃ = °

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 5 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

ब्रेकिंग समय

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 20/4 = 5 s

उत्तर

t = 5 s

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 38.05 m

छत के ऊपर उठान

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 16²/(2·9.81) = 13.05 m

ज़मीन से ऊँचाई

h_max = 25 + 13.05 = 38.05 m

उत्तर

h_max = 38.05 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.4077

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 4²/(2·2) = 4 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 4/9.81 = 0.4077

उत्तर

μ = 0.4077

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 51.79 N

पूरा तंत्र

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (145 − 27.47)/14 = 8.395 m/s²

केवल पिछला गुटका

T = m₁·(a + μ·g) = 5·(8.395 + 1.962) = 51.79 N

उत्तर

T = 51.79 N

दोनों गुटकों पर समान μ होने से घर्षण हट जाता है: T = F·m₁/(m₁ + m₂)।

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 39.1 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 30·cos 70° = 10.26 m/s

t = x/v_x = 24/10.26 = 2.339 s

उस समय ऊँचाई

y = 28.19·2.339 − ½·9.81·2.339² = 39.1 m

उत्तर

y = 39.1 m

दीवार पर गेंद अभी ऊपर उठ रही है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 101.5 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 15.64 m/s, v_y = 33.53 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

11 = 33.53·t − 4.905·t²

t = (33.53 + √(33.53² − 2·9.81·11))/9.81 = 6.491 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 15.64·6.491 = 101.5 m

उत्तर

x = 101.5 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: P = 25.27 kW

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। शक्ति बल गुणा चाल है: P = F·v।

चालक बल

m·g = 1200·9.81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 2° = 410.8 N

F = 410.8 + 600 = 1011 N

शक्ति

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 1011·25 = 25271 W = 25.27 kW

उत्तर

P = 25.27 kW

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 12.53 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 19.62·(1 − 0.1·4) = 11.77 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 11.77 → x = √(2·11.77/1500) = 0.1253 m = 12.53 cm

उत्तर

x = 12.53 cm

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = −19.64 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

पहले का संवेग

p = M·u = 19·8 = 152 kg·m/s

बाद का संवेग

152 = 8·46 + 11·v′₂

v′₂ = (152 − 368)/11 = −19.64 m/s

उत्तर

v′₂ = −19.64 m/s

ऋण चिह्न का अर्थ है कि दूसरा टुकड़ा पीछे की ओर उड़ता है।

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: v₁ = 26.93 m/s

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·7) = 8.287 m/s

टक्कर में संवेग

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·8.287/800 = 26.93 m/s

उत्तर

v₁ = 26.93 m/s

(96.95 km/h)

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 198.7 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·4.5 = 198.7 kN

उत्तर

F = 198.7 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 1.083 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1·1.5 = 14.71 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1 + 0.125/(1·1.5) = 1.083 m

उत्तर

y_cp = 1.083 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: v = 6.633 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

अवरोध बिंदु तक बर्नूली

प्रवाह सिरे पर विराम में आता है, इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा अतिरिक्त दाब के रूप में दिखती है।

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·22000/1000) = 6.633 m/s

उत्तर

v = 6.633 m/s

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 192.6 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(100/50)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 9²)/1000 = −37.97 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 260 + (−37.97) − 29.43 = 192.6 kPa

उत्तर

p₂ = 192.6 kPa

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 469.1 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 200/39.95 = 5.006 mol

T = 65 + 273.15 = 338.1 K

दाब

P = nRT/V = 5.006·8.314·338.1/0.03 = 469.1 kPa

उत्तर

P = 469.1 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 7.272 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 200 + 273.15 = 473.1 K

घनत्व

ρ = 650·44.01/(8.314·473.1) = 7.272 kg/m³

उत्तर

ρ = 7.272 kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: W_max = 1332 kJ

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 725 + 273.15 = 998.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/998.1 = 70.13 %

अधिकतम कार्य

W_max = η_max·Q_H = 0.7013·1900 = 1332 kJ

उत्तर

W_max = 1332 kJ

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ_min = 0.1894 kW

परम तापमान

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = 4 + 273.15 = 277.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 277.1/(298.1 − 277.1) = 13.2

न्यूनतम शक्ति

सबसे कम कार्य उत्क्रमणीय मशीन को चाहिए, जिसका COP सबसे अधिक है।

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 2.5/13.2 = 0.1894 kW

उत्तर

Ẇ_min = 0.1894 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f′ = 1030 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

डॉप्लर सूत्र

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1000·(343 + 0)/(343 − 10)

f′ = 1030 Hz

उत्तर

f′ = 1030 Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ₃ = 1.031 °

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

अदीप्त फ्रिंज की शर्त

sin θ = mλ/a = 0.018

θ = 1.031°

उत्तर

θ₃ = 1.031°

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