इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

50 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 1.1 s है, जिसके बाद कार 6 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 50 km/ht_r = 1.1 sa = −6 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 30 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 16 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 16 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक 40 kg स्लेज को क्षैतिज से 15° ऊपर एक रस्सी से 130 N के बल से समतल बर्फ़ पर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। स्लेज का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 40 kgF = 130 Nθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

एक गुटके को धक्का दिया जाता है ताकि वह 20° के रैंप पर 11.5 m/s की चाल से ऊपर फिसलना शुरू करे। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। रुकने से पहले यह रैंप पर कितनी दूर d फिसलता है?

v₀ = 11.5 m/sθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 25° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 18 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

H = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 40 m/s से क्षैतिज से 45° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 6 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 40 m/sθ = 45°h_roof = 6 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

2 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर 9 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य W_f ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgθ = 30°μ = 0.2d = 9 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

2.5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 2.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 2 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.1) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 4000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 2.5 kgh = 2.5 mL = 2 mμ = 0.1k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

एक 15 g गोली हल्की डोरियों पर लटके 2.5 kg लकड़ी के गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसके अंदर रह जाती है। गुटका प्रारंभ से 7 cm ऊँचा होने तक ऊपर झूलता है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 15 gM = 2.5 kgh = 7 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

0.45 kg की एक गेंद 9 m/s से दीवार से टकराती है और 12 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 5 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण J ज्ञात कीजिए।

m = 0.45 kgv_in = 9 m/sv_out = 12 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 1.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक तेल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 1.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक बड़ी खुली टंकी से 30 mm व्यास वाले तीक्ष्ण-धार छिद्र (ऑरिफ़िस) से निकलता है। जल स्तर छिद्र से 2 m ऊपर बनाए रखा जाता है और निस्सरण गुणांक 0.64 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। g = 9.81 m/s² लें।

d = 30 mmh = 2 mC_d = 0.64g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

32 mm भीतरी व्यास वाला एक होज़ खुली टंकी से पानी साइफ़न करता है। होज़ का उच्चतम बिंदु C पानी की सतह से 1.5 m ऊपर है, और निकास (हवा में खुला) पानी की सतह से 3 m नीचे है। हानियों को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए।

d = 32 mmz_C = +1.5 mz₂ = −3 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.आदर्श गैस नियममध्यम

10 L की टंकी में 100 °C पर Ar का 460 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 460 gM = 39.95 g/molV = 10 LT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

N₂ की एक निश्चित मात्रा 300 kPa, 5 L, 35 °C से 550 kPa और 100 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 300 kPaV₁ = 5 LT₁ = 35 °CP₂ = 550 kPaT₂ = 100 °C

V₂ = L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 700 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेता है और 40 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसकी वास्तविक तापीय दक्षता 47% है। इसकी द्वितीय-नियम दक्षता η_II, अर्थात वास्तविक दक्षता और कार्नो दक्षता का अनुपात, ज्ञात कीजिए।

T_H = 700 °CT_L = 40 °Cη = 47%

η_II = %

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप 2 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेकर 20 °C वाले तापन तंत्र को 11 kW ऊष्मा देता है। इसका वास्तविक COP इन तापमानों के बीच कार्नो COP का 35% है। इसके द्वारा ली गई विद्युत शक्ति Ẇ ज्ञात कीजिए।

T_H = 20 °CT_L = 2 °Cη_II = 35%Q̇_H = 11 kW

Ẇ = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक सिरे पर बंद नली 0.65 m लंबी है। ध्वनि की चाल 343 m/s है। उसके संनादी संख्या 3 की आवृत्ति f₃ ज्ञात करें।

v = 343 m/sn = 3L = 0.65 m

f₃ = Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

550 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.15 mm की दूरी पर स्थित दो झिरियों पर पड़ता है। परदा 3 m दूर है। पड़ोसी दीप्त फ्रिंजों के बीच का अंतराल Δy ज्ञात करें।

λ = 550 nmd = 0.15 mmL = 3 m

Δy = mm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 31.35 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 13.89·1.1 = 15.28 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·6) = 16.08 m

कुल

d = 15.28 + 16.08 = 31.35 m

उत्तर

d = 31.35 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 4.593 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

गति का समीकरण

ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।

−30 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 30 = 0

द्विघात समीकरण हल करें

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t = (16 + √(16² + 2·9.81·30))/9.81 = 4.593 s

उत्तर

t = 4.593 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 0.4486 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

अभिलंब बल

N = m·g − F·sin θ = 392.4 − 130·sin 15° = 358.8 N

क्षैतिज बल

m·a = F·cos θ − μ·N = 125.6 − 107.6

a = 17.94/40 = 0.4486 m/s²

उत्तर

a = 0.4486 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: d = 15.46 m

मंदन

दोनों बल ढलान के नीचे की ओर हैं; द्रव्यमान कट जाता है।

a = 9.81·(sin 20° + 0.1·cos 20°) = 4.277 m/s²

दूरी

d = v₀²/(2a) = 11.5²/(2·4.277) = 15.46 m

उत्तर

d = 15.46 m

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 2.949 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 25° = 16.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 25° = 7.607 m/s

उच्चतम बिंदु

शीर्ष पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है: v_y² = 2gH।

H = v_y²/(2g) = 7.607²/(2·9.81) = 2.949 m

उत्तर

H = 2.949 m

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 156.9 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 28.28 m/s, v_y = 28.28 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

6 = 28.28·t − 4.905·t²

t = (28.28 + √(28.28² − 2·9.81·6))/9.81 = 5.546 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 28.28·5.546 = 156.9 m

उत्तर

x = 156.9 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: W_f = 30.58 J

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

घर्षण बल

N = mg·cos θ = 19.62·0.866 = 16.99 N

F = μN = 0.2·16.99 = 3.398 N

घर्षण के विरुद्ध कार्य

W_f = F·d = 3.398·9 = 30.58 J

उत्तर

W_f = 30.58 J

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 16.79 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 24.53·(2.5 − 0.1·2) = 56.41 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 56.41 → x = √(2·56.41/4000) = 0.1679 m = 16.79 cm

उत्तर

x = 16.79 cm

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 196.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

टक्कर के बाद झूलना

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.07) = 1.172 m/s

टक्कर

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 2.5)·1.172/0.015 = 196.5 m/s

उत्तर

v = 196.5 m/s

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: J = 9.45 N·s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.45·(12 + 9) = 9.45 N·s

उत्तर

J = 9.45 N·s

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 73.58 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·3 = 73.58 kN

उत्तर

F = 73.58 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 86.33 kN

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.5·4 = 86.33 kN

उत्तर

F = 86.33 kN

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 2.834 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

आदर्श जेट वेग

√(2gh) = √(2·9.81·2) = 6.264 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

निस्सरण गुणांक जेट के संकुचन और किनारे पर घर्षण को ध्यान में रखता है।

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.64·0.0007069·6.264 = 0.002834 m³/s = 2.834 L/s

उत्तर

Q = 2.834 L/s

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 6.17 L/s

होज़ में वेग

सतह और निकास दोनों हवा में खुले हैं, इसलिए दाब पद कट जाते हैं।

v = √(2g·3) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s

प्रवाह दर

Q = A·v = 0.0008042·7.672 = 0.00617 m³/s = 6.17 L/s

उत्तर

Q = 6.17 L/s

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 3572 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 460/39.95 = 11.51 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

दाब

P = nRT/V = 11.51·8.314·373.1/0.01 = 3572 kPa

उत्तर

P = 3572 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 3.303 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 308.1 K, T₂ = 373.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(300/550)·(373.1/308.1) = 3.303 L

उत्तर

V₂ = 3.303 L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: η_II = 69.3 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

कार्नो दक्षता

η_Carnot = 1 − 313.1/973.1 = 67.82 %

द्वितीय-नियम दक्षता

η_II = η/η_Carnot = 47/67.82 = 69.3 %

उत्तर

η_II = 69.3 %

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ = 1.93 kW

परम तापमान

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

कार्नो और वास्तविक COP

COP_max = 293.1/(293.1 − 275.1) = 16.29

COP = 0.35·16.29 = 5.7

निवेश शक्ति

Ẇ = Q̇_H/COP = 11/5.7 = 1.93 kW

उत्तर

Ẇ = 1.93 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f₃ = 395.8 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

इस विधा की तरंगदैर्ध्य

λ = 4L/n = 4·0.65/3 = 0.8667 m

आवृत्ति

f = v/λ = 343/0.8667 = 395.8 Hz

उत्तर

f₃ = 395.8 Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: Δy = 11 mm

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

फ्रिंज अंतराल

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·3/(0.15 × 10⁻³) = 11 mm

उत्तर

Δy = 11 mm

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