इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

एक विमान विराम से शुरू होकर रनवे पर 4 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होता है। 1200 m के बाद इसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

v₀ = 0a = 4 m/s²s = 1200 m

v = m/s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 30 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 19 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 19 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 8.5 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 25 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 8.5 m/sd = 25 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

समतल फ़र्श पर दो गुटके एक हल्की क्षैतिज डोरी से जुड़े हैं। 75 N का एक क्षैतिज बल आगे वाले 12 kg गुटके को खींचता है; 1 kg गुटका पीछे घसीटा जाता है। दोनों गुटकों के लिए गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। जोड़ने वाली डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1 kgm₂ = 12 kgF = 75 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 35° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 110 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 35°R = 110 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 5 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 20° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 16 m/sθ = 20°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

समतल सड़क पर 90 km/h से चल रही एक कार ज़ोर से ब्रेक लगाती है और पहिए जाम होकर फिसलते हुए रुक जाती है। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.4 है। रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v = 90 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 5 kg गुटका खुरदरी क्षैतिज मेज़ (μ = 0.2) पर रखा है। एक हल्की डोरी उससे मेज़ के किनारे पर एक चिकनी घिरनी के ऊपर से होकर एक लटकते 4 kg गुटके तक जाती है। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। लटकते गुटके के 1.5 m गिरने के बाद गुटकों की चाल v ज्ञात कीजिए।

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.2d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

9 m/s से चल रहा 3.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 1 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 3.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

एक चौराहे पर 25 m/s से पूर्व की ओर जा रही एक 2000 kg कार 17 m/s से उत्तर की ओर जा रही एक 1600 kg कार से टकराती है। कारें आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर के ठीक बाद मलबे की चाल v′ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 2000 kgv₁ = 25 m/s (E)m₂ = 1600 kgv₂ = 17 m/s (N)

v′ = m/s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 1.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक ग्लिसरीन वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2.5 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 2.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 75 mm से 50 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 200 kPa और वेग 1.75 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 200 kPav₁ = 1.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक फ़व्वारे का नोज़ल सीधे ऊपर की ओर है। नोज़ल के ठीक नीचे आपूर्ति पाइप का व्यास 100 mm और गेज दाब 60 kPa है। नोज़ल निकास व्यास 20 mm है, और नोज़ल के आर-पार ऊँचाई अंतर नगण्य है। हानियों और वायु प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई H ज्ञात कीजिए जिस तक जेट नोज़ल से ऊपर उठता है। g = 9.81 m/s² लें।

d₁ = 100 mmp₁ = 60 kPa (गेज)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.आदर्श गैस नियममध्यम

800 kPa और 10 °C पर CO₂ का 140 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 140 gM = 44.01 g/molP = 800 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.आदर्श गैस नियमकठिन

250 kPa और 80 °C पर He का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 4.003 g/molP = 250 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 600 °C पर गर्म भंडार और 20 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। यह 4800 kJ ऊष्मा लेता है। यह अधिकतम कितना कार्य W_max उत्पन्न कर सकता है, ज्ञात कीजिए।

T_H = 600 °CT_L = 20 °CQ_H = 4800 kJ

W_max = kJ

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक कार्नो ऊष्मा इंजन 800 °C वाले स्रोत से 30 kW ऊष्मा लेता है और 30 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसका सारा कार्य एक कार्नो रेफ़्रिजरेटर चलाता है जो -20 °C वाले फ़्रीज़र से ऊष्मा निकालता है और वह भी 30 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_L ज्ञात कीजिए जिस पर फ़्रीज़र से ऊष्मा निकाली जाती है।

T_H = 800 °CT₀ = 30 °CT_L = -20 °CQ̇_H = 30 kW

Q̇_L = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक छोटा लाउडस्पीकर 0.05 W ध्वनि शक्ति सभी दिशाओं में समान रूप से विकीर्ण करता है। 5 m पर ध्वनि तीव्रता स्तर β ज्ञात करें।

P = 0.05 Wr = 5 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

एक वस्तु 60 cm वक्रता त्रिज्या वाले उत्तल दर्पण के सामने 10 cm पर है। प्रतिबिंब दूरी d_i ज्ञात करें, दर्पण के सामने (वास्तविक) प्रतिबिंब के लिए धनात्मक और पीछे (आभासी) के लिए ऋणात्मक।

d_o = 10 cmR = 60 cm

d_i = cm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: v = 97.98 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

दूरी के बाद चाल

v = √(2·a·s) = √(2·4·1200) = 97.98 m/s

उत्तर

v = 97.98 m/s

(352.7 km/h)

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 5.078 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

गति का समीकरण

ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।

−30 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 30 = 0

द्विघात समीकरण हल करें

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t = (19 + √(19² + 2·9.81·30))/9.81 = 5.078 s

उत्तर

t = 5.078 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.1473

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 8.5²/(2·25) = 1.445 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.445/9.81 = 0.1473

उत्तर

μ = 0.1473

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 5.769 N

पूरा तंत्र

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (75 − 38.26)/13 = 2.826 m/s²

केवल पिछला गुटका

T = m₁·(a + μ·g) = 1·(2.826 + 2.943) = 5.769 N

उत्तर

T = 5.769 N

दोनों गुटकों पर समान μ होने से घर्षण हट जाता है: T = F·m₁/(m₁ + m₂)।

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 33.89 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·110/sin 70°) = 33.89 m/s

उत्तर

v₀ = 33.89 m/s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 25.73 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 20° = 15.04 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 20° = 5.472 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 5 + 5.472·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5.472 + √(29.95 + 98.1))/9.81 = 1.711 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 15.04·1.711 = 25.73 m

उत्तर

x = 25.73 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: d = 79.64 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

मूल इकाइयों में चाल

v = 90/3.6 = 25 m/s

ऊर्जा संतुलन

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0.4·9.81) = 79.64 m

उत्तर

d = 79.64 m

चाल दोगुनी करने से रुकने की दूरी चार गुना हो जाती है।

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 3.132 m/s

मुक्त और खोई गई ऊर्जा

m₂g·d = 39.24·1.5 = 58.86 J

μ·m₁g·d = 0.2·49.05·1.5 = 14.72 J

दोनों गुटकों की गतिज ऊर्जा

½(m₁ + m₂)v² = 44.14 → v = √(2·44.14/9) = 3.132 m/s

उत्तर

v = 3.132 m/s

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 14 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (3.5 − 1)/(3.5 + 1)·9 = 5 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 1)·9 = 14 m/s

उत्तर

v′₂ = 14 m/s

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′ = 15.81 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

संवेग घटक

p_x = 2000·25 = 50000 kg·m/s

p_y = 1600·17 = 27200 kg·m/s

मलबे की चाल

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 56920/3600 = 15.81 m/s

उत्तर

v′ = 15.81 m/s

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 132.4 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·4.5 = 132.4 kN

उत्तर

F = 132.4 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 3.028 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3·2 = 74.16 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0.1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 0.1667/(3·2) = 3.028 m

उत्तर

y_cp = 3.028 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 193.8 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(75/50)² = 3.938 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 3.938²)/1000 = −6.221 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 200 + (−6.221) = 193.8 kPa

उत्तर

p₂ = 193.8 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: H = 6.126 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

निकास वेग

β = 20/100 = 0.2

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·60000/(1000·0.9984)) = 10.96 m/s

जेट की ऊँचाई

जेट के साथ बर्नूली: शीर्ष पर वेग शून्य है और दाब फिर से वायुमंडलीय है।

H = v₂²/(2g) = 10.96²/(2·9.81) = 6.126 m

उत्तर

H = 6.126 m

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 9.361 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 140/44.01 = 3.181 mol

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

आयतन

V = nRT/P = 3.181·8.314·283.1/800 = 9.361 L

उत्तर

V = 9.361 L

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 0.3408 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

घनत्व

ρ = 250·4.003/(8.314·353.1) = 0.3408 kg/m³

उत्तर

ρ = 0.3408 kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: W_max = 3188 kJ

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293.1/873.1 = 66.43 %

अधिकतम कार्य

W_max = η_max·Q_H = 0.6643·4800 = 3188 kJ

उत्तर

W_max = 3188 kJ

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_L = 109 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T₀ = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

इंजन का कार्य

η = 1 − 303.1/1073 = 0.7175

Ẇ = 0.7175·30 = 21.53 kW

रेफ़्रिजरेटर द्वारा निकाली गई ऊष्मा

COP_R = 253.1/(303.1 − 253.1) = 5.063

Q̇_L = 5.063·21.53 = 109 kW

उत्तर

Q̇_L = 109 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: β = 82.02 dB

तरंगें: आवर्ती तरंग एक आवर्तकाल में एक तरंगदैर्ध्य चलती है, इसलिए v = fλ, जहाँ T = 1/f। तनी हुई डोरी पर v = √(T/μ), जहाँ T तनाव और μ = m/L प्रति मीटर द्रव्यमान है। 20 °C पर वायु में ध्वनि लगभग 343 m/s से चलती है, निर्वात में प्रकाश c = 3.00 × 10⁸ m/s से। प्रबलता लघुगणकीय पैमाने पर मापी जाती है: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, जहाँ I₀ = 10⁻¹² W/m², इसलिए तीव्रता 10 गुनी होने पर 10 dB जुड़ता है। बिंदु स्रोत अपनी शक्ति P को गोले पर फैलाता है: I = P/(4πr²)।

तीव्रता

I = P/(4πr²) = 0.0001592 W/m²

स्तर

β = 10·log₁₀(0.0001592/10⁻¹²) = 82.02 dB

उत्तर

β = 82.02 dB

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: d_i = −7.5 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

फोकस दूरी

f = −R/2 = −30 cm

दर्पण समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−30) − 1/10

d_i = −7.5 cm

किरण आरेख

दर्पण के पीछे आभासी प्रतिबिंब

उत्तर

d_i = −7.5 cm

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