इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

54 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 0.7 s है, जिसके बाद कार 7.5 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 54 km/ht_r = 0.7 sa = −7.5 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 30 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 10 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

v₀ = 10 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 7.5 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 9.6 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 7.5 m/sd = 9.6 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 3.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 4.5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 35° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 25 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 35°R = 25 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 39 m/s से क्षैतिज से 50° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 16 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 39 m/sθ = 50°h_roof = 16 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 40° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.4 है। ढलान के साथ 13 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 40°μ = 0.4d = 13 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 1 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 2.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.1) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgh = 1 mL = 2.5 mμ = 0.1k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

12 m/s से चल रहा 0.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 4 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद पहले ग्लाइडर का वेग v′₁ ज्ञात कीजिए (उसकी मूल दिशा में धनात्मक)।

m₁ = 0.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 20 g गोली 1.4 m लंबी हल्की डोरियों से लटके 1 kg गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसमें रह जाती है। डोरियाँ ऊर्ध्वाधर से अधिकतम 35° के कोण तक झूलती हैं। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 20 gM = 1 kgL = 1.4 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 2.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

1 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक समुद्री जल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 1 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 75 mm से 50 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 220 kPa और वेग 2 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 220 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 150 mm से 75 mm तक संकरा होता है और 8 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 210 kPa और वेग 0.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 210 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

20 L की टंकी में 55 °C पर N₂ का 190 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 190 gM = 28.01 g/molV = 20 LT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

Ar की एक निश्चित मात्रा 350 kPa, 10 L, 40 °C से 400 kPa और 160 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 350 kPaV₁ = 10 LT₁ = 40 °CP₂ = 400 kPaT₂ = 160 °C

V₂ = L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय (कार्नो) ऊष्मा इंजन 225 °C वाले भंडार से प्रति चक्र 2500 kJ ऊष्मा लेता है और 1572 kJ त्यागता है। ठंडे भंडार का तापमान T_L °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 225 °CQ_H = 2500 kJQ_L = 1572 kJ

T_L = °C

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप 10 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेकर 22 °C वाले तापन तंत्र को 8.5 kW ऊष्मा देता है। इसका वास्तविक COP इन तापमानों के बीच कार्नो COP का 35% है। इसके द्वारा ली गई विद्युत शक्ति Ẇ ज्ञात कीजिए।

T_H = 22 °CT_L = 10 °Cη_II = 35%Q̇_H = 8.5 kW

Ẇ = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक मशीन किसी बिंदु पर 80 dB का ध्वनि स्तर देती है। जब 10 एक जैसी मशीनें एक साथ चलें (असंबद्ध स्रोत), तब उस बिंदु पर स्तर β ज्ञात करें।

β₁ = 80 dBn = 10

β = dB

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

0.5 mm की दूरी पर स्थित दो झिरियाँ एकवर्णी प्रकाश से प्रदीप्त हैं। 3 m दूर परदे पर दीप्त फ्रिंज संख्या 5 केंद्रीय फ्रिंज से 15 mm दूर है। तरंगदैर्ध्य λ ज्ञात करें।

d = 0.5 mmL = 3 my₅ = 15 mmm = 5

λ = nm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 25.5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 15·0.7 = 10.5 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·7.5) = 15 m

कुल

d = 10.5 + 15 = 25.5 m

उत्तर

d = 25.5 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 35.1 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

छत के ऊपर उठान

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9.81) = 5.097 m

ज़मीन से ऊँचाई

h_max = 30 + 5.097 = 35.1 m

उत्तर

h_max = 35.1 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.2986

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 7.5²/(2·9.6) = 2.93 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.93/9.81 = 0.2986

उत्तर

μ = 0.2986

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 21.24 N

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 3.434)/8 = 5.089 m/s²

मेज़ पर रखे गुटके से तनाव

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3.5·5.089 + 3.434 = 21.24 N

उत्तर

T = 21.24 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 16.16 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·25/sin 70°) = 16.16 m/s

उत्तर

v₀ = 16.16 m/s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 137.8 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 25.07 m/s, v_y = 29.88 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

16 = 29.88·t − 4.905·t²

t = (29.88 + √(29.88² − 2·9.81·16))/9.81 = 5.498 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 25.07·5.498 = 137.8 m

उत्तर

x = 137.8 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 9.263 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·13·(0.6428 − 0.4·0.766)) = 9.263 m/s

उत्तर

v = 9.263 m/s

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 38.36 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 49.05·(1 − 0.1·2.5) = 36.79 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 36.79 → x = √(2·36.79/500) = 0.3836 m = 38.36 cm

उत्तर

x = 38.36 cm

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₁ = −9.333 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (0.5 − 4)/(0.5 + 4)·12 = −9.333 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 4)·12 = 2.667 m/s

उत्तर

v′₁ = −9.333 m/s

ऋण चिह्न का अर्थ है कि पहला ग्लाइडर पीछे लौटता है।

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 113.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

गुटके का उठान

h = L·(1 − cos θ) = 1.4·(1 − cos 35°) = 0.2532 m

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·9.81·0.2532) = 2.229 m/s

टक्कर

v = (m + M)·V/m = 1.02·2.229/0.02 = 113.7 m/s

उत्तर

v = 113.7 m/s

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 103 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

उत्तर

F = 103 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 26.4 kN

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1.75·1.5 = 26.4 kN

उत्तर

F = 26.4 kN

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 211.9 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/50)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 220 + (−8.125) = 211.9 kPa

उत्तर

p₂ = 211.9 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 129.6 kPa

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(150/75)² = 2 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 2²)/1000 = −1.875 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 210 + (−1.875) − 78.48 = 129.6 kPa

उत्तर

p₂ = 129.6 kPa

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 925.3 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 190/28.01 = 6.783 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

दाब

P = nRT/V = 6.783·8.314·328.1/0.02 = 925.3 kPa

उत्तर

P = 925.3 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 12.1 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 313.1 K, T₂ = 433.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(350/400)·(433.1/313.1) = 12.1 L

उत्तर

V₂ = 12.1 L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_L = 40.09 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

स्रोत का परम तापमान

T_H = 225 + 273.15 = 498.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 498.1·1572/2500 = 313.2 K = 40.09 °C

उत्तर

T_L = 40.09 °C

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ = 0.9874 kW

परम तापमान

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

कार्नो और वास्तविक COP

COP_max = 295.1/(295.1 − 283.1) = 24.6

COP = 0.35·24.6 = 8.609

निवेश शक्ति

Ẇ = Q̇_H/COP = 8.5/8.609 = 0.9874 kW

उत्तर

Ẇ = 0.9874 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: β = 90 dB

तरंगें: आवर्ती तरंग एक आवर्तकाल में एक तरंगदैर्ध्य चलती है, इसलिए v = fλ, जहाँ T = 1/f। तनी हुई डोरी पर v = √(T/μ), जहाँ T तनाव और μ = m/L प्रति मीटर द्रव्यमान है। 20 °C पर वायु में ध्वनि लगभग 343 m/s से चलती है, निर्वात में प्रकाश c = 3.00 × 10⁸ m/s से। प्रबलता लघुगणकीय पैमाने पर मापी जाती है: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, जहाँ I₀ = 10⁻¹² W/m², इसलिए तीव्रता 10 गुनी होने पर 10 dB जुड़ता है। बिंदु स्रोत अपनी शक्ति P को गोले पर फैलाता है: I = P/(4πr²)।

कुल तीव्रता

I = 10·I₁

स्तर

β = 80 + 10·log₁₀(10) = 90 dB

उत्तर

β = 90 dB

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: λ = 500 nm

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

तरंगदैर्ध्य

λ = y·d/(mL) = 0.015·0.0005/(5·3) = 5 × 10⁻⁷ m = 500 nm

उत्तर

λ = 500 nm

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