इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

108 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 1.3 s है, जिसके बाद कार 7 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 108 km/ht_r = 1.3 sa = −7 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 40 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 13 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 13 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

3 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी घर्षणरहित ढलान पर नीचे फिसलता है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 3 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

समतल फ़र्श पर दो गुटके एक हल्की क्षैतिज डोरी से जुड़े हैं। 145 N का एक क्षैतिज बल आगे वाले 1 kg गुटके को खींचता है; 11 kg गुटका पीछे घसीटा जाता है। दोनों गुटकों के लिए गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। जोड़ने वाली डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 11 kgm₂ = 1 kgF = 145 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 40° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 14 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

H = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 21 m/s से क्षैतिज से 65° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 9 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 21 m/sθ = 65°h_roof = 9 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक खिलौना प्रक्षेपक में 800 N/m कठोरता वाला ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग है। उस पर 0.2 kg गेंद रखी जाती है और स्प्रिंग को 10 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। वायु प्रतिरोध और स्प्रिंग के द्रव्यमान को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई h ज्ञात कीजिए जिस तक गेंद उठती है, स्प्रिंग संपीडित होने पर उसकी स्थिति से मापकर।

m = 0.2 kgk = 800 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

10 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 2 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 4.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.25) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 5000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग तक पहुँचने पर गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgh = 2 mL = 4.5 mμ = 0.25k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

4 m/s से चल रहा 1 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 4 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद पहले ग्लाइडर का वेग v′₁ ज्ञात कीजिए (उसकी मूल दिशा में धनात्मक)।

m₁ = 1 kgm₂ = 4 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

0.45 kg की एक गेंद 8 m/s से दीवार से टकराती है और 6 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 20 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण J ज्ञात कीजिए।

m = 0.45 kgv_in = 8 m/sv_out = 6 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 4 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक समुद्री जल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 1 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 75 mm से 40 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 350 kPa और वेग 0.75 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 350 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक बंद पानी की टंकी में पानी के ऊपर 40 kPa गेज दाब पर संपीडित वायु है। पानी सतह से 1.5 m नीचे 50 mm व्यास वाले छिद्र से खुली हवा में निकलता है। हानियों को नगण्य मानते हुए ज्ञात कीजिए: प्रवाह दर Q। g = 9.81 m/s² लें।

p_air = 40 kPa (गेज)h = 1.5 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.आदर्श गैस नियममध्यम

100 kPa और 50 °C पर N₂ का 320 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 320 gM = 28.01 g/molP = 100 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.आदर्श गैस नियमकठिन

CO₂ की एक निश्चित मात्रा 150 kPa, 5 L, 15 °C से 550 kPa और 110 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 150 kPaV₁ = 5 LT₁ = 15 °CP₂ = 550 kPaT₂ = 110 °C

V₂ = L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय (कार्नो) ऊष्मा इंजन 475 °C वाले भंडार से प्रति चक्र 4400 kJ ऊष्मा लेता है और 1959 kJ त्यागता है। ठंडे भंडार का तापमान T_L °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 475 °CQ_H = 4400 kJQ_L = 1959 kJ

T_L = °C

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

दो कार्नो इंजन श्रेणी में काम करते हैं। इंजन A 600 °C वाले भंडार से ऊष्मा लेता है और तापमान T_m वाले मध्यवर्ती भंडार को ऊष्मा त्यागता है। इंजन B वह सारी ऊष्मा लेता है और 20 °C वाले भंडार को ऊष्मा त्यागता है। दोनों इंजन समान कार्य उत्पन्न करते हैं। T_m को °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 600 °CT_L = 20 °C

T_m = °C

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

प्रकाश एथेनॉल (n = 1.36) में हवा (n = 1.00) के साथ समतल सीमा की ओर चलता है। वह क्रांतिक कोण θ_c ज्ञात करें जिसके आगे वह पूर्णतः परावर्तित होता है।

n₁ = 1.36n₂ = 1.00

θ_c = °

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

एक विवर्तन झरझरी में 500 रेखाएँ प्रति मिलीमीटर हैं। 405 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश उस पर समकोण पर पड़ता है। देखी जा सकने वाली दीप्त उच्चिष्ठ की उच्चतम कोटि m_max क्या है?

N = 500 mm⁻¹λ = 405 nm

m_max =

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 103.3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 30·1.3 = 39 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·7) = 64.29 m

कुल

d = 39 + 64.29 = 103.3 m

उत्तर

d = 103.3 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 4.473 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

गति का समीकरण

ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।

−40 = 13·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 13·t − 40 = 0

द्विघात समीकरण हल करें

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t = (13 + √(13² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.473 s

उत्तर

t = 4.473 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 4.905 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 30° − 0·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0) = 4.905 m/s²

उत्तर

a = 4.905 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 132.9 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

पूरा तंत्र

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (145 − 23.54)/12 = 10.12 m/s²

केवल पिछला गुटका

T = m₁·(a + μ·g) = 11·(10.12 + 1.962) = 132.9 N

उत्तर

T = 132.9 N

दोनों गुटकों पर समान μ होने से घर्षण हट जाता है: T = F·m₁/(m₁ + m₂)।

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 4.128 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 40° = 10.72 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 40° = 8.999 m/s

उच्चतम बिंदु

शीर्ष पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है: v_y² = 2gH।

H = v_y²/(2g) = 8.999²/(2·9.81) = 4.128 m

उत्तर

H = 4.128 m

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 29.55 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 8.875 m/s, v_y = 19.03 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

9 = 19.03·t − 4.905·t²

t = (19.03 + √(19.03² − 2·9.81·9))/9.81 = 3.329 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 8.875·3.329 = 29.55 m

उत्तर

x = 29.55 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: h = 2.039 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·800·0.1² = 4 J

ऊँचाई

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

h = ½kx²/(mg) = 4/1.962 = 2.039 m

उत्तर

h = 2.039 m

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 4.143 m/s

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 98.1·(2 − 0.25·4.5) = 85.84 J

स्प्रिंग पर चाल

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·0.875) = 4.143 m/s

उत्तर

v = 4.143 m/s

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₁ = −2.4 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (1 − 4)/(1 + 4)·4 = −2.4 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 4)·4 = 1.6 m/s

उत्तर

v′₁ = −2.4 m/s

ऋण चिह्न का अर्थ है कि पहला ग्लाइडर पीछे लौटता है।

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: J = 6.3 N·s

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.45·(6 + 8) = 6.3 N·s

उत्तर

J = 6.3 N·s

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 196.2 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·4 = 196.2 kN

उत्तर

F = 196.2 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 1.857 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1.75·2.25 = 39.59 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 0.4219/(1.75·2.25) = 1.857 m

उत्तर

y_cp = 1.857 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 346.8 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(75/40)² = 2.637 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 2.637²)/1000 = −3.195 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 350 + (−3.195) = 346.8 kPa

उत्तर

p₂ = 346.8 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 20.54 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

सतह से जेट तक बर्नूली

v = √(2·(40000/1000 + 9.81·1.5)) = 10.46 m/s

प्रवाह दर

Q = A·v = 0.001963·10.46 = 0.02054 m³/s = 20.54 L/s

उत्तर

Q = 20.54 L/s

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 306.9 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 320/28.01 = 11.42 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

आयतन

V = nRT/P = 11.42·8.314·323.1/100 = 306.9 L

उत्तर

V = 306.9 L

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 1.813 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 288.1 K, T₂ = 383.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(150/550)·(383.1/288.1) = 1.813 L

उत्तर

V₂ = 1.813 L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_L = 59.95 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

स्रोत का परम तापमान

T_H = 475 + 273.15 = 748.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 748.1·1959/4400 = 333.1 K = 59.95 °C

उत्तर

T_L = 59.95 °C

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_m = 310 °C

परम तापमान

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

समान कार्य

W = Q·(1 − T_low/T_high) और Q/T हर भंडार पर समान है, इसलिए W तापमान गिरावट के समानुपाती है।

T_m = (873.1 + 293.1)/2 = 583.1 K = 310 °C

उत्तर

T_m = 310 °C

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ_c = 47.33 °

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

90° पर अपवर्तन

sin θc = n₂/n₁ = 1.00/1.36 = 0.7353

क्रांतिक कोण

θc = arcsin(0.7353) = 47.33°

उत्तर

θ_c = 47.33°

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: m_max = 4

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

रेखा अंतराल

d = 1/500 mm = 2 µm

उच्चतम कोटि

m ≤ d/λ = 2 µm/0.405 µm = 4.938 → m_max = 4

उत्तर

m_max = 4

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