सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
90 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 0.5 s है, जिसके बाद कार 6 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।
ज़मीन से 25 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 5 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।
2.5 kg और 1.5 kg के द्रव्यमान एक हल्की, घर्षणरहित घिरनी के दोनों ओर लटके हैं, एक हल्की डोरी से जुड़े। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।
एक गुटके को धक्का दिया जाता है ताकि वह 20° के रैंप पर 11 m/s की चाल से ऊपर फिसलना शुरू करे। गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। रुकने से पहले यह रैंप पर कितनी दूर d फिसलता है?
एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 35° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।
एक गेंद 25 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 20° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।
एक खिलौना प्रक्षेपक में 400 N/m कठोरता वाला ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग है। उस पर 0.15 kg गेंद रखी जाती है और स्प्रिंग को 5 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। वायु प्रतिरोध और स्प्रिंग के द्रव्यमान को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई h ज्ञात कीजिए जिस तक गेंद उठती है, स्प्रिंग संपीडित होने पर उसकी स्थिति से मापकर।
एक 8 kg गुटका 20° की ढलान के तल पर विराम से शुरू होता है और ढलान के समांतर 80 N के स्थिर बल से ऊपर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। ढलान पर 5 m ऊपर चलने के बाद गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।
4 m/s से चल रहा 2.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 3 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′2 ज्ञात कीजिए।
एक चौराहे पर 16 m/s से पूर्व की ओर जा रही एक 1600 kg कार 12 m/s से उत्तर की ओर जा रही एक 2000 kg कार से टकराती है। कारें आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर के ठीक बाद मलबे की चाल v′ ज्ञात कीजिए।
2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।
1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 4 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।
पानी एक बड़ी खुली टंकी से 50 mm व्यास वाले तीक्ष्ण-धार छिद्र (ऑरिफ़िस) से निकलता है। जल स्तर छिद्र से 4.5 m ऊपर बनाए रखा जाता है और निस्सरण गुणांक 0.65 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। g = 9.81 m/s² लें।
पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 75 mm से 40 mm तक संकरा होता है और 3 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 390 kPa और वेग 2.25 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p2 ज्ञात कीजिए।
450 kPa और 90 °C पर Ar का 250 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।
Ar की एक निश्चित मात्रा 350 kPa, 2 L, 20 °C से 100 kPa और 190 °C पर जाती है। नया आयतन V2 ज्ञात कीजिए।
एक उत्क्रमणीय रेफ़्रिजरेटर 3 kW ऊष्मा निकालकर एक ठंडे कमरे को -20 °C पर रखता है, और 30 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇H ज्ञात कीजिए जिस पर यह ऊष्मा त्यागता है।
एक ऊष्मा पंप 5 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेकर 20 °C वाले तापन तंत्र को 18.5 kW ऊष्मा देता है। इसका वास्तविक COP इन तापमानों के बीच कार्नो COP का 60% है। इसके द्वारा ली गई विद्युत शक्ति Ẇ ज्ञात कीजिए।
एक सिरे पर बंद नली 1 m लंबी है। ध्वनि की चाल 343 m/s है। उसके मूल (प्रथम संनादी) की आवृत्ति f1 ज्ञात करें।
0.2 mm की दूरी पर स्थित दो झिरियाँ एकवर्णी प्रकाश से प्रदीप्त हैं। 3 m दूर परदे पर दीप्त फ्रिंज संख्या 5 केंद्रीय फ्रिंज से 44.17 mm दूर है। तरंगदैर्ध्य λ ज्ञात करें।
उत्तर: d = 64.58 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
उत्तर: t = 2.824 s
नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।
ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।
केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।
उत्तर: T = 18.39 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
नेट चालक बल भारों का अंतर है; यह कुल द्रव्यमान को चलाता है।
उत्तर: d = 9.884 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
दोनों बल ढलान के नीचे की ओर हैं; द्रव्यमान कट जाता है।
उत्तर: t = 1.871 s
प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = vxt और y = h + vyt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।
क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।
समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2vy/g।
उत्तर: t = 3.339 s
प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = vxt और y = h + vyt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।
क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।
y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।
उत्तर: h = 0.3398 m
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।
उत्तर: v = 6.228 m/s
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।
उत्तर: v′2 = 3.636 m/s
संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।
संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।
उत्तर: v′ = 9.747 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
उत्तर: F = 134.9 kN
समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·yc·A। यह दाब केंद्र ycp = yc + Ic/(ycA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।
उत्तर: F = 104.8 kN
समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·yc·A। यह दाब केंद्र ycp = yc + Ic/(ycA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।
उत्तर: Q = 11.99 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
निस्सरण गुणांक जेट के संकुचन और किनारे पर घर्षण को ध्यान में रखता है।
उत्तर: p2 = 331.8 kPa
सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।
Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।
उत्तर: V = 41.99 L
आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।
उत्तर: V2 = 11.06 L
संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P1V1/T1 = P2V2/T2।
उत्तर: Q̇H = 3.593 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
निवेश शक्ति: Ẇ = 0.5925 kW।
उत्तर: Ẇ = 1.578 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
उत्तर: f1 = 85.75 Hz
अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, fn = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।
उत्तर: λ = 588.9 nm
व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।
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