इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

36 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 3.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेक लगाने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 36 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

t = s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक मॉडल रॉकेट विराम से सीधे ऊपर प्रक्षेपित किया जाता है। इसका इंजन इसे 2 s तक 26 m/s² का स्थिर ऊर्ध्वमुखी त्वरण देता है, जिसके बाद इंजन बंद हो जाता है और रॉकेट मुक्त रूप से चलता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण के कितनी देर बाद यह ज़मीन से टकराता है? t ज्ञात कीजिए।

a = 26 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 10.5 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 19 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 10.5 m/sd = 19 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

35° पर झुके रैंप पर एक 9.5 kg गुटका रैंप के शीर्ष पर एक घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से हल्की डोरी द्वारा एक लटकते 10 kg द्रव्यमान से जुड़ा है। लटकता द्रव्यमान नीचे चलता है। गुटके और रैंप के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 9.5 kgm₂ = 10 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 30 m/s से क्षैतिज से 45° ऊपर 73 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 30 m/sθ = 45°x = 73 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 25 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 40° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 27 m/sθ = 40°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 20° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। ढलान के साथ 14 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 20°μ = 0.15d = 14 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

20° ढलान के तल पर 2000 N/m कठोरता वाले एक स्प्रिंग को एक 0.5 kg गुटके के विरुद्ध 8 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। गुटके और ढलान के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। रुकने से पहले गुटका छोड़ने के बिंदु से ढलान पर कितनी दूर d ऊपर जाता है? (स्प्रिंग के धकेलने वाली छोटी दूरी को नगण्य मानें, अर्थात घर्षण और गुरुत्व को पूरी दूरी d पर लें।)

m = 0.5 kgk = 2000 N/mx = 8 cmθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

8 m/s से चल रहा 4 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 2.5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 4 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

0.35 kg की एक गेंद 20 m/s से दीवार से टकराती है और 19 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 40 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल F_avg ज्ञात कीजिए।

m = 0.35 kgv_in = 20 m/sv_out = 19 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 2 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक समुद्री जल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 0.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 0.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 75 mm से 25 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 400 kPa और वेग 1 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 400 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 100 mm से 75 mm तक संकरा होता है और 6 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 350 kPa और वेग 2.25 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 350 kPav₁ = 2.25 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

400 kPa और 75 °C पर O₂ का 180 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 180 gM = 32 g/molP = 400 kPaT = 75 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.आदर्श गैस नियमकठिन

CO₂ की एक निश्चित मात्रा 200 kPa, 20 L, 10 °C से 750 kPa और 120 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 200 kPaV₁ = 20 LT₁ = 10 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 120 °C

V₂ = L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय (कार्नो) ऊष्मा इंजन 775 °C वाले भंडार से प्रति चक्र 3300 kJ ऊष्मा लेता है और 970 kJ त्यागता है। ठंडे भंडार का तापमान T_L °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 775 °CQ_H = 3300 kJQ_L = 970 kJ

T_L = °C

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक कार्नो ऊष्मा इंजन 850 °C वाले स्रोत से 170 kW ऊष्मा लेता है और 25 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसका सारा कार्य एक कार्नो रेफ़्रिजरेटर चलाता है जो -25 °C वाले फ़्रीज़र से ऊष्मा निकालता है और वह भी 25 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_L ज्ञात कीजिए जिस पर फ़्रीज़र से ऊष्मा निकाली जाती है।

T_H = 850 °CT₀ = 25 °CT_L = -25 °CQ̇_H = 170 kW

Q̇_L = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक छोटा स्रोत ध्वनि को सभी दिशाओं में समान रूप से भेजता है। उससे 1 m पर स्तर 70 dB है। अवशोषण और परावर्तन को अनदेखा करते हुए 10 m पर स्तर β₂ ज्ञात करें।

β₁ = 70 dBr₁ = 1 mr₂ = 10 m

β₂ = dB

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

एक वस्तु 30 cm वक्रता त्रिज्या वाले उत्तल दर्पण के सामने 12 cm पर है। प्रतिबिंब दूरी d_i ज्ञात करें, दर्पण के सामने (वास्तविक) प्रतिबिंब के लिए धनात्मक और पीछे (आभासी) के लिए ऋणात्मक।

d_o = 12 cmR = 30 cm

d_i = cm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 2.857 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

ब्रेकिंग समय

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/3.5 = 2.857 s

उत्तर

t = 2.857 s

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 13.52 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

संचालित चरण

v₁ = 26·2 = 52 m/s

h₁ = ½·26·2² = 52 m

ज़मीन तक मुक्त उड़ान

−h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

t₂ = (52 + √(52² + 2·9.81·52))/9.81 = 11.52 s

t = 2 + 11.52 = 13.52 s

उत्तर

t = 13.52 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.2958

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 10.5²/(2·19) = 2.901 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.901/9.81 = 0.2958

उत्तर

μ = 0.2958

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 1.311 m/s²

डोरी के साथ बल

m₂·g = 98.1 N

m₁·g·sin θ = 53.45 N

μ·m₁·g·cos θ = 19.09 N

निकाय का त्वरण

a = (98.1 − 53.45 − 19.09)/19.5 = 1.311 m/s²

उत्तर

a = 1.311 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 14.91 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 30·cos 45° = 21.21 m/s

t = x/v_x = 73/21.21 = 3.441 s

उस समय ऊँचाई

y = 21.21·3.441 − ½·9.81·3.441² = 14.91 m

उत्तर

y = 14.91 m

दीवार पर गेंद पहले से नीचे आ रही है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 4.637 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 40° = 20.68 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 40° = 17.36 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 25 + 17.36·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17.36 + √(301.2 + 490.5))/9.81 = 4.637 s

उत्तर

t = 4.637 s

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 7.432 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·14·(0.342 − 0.15·0.9397)) = 7.432 m/s

उत्तर

v = 7.432 m/s

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: d = 2.462 m

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·2000·0.08² = 6.4 J

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 6.4/(4.905·(0.342 + 0.2·0.9397)) = 2.462 m

उत्तर

d = 2.462 m

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 9.846 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (4 − 2.5)/(4 + 2.5)·8 = 1.846 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 2.5)·8 = 9.846 m/s

उत्तर

v′₂ = 9.846 m/s

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: F_avg = 341.2 N

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.35·(19 + 20) = 13.65 N·s

औसत बल

F_avg = J/Δt = 13.65/0.04 = 341.2 N

उत्तर

F_avg = 341.2 N

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 239.1 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·7.5 = 239.1 kN

उत्तर

F = 239.1 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 15.08 kN

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1·1.5 = 15.08 kN

उत्तर

F = 15.08 kN

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 360 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/25)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 400 + (−40) = 360 kPa

उत्तर

p₂ = 360 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 285.7 kPa

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(100/75)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 4²)/1000 = −5.469 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 350 + (−5.469) − 58.86 = 285.7 kPa

उत्तर

p₂ = 285.7 kPa

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 40.7 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 180/32 = 5.625 mol

T = 75 + 273.15 = 348.1 K

आयतन

V = nRT/P = 5.625·8.314·348.1/400 = 40.7 L

उत्तर

V = 40.7 L

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 7.405 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 283.1 K, T₂ = 393.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(200/750)·(393.1/283.1) = 7.405 L

उत्तर

V₂ = 7.405 L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_L = 34.94 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

स्रोत का परम तापमान

T_H = 775 + 273.15 = 1048 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 1048·970/3300 = 308.1 K = 34.94 °C

उत्तर

T_L = 34.94 °C

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_L = 619.7 kW

परम तापमान

T_H = 850 + 273.15 = 1123 K

T₀ = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

इंजन का कार्य

η = 1 − 298.1/1123 = 0.7345

Ẇ = 0.7345·170 = 124.9 kW

रेफ़्रिजरेटर द्वारा निकाली गई ऊष्मा

COP_R = 248.1/(298.1 − 248.1) = 4.963

Q̇_L = 4.963·124.9 = 619.7 kW

उत्तर

Q̇_L = 619.7 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: β₂ = 50 dB

तरंगें: आवर्ती तरंग एक आवर्तकाल में एक तरंगदैर्ध्य चलती है, इसलिए v = fλ, जहाँ T = 1/f। तनी हुई डोरी पर v = √(T/μ), जहाँ T तनाव और μ = m/L प्रति मीटर द्रव्यमान है। 20 °C पर वायु में ध्वनि लगभग 343 m/s से चलती है, निर्वात में प्रकाश c = 3.00 × 10⁸ m/s से। प्रबलता लघुगणकीय पैमाने पर मापी जाती है: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, जहाँ I₀ = 10⁻¹² W/m², इसलिए तीव्रता 10 गुनी होने पर 10 dB जुड़ता है। बिंदु स्रोत अपनी शक्ति P को गोले पर फैलाता है: I = P/(4πr²)।

तीव्रता अनुपात

I₂/I₁ = (1/10)² = 0.01

नया स्तर

β₂ = 70 + 10·log₁₀(0.01) = 50 dB

उत्तर

β₂ = 50 dB

दूरी का हर दोगुना होना स्तर को लगभग 6 dB घटाता है।

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: d_i = −6.667 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

फोकस दूरी

f = −R/2 = −15 cm

दर्पण समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−15) − 1/12

d_i = −6.667 cm

किरण आरेख

दर्पण के पीछे आभासी प्रतिबिंब

उत्तर

d_i = −6.667 cm

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