इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

60 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 5.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेक लगाने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 60 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

गेंद A को 20 m की ऊँचाई से विराम से गिराया जाता है। उसी क्षण गेंद B को ठीक नीचे ज़मीन से 27 m/s से सीधे ऊपर फेंका जाता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वे ज़मीन से किस ऊँचाई y पर मिलती हैं?

H = 20 mv_0B = 27 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 3 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 4.6 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 3 m/sd = 4.6 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

एक गुटके को धक्का दिया जाता है ताकि वह 35° के रैंप पर 4.5 m/s की चाल से ऊपर फिसलना शुरू करे। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। रुकने से पहले यह रैंप पर कितनी दूर d फिसलता है?

v₀ = 4.5 m/sθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 18 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 25 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 18 m/sR = 25 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 27 m/s से क्षैतिज से 60° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 14 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 27 m/sθ = 60°h_roof = 14 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। ढलान के साथ 11 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 30°μ = 0.15d = 11 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

25° ढलान के तल पर 3000 N/m कठोरता वाले एक स्प्रिंग को एक 1 kg गुटके के विरुद्ध 20 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। गुटके और ढलान के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। रुकने से पहले गुटका छोड़ने के बिंदु से ढलान पर कितनी दूर d ऊपर जाता है? (स्प्रिंग के धकेलने वाली छोटी दूरी को नगण्य मानें, अर्थात घर्षण और गुरुत्व को पूरी दूरी d पर लें।)

m = 1 kgk = 3000 N/mx = 20 cmθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

25 m/s से क्षैतिज रूप से चल रहा एक 12 kg प्रक्षेप्य दो टुकड़ों में फटता है जो उसी रेखा में चलते हैं। 5 kg टुकड़ा 52 m/s से आगे चलता रहता है। 7 kg टुकड़े का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए (मूल दिशा में धनात्मक)।

M = 12 kgu = 25 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 52 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

0.5 kg की एक गेंद 13 m/s से दीवार से टकराती है और 16 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 20 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल F_avg ज्ञात कीजिए।

m = 0.5 kgv_in = 13 m/sv_out = 16 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 4 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक ग्लिसरीन वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 2 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक बड़ी खुली टंकी से 30 mm व्यास वाले तीक्ष्ण-धार छिद्र (ऑरिफ़िस) से निकलता है। जल स्तर छिद्र से 5.5 m ऊपर बनाए रखा जाता है और निस्सरण गुणांक 0.64 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। g = 9.81 m/s² लें।

d = 30 mmh = 5.5 mC_d = 0.64g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 100 mm से 25 mm तक संकरा होता है और 1 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 310 kPa और वेग 0.75 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmd₂ = 25 mmp₁ = 310 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

50 L की टंकी में 25 °C पर Ar का 10 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 10 gM = 39.95 g/molV = 50 LT = 25 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

800 kPa और 110 °C पर N₂ का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 28.01 g/molP = 800 kPaT = 110 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 575 °C पर गर्म भंडार और 35 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। अधिकतम संभव तापीय दक्षता η_max ज्ञात कीजिए।

T_H = 575 °CT_L = 35 °C

η_max = %

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक कार्नो ऊष्मा इंजन 600 °C वाले स्रोत से 200 kW ऊष्मा लेता है और 27 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसका सारा कार्य एक कार्नो रेफ़्रिजरेटर चलाता है जो -20 °C वाले फ़्रीज़र से ऊष्मा निकालता है और वह भी 27 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_L ज्ञात कीजिए जिस पर फ़्रीज़र से ऊष्मा निकाली जाती है।

T_H = 600 °CT₀ = 27 °CT_L = -20 °CQ̇_H = 200 kW

Q̇_L = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

प्रकाश एथेनॉल (n = 1.36) में हवा (n = 1.00) के साथ समतल सीमा की ओर चलता है। वह क्रांतिक कोण θ_c ज्ञात करें जिसके आगे वह पूर्णतः परावर्तित होता है।

n₁ = 1.36n₂ = 1.00

θ_c = °

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

650 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.1 mm चौड़ी एकल झिरी से गुज़रता है। सीधी दिशा से अदीप्त फ्रिंज संख्या 2 का कोण θ₂ ज्ञात करें।

λ = 650 nma = 0.1 mmm = 2

θ₂ = °

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 3.03 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

ब्रेकिंग समय

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16.67/5.5 = 3.03 s

उत्तर

t = 3.03 s

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: y = 17.31 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

मिलने का समय

ऊपर धनात्मक है, ज़मीन y = 0 है।

20 − ½g·t² = 27·t − ½g·t² → t = 20/27 = 0.7407 s

मिलने की ऊँचाई

y = 27·0.7407 − ½·9.81·0.7407² = 17.31 m

उत्तर

y = 17.31 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.09972

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 3²/(2·4.6) = 0.9783 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.9783/9.81 = 0.09972

उत्तर

μ = 0.09972

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: d = 1.326 m

मंदन

दोनों बल ढलान के नीचे की ओर हैं; द्रव्यमान कट जाता है।

a = 9.81·(sin 35° + 0.25·cos 35°) = 7.636 m/s²

दूरी

d = v₀²/(2a) = 4.5²/(2·7.636) = 1.326 m

उत्तर

d = 1.326 m

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 24.6 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·25/18² = 0.7569

कोण

2θ = 49.2° → θ = 24.6°

उत्तर

θ = 24.6°

दूसरा हल 90° − θ = 65.4° है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 54.88 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 13.5 m/s, v_y = 23.38 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

14 = 23.38·t − 4.905·t²

t = (23.38 + √(23.38² − 2·9.81·14))/9.81 = 4.065 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 13.5·4.065 = 54.88 m

उत्तर

x = 54.88 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 8.937 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·11·(0.5 − 0.15·0.866)) = 8.937 m/s

उत्तर

v = 8.937 m/s

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: d = 8.807 m

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·3000·0.2² = 60 J

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 60/(9.81·(0.4226 + 0.3·0.9063)) = 8.807 m

उत्तर

d = 8.807 m

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 5.714 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

पहले का संवेग

p = M·u = 12·25 = 300 kg·m/s

बाद का संवेग

300 = 5·52 + 7·v′₂

v′₂ = (300 − 260)/7 = 5.714 m/s

उत्तर

v′₂ = 5.714 m/s

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: F_avg = 725 N

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.5·(16 + 13) = 14.5 N·s

औसत बल

F_avg = J/Δt = 14.5/0.02 = 725 N

उत्तर

F_avg = 725 N

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 88.29 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·2 = 88.29 kN

उत्तर

F = 88.29 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 3.41 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.25·5 = 200.9 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 2·2.5³/12 = 2.604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.25 + 2.604/(3.25·5) = 3.41 m

उत्तर

y_cp = 3.41 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 4.699 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

आदर्श जेट वेग

√(2gh) = √(2·9.81·5.5) = 10.39 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

निस्सरण गुणांक जेट के संकुचन और किनारे पर घर्षण को ध्यान में रखता है।

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.64·0.0007069·10.39 = 0.004699 m³/s = 4.699 L/s

उत्तर

Q = 4.699 L/s

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 228.5 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(100/25)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 12²)/1000 = −71.72 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 310 + (−71.72) − 9.81 = 228.5 kPa

उत्तर

p₂ = 228.5 kPa

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 12.41 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 10/39.95 = 0.2503 mol

T = 25 + 273.15 = 298.1 K

दाब

P = nRT/V = 0.2503·8.314·298.1/0.05 = 12.41 kPa

उत्तर

P = 12.41 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 7.034 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 110 + 273.15 = 383.1 K

घनत्व

ρ = 800·28.01/(8.314·383.1) = 7.034 kg/m³

उत्तर

ρ = 7.034 kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: η_max = 63.67 %

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 575 + 273.15 = 848.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308.1/848.1 = 63.67 %

उत्तर

η_max = 63.67 %

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_L = 706.9 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T₀ = 27 + 273.15 = 300.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

इंजन का कार्य

η = 1 − 300.1/873.1 = 0.6562

Ẇ = 0.6562·200 = 131.2 kW

रेफ़्रिजरेटर द्वारा निकाली गई ऊष्मा

COP_R = 253.1/(300.1 − 253.1) = 5.386

Q̇_L = 5.386·131.2 = 706.9 kW

उत्तर

Q̇_L = 706.9 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ_c = 47.33 °

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

90° पर अपवर्तन

sin θc = n₂/n₁ = 1.00/1.36 = 0.7353

क्रांतिक कोण

θc = arcsin(0.7353) = 47.33°

उत्तर

θ_c = 47.33°

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ₂ = 0.7449 °

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

अदीप्त फ्रिंज की शर्त

sin θ = mλ/a = 0.013

θ = 0.7449°

उत्तर

θ₂ = 0.7449°

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