इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

80 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 7 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 80 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 20 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 17 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 17 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

18 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 18 kgθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

एक गुटके को धक्का दिया जाता है ताकि वह 30° के रैंप पर 9.5 m/s की चाल से ऊपर फिसलना शुरू करे। गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। g = 9.81 m/s² लें। रुकने से पहले यह रैंप पर कितनी दूर d फिसलता है?

v₀ = 9.5 m/sθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 60° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 10 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

H = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 55 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 25° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 23 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक खिलौना प्रक्षेपक में 1500 N/m कठोरता वाला ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग है। उस पर 0.25 kg गेंद रखी जाती है और स्प्रिंग को 3 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। वायु प्रतिरोध और स्प्रिंग के द्रव्यमान को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई h ज्ञात कीजिए जिस तक गेंद उठती है, स्प्रिंग संपीडित होने पर उसकी स्थिति से मापकर।

m = 0.25 kgk = 1500 N/mx = 3 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

4 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 2.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 1 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.15) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 2500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 4 kgh = 2.5 mL = 1 mμ = 0.15k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

6 m/s से चल रही एक 1800 kg कार खड़ी 1400 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 1800 kgv₁ = 6 m/sm₂ = 1400 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.संवेग और टक्करेंकठिन

0.2 kg की एक गेंद 25 m/s से दीवार से टकराती है और 15 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 40 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल F_avg ज्ञात कीजिए।

m = 0.2 kgv_in = 25 m/sv_out = 15 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

1 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

1 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक ग्लिसरीन वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 0.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 0.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी 40 L/s की दर से एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 200 mm से 150 mm तक संकरा होता है। संकरे भाग में दाब 200 kPa है। हानियों को नगण्य मानते हुए चौड़े भाग में दाब p₁ ज्ञात कीजिए।

Q = 40 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₂ = 200 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 75 mm से 25 mm तक संकरा होता है और 8 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 110 kPa और वेग 0.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 110 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

5 L की टंकी में 65 °C पर Ar का 350 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 350 gM = 39.95 g/molV = 5 LT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

950 kPa और 70 °C पर Ar का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 39.95 g/molP = 950 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय रेफ़्रिजरेटर 1 kW ऊष्मा निकालकर एक ठंडे कमरे को 4 °C पर रखता है, और 40 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_H ज्ञात कीजिए जिस पर यह ऊष्मा त्यागता है।

T_L = 4 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 1 kW

Q̇_H = kW

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप बाहर -5 °C होने पर घर को 22 °C पर रखता है, और घर को 5 kW ऊष्मा देता है। न्यूनतम शक्ति निवेश Ẇ_min ज्ञात कीजिए।

T_H = 22 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 5 kW

Ẇ_min = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

10 m/s से चलता 400 Hz का एक स्रोत और 10 m/s से चलता एक प्रेक्षक एक-दूसरे से दूर जा रहे हैं। ध्वनि की चाल 343 m/s है। प्रेक्षक को सुनाई देने वाली आवृत्ति f′ ज्ञात करें।

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

एक प्रकाशिक तंतु का क्रोड n₁ = 1.52 का है और आवरण n₂ = 1.44 का। तंतु अक्ष से वह अधिकतम कोण θ_a ज्ञात करें जिस पर हवा से आया प्रकाश तंतु के सिरे में प्रवेश कर पूर्ण आंतरिक परावर्तन द्वारा निर्देशित हो सके।

n₁ = 1.52n₂ = 1.44n₀ = 1.00

θ_a = °

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 35.27 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·7) = 35.27 m

उत्तर

s = 35.27 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 4.394 s

गति का समीकरण

ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।

−20 = 17·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 17·t − 20 = 0

द्विघात समीकरण हल करें

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t = (17 + √(17² + 2·9.81·20))/9.81 = 4.394 s

उत्तर

t = 4.394 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 2.356 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 30° − 0.3·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2598) = 2.356 m/s²

उत्तर

a = 2.356 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: d = 7.303 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

दोनों बल ढलान के नीचे की ओर हैं; द्रव्यमान कट जाता है।

a = 9.81·(sin 30° + 0.15·cos 30°) = 6.179 m/s²

दूरी

d = v₀²/(2a) = 9.5²/(2·6.179) = 7.303 m

उत्तर

d = 7.303 m

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 3.823 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 60° = 5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 60° = 8.66 m/s

उच्चतम बिंदु

शीर्ष पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है: v_y² = 2gH।

H = v_y²/(2g) = 8.66²/(2·9.81) = 3.823 m

उत्तर

H = 3.823 m

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 93.45 m

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 25° = 20.85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 25° = 9.72 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 55 + 9.72·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.72 + √(94.48 + 1079))/9.81 = 4.483 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 20.85·4.483 = 93.45 m

उत्तर

x = 93.45 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: h = 0.2752 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 3 cm = 0.03 m

½kx² = ½·1500·0.03² = 0.675 J

ऊँचाई

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 0.675/2.453 = 0.2752 m

उत्तर

h = 0.2752 m

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 27.16 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 39.24·(2.5 − 0.15·1) = 92.21 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 92.21 → x = √(2·92.21/2500) = 0.2716 m = 27.16 cm

उत्तर

x = 27.16 cm

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 14175 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1800·6/3200 = 3.375 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·1800·6² = 32400 J

K_after = ½·3200·3.375² = 18225 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 32400 − 18225 = 14175 J

उत्तर

ΔK = 14175 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: F_avg = 200 N

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.2·(15 + 25) = 8 N·s

औसत बल

F_avg = J/Δt = 8/0.04 = 200 N

उत्तर

F_avg = 200 N

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 47.82 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·1.5 = 47.82 kN

उत्तर

F = 47.82 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 12.36 kN

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1·1 = 12.36 kN

उत्तर

F = 12.36 kN

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₁ = 201.8 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

वेग

v₁ = Q/A₁ = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

बर्नूली

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 200 + ½·1000·(2.264² − 1.273²)/1000 = 200 + 1.751 = 201.8 kPa

उत्तर

p₁ = 201.8 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 21.52 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(75/25)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 4.5²)/1000 = −10 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 110 + (−10) − 78.48 = 21.52 kPa

उत्तर

p₂ = 21.52 kPa

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 4926 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 350/39.95 = 8.761 mol

T = 65 + 273.15 = 338.1 K

दाब

P = nRT/V = 8.761·8.314·338.1/0.005 = 4926 kPa

उत्तर

P = 4926 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 13.3 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

घनत्व

ρ = 950·39.95/(8.314·343.1) = 13.3 kg/m³

उत्तर

ρ = 13.3 kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_H = 1.13 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 40 + 273.15 = 313.1 K

T_L = 4 + 273.15 = 277.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 1·313.1/277.1 = 1.13 kW

उत्तर

Q̇_H = 1.13 kW

निवेश शक्ति: Ẇ = 0.1299 kW।

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ_min = 0.4574 kW

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 268.1) = 10.93

न्यूनतम शक्ति

सबसे कम कार्य उत्क्रमणीय मशीन को चाहिए, जिसका COP सबसे अधिक है।

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 5/10.93 = 0.4574 kW

उत्तर

Ẇ_min = 0.4574 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f′ = 377.3 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

डॉप्लर सूत्र

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 400·(343 − 10)/(343 + 10)

f′ = 377.3 Hz

उत्तर

f′ = 377.3 Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ_a = 29.12 °

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

आवरण पर क्रांतिक कोण

sin θc = 1.44/1.52 = 0.9474 → θc = 71.33°

संख्यात्मक द्वारक

NA = √(1.52² − 1.44²) = 0.4866

स्वीकृति कोण

θ_a = arcsin(0.4866) = 29.12°

उत्तर

θ_a = 29.12°

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