इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

90 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 0.7 s है, जिसके बाद कार 5.5 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 90 km/ht_r = 0.7 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 25 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 14 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 14 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

11 kg का एक गुटका क्षैतिज से 45° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 11 kgθ = 45°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 9.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 4.5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 9.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 24 m/s से क्षैतिज से 70° ऊपर 15 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 24 m/sθ = 70°x = 15 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 10 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 21 m/s से क्षैतिज से 20° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वह चाल v ज्ञात कीजिए जिससे यह ज़मीन से टकराती है।

v₀ = 21 m/sθ = 20°h = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 45° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। ढलान के साथ 18 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 45°μ = 0.25d = 18 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 5 kg गुटका खुरदरी क्षैतिज मेज़ (μ = 0.4) पर रखा है। एक हल्की डोरी उससे मेज़ के किनारे पर एक चिकनी घिरनी के ऊपर से होकर एक लटकते 6 kg गुटके तक जाती है। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। लटकते गुटके के 3 m गिरने के बाद गुटकों की चाल v ज्ञात कीजिए।

m₁ = 5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.4d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

16 m/s से चल रही एक 600 kg कार खड़ी 1400 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 600 kgv₁ = 16 m/sm₂ = 1400 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.संवेग और टक्करेंकठिन

0.55 kg की एक गेंद 28 m/s से दीवार से टकराती है और 17 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 10 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण J ज्ञात कीजिए।

m = 0.55 kgv_in = 28 m/sv_out = 17 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

1 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 3 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक ग्लिसरीन वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 2.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 75 mm से 40 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 250 kPa और वेग 1.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 250 kPav₁ = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 75 mm से 40 mm तक संकरा होता है और 6 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 280 kPa और वेग 0.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 280 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

50 L की टंकी में 85 °C पर Ar का 500 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 500 gM = 39.95 g/molV = 50 LT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

950 kPa और 190 °C पर CO₂ का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 44.01 g/molP = 950 kPaT = 190 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय रेफ़्रिजरेटर 6.5 kW ऊष्मा निकालकर एक ठंडे कमरे को -20 °C पर रखता है, और 35 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_H ज्ञात कीजिए जिस पर यह ऊष्मा त्यागता है।

T_L = -20 °CT_H = 35 °CQ̇_L = 6.5 kW

Q̇_H = kW

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा इंजन प्रति चक्र 900 °C वाले भंडार से 4700 kJ ऊष्मा लेता है, 2820 kJ कार्य उत्पन्न करता है और शेष को 15 °C वाले भंडार को त्यागता है। प्रति चक्र उत्पन्न कुल एन्ट्रॉपी S_gen ज्ञात कीजिए।

T_H = 900 °CT_L = 15 °CQ_H = 4700 kJW = 2820 kJ

S_gen = kJ/K

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

दोनों सिरों पर खुली नली 1.5 m लंबी है। ध्वनि की चाल 343 m/s है। उसके मूल (प्रथम संनादी) की आवृत्ति f₁ ज्ञात करें।

v = 343 m/sn = 1L = 1.5 m

f₁ = Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

480 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.3 mm की दूरी पर स्थित दो झिरियों पर पड़ता है। परदा 1.2 m दूर है। केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से दीप्त फ्रिंज संख्या 4 तक की दूरी y₄ ज्ञात करें।

λ = 480 nmd = 0.3 mmL = 1.2 mm = 4

y₄ = mm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 74.32 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 25·0.7 = 17.5 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·5.5) = 56.82 m

कुल

d = 17.5 + 56.82 = 74.32 m

उत्तर

d = 74.32 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 4.098 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

गति का समीकरण

ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।

−25 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 25 = 0

द्विघात समीकरण हल करें

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t = (14 + √(14² + 2·9.81·25))/9.81 = 4.098 s

उत्तर

t = 4.098 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 5.203 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 45° − 0.25·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1768) = 5.203 m/s²

उत्तर

a = 5.203 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 1.156 m/s²

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 27.96)/14 = 1.156 m/s²

उत्तर

a = 1.156 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 24.83 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 24·cos 70° = 8.208 m/s

t = x/v_x = 15/8.208 = 1.827 s

उस समय ऊँचाई

y = 22.55·1.827 − ½·9.81·1.827² = 24.83 m

उत्तर

y = 24.83 m

दीवार पर गेंद अभी ऊपर उठ रही है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v = 25.24 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 21·cos 20° = 19.73 m/s

v_y0 = 21·sin 20° = 7.182 m/s

टकराने पर ऊर्ध्वाधर चाल

ऊर्जा या ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = v₀² + 2as।

v_y = √(7.182² + 2·9.81·10) = 15.74 m/s

टकराने की चाल

v = √(19.73² + 15.74²) = 25.24 m/s

उत्तर

v = 25.24 m/s

ऊर्जा से जाँचें: v² = v₀² + 2gh।

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 13.69 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·18·(0.7071 − 0.25·0.7071)) = 13.69 m/s

उत्तर

v = 13.69 m/s

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 4.626 m/s

मुक्त और खोई गई ऊर्जा

m₂g·d = 58.86·3 = 176.6 J

μ·m₁g·d = 0.4·49.05·3 = 58.86 J

दोनों गुटकों की गतिज ऊर्जा

½(m₁ + m₂)v² = 117.7 → v = √(2·117.7/11) = 4.626 m/s

उत्तर

v = 4.626 m/s

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 53760 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·16/2000 = 4.8 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·600·16² = 76800 J

K_after = ½·2000·4.8² = 23040 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 76800 − 23040 = 53760 J

उत्तर

ΔK = 53760 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: J = 24.75 N·s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.55·(17 + 28) = 24.75 N·s

उत्तर

J = 24.75 N·s

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 132.4 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·3 = 132.4 kN

उत्तर

F = 132.4 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 222.5 kN

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4·4.5 = 222.5 kN

उत्तर

F = 222.5 kN

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 237.2 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(75/40)² = 5.273 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 5.273²)/1000 = −12.78 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 250 + (−12.78) = 237.2 kPa

उत्तर

p₂ = 237.2 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 219.7 kPa

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(75/40)² = 1.758 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 1.758²)/1000 = −1.42 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 280 + (−1.42) − 58.86 = 219.7 kPa

उत्तर

p₂ = 219.7 kPa

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 745.3 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 500/39.95 = 12.52 mol

T = 85 + 273.15 = 358.1 K

दाब

P = nRT/V = 12.52·8.314·358.1/0.05 = 745.3 kPa

उत्तर

P = 745.3 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 10.86 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 190 + 273.15 = 463.1 K

घनत्व

ρ = 950·44.01/(8.314·463.1) = 10.86 kg/m³

उत्तर

ρ = 10.86 kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_H = 7.912 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 6.5·308.1/253.1 = 7.912 kW

उत्तर

Q̇_H = 7.912 kW

निवेश शक्ति: Ẇ = 1.412 kW।

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: S_gen = 2.518 kJ/K

एन्ट्रॉपी उत्पादन: पूरे चक्र में कार्यकारी तरल का कोई नेट एन्ट्रॉपी परिवर्तन नहीं होता। गर्म भंडार Q_H/T_H खोता है और ठंडा भंडार Q_L/T_L पाता है। इनका योग उत्पन्न एन्ट्रॉपी है, जो उत्क्रमणीय चक्र के लिए शून्य और हर वास्तविक चक्र के लिए धनात्मक है।

त्यागी गई ऊष्मा

Q_L = Q_H − W = 4700 − 2820 = 1880 kJ

परम तापमान

T_H = 900 + 273.15 = 1173 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

भंडारों के एन्ट्रॉपी परिवर्तन

ΔS_H = −4700/1173 = −4.006 kJ/K

ΔS_L = 1880/288.1 = 6.524 kJ/K

S_gen = 6.524 − 4.006 = 2.518 kJ/K

उत्तर

S_gen = 2.518 kJ/K

S_gen > 0, इसलिए इंजन संभव है पर अनुत्क्रमणीय है।

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f₁ = 114.3 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

इस विधा की तरंगदैर्ध्य

λ = 2L/n = 2·1.5/1 = 3 m

आवृत्ति

f = v/λ = 343/3 = 114.3 Hz

उत्तर

f₁ = 114.3 Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: y₄ = 7.68 mm

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

फ्रिंज अंतराल

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·1.2/(0.3 × 10⁻³) = 1.92 mm

फ्रिंज संख्या 4

y₄ = 4·1.92 = 7.68 mm

उत्तर

y₄ = 7.68 mm

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