इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

100 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 0.5 s है, जिसके बाद कार 5.5 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 100 km/ht_r = 0.5 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक पत्थर कुएँ में विराम से गिराया जाता है। पत्थर छोड़ने के 2.1 s बाद छपाक की आवाज़ सुनाई देती है। ध्वनि की चाल 343 m/s है; वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। कुएँ की गहराई d ज्ञात कीजिए।

t_total = 2.1 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

9 kg और 8 kg के द्रव्यमान एक हल्की, घर्षणरहित घिरनी के दोनों ओर लटके हैं, एक हल्की डोरी से जुड़े। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। द्रव्यमानों का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 9 kgm₂ = 8 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 2.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 1 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 2.5 kgm₂ = 1 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 15° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 115 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 15°R = 115 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 40 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 50° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 20 m/sθ = 50°h = 40 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

10 kg का एक गुटका क्षैतिज से 45° पर झुकी ढलान पर 20 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.4 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य W_f ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgθ = 45°μ = 0.4d = 20 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 2 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 1 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.2) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgh = 2 mL = 1 mμ = 0.2k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

4 m/s से चल रहा 5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 1 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद पहले ग्लाइडर का वेग v′₁ ज्ञात कीजिए (उसकी मूल दिशा में धनात्मक)।

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

0.35 kg की एक गेंद 29 m/s से दीवार से टकराती है और 5 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 40 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण J ज्ञात कीजिए।

m = 0.35 kgv_in = 29 m/sv_out = 5 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

1 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 4 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 4 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक ग्लिसरीन वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 200 mm से 100 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 270 kPa और वेग 2.25 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 270 kPav₁ = 2.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 75 mm से 25 mm तक संकरा होता है और 4 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 310 kPa और वेग 0.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 310 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

20 L की टंकी में 55 °C पर CH₄ का 40 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 40 gM = 16.04 g/molV = 20 LT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

O₂ की एक निश्चित मात्रा 300 kPa, 20 L, 15 °C से 750 kPa और 240 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 300 kPaV₁ = 20 LT₁ = 15 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 240 °C

V₂ = L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय रेफ़्रिजरेटर 9 kW ऊष्मा निकालकर एक ठंडे कमरे को -18 °C पर रखता है, और 35 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_H ज्ञात कीजिए जिस पर यह ऊष्मा त्यागता है।

T_L = -18 °CT_H = 35 °CQ̇_L = 9 kW

Q̇_H = kW

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक कार्नो ऊष्मा इंजन 750 °C वाले स्रोत से 80 kW ऊष्मा लेता है और 20 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसका सारा कार्य एक कार्नो रेफ़्रिजरेटर चलाता है जो -15 °C वाले फ़्रीज़र से ऊष्मा निकालता है और वह भी 20 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_L ज्ञात कीजिए जिस पर फ़्रीज़र से ऊष्मा निकाली जाती है।

T_H = 750 °CT₀ = 20 °CT_L = -15 °CQ̇_H = 80 kW

Q̇_L = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

800 Hz का एक स्रोत स्थिर प्रेक्षक की ओर 25 m/s से चलता है। ध्वनि की चाल 343 m/s है। प्रेक्षक को सुनाई देने वाली आवृत्ति f′ ज्ञात करें।

f = 800 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/s

f′ = Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

स्थिर सेंसर 35 kHz की पराश्रव्य ध्वनि एक कार की ओर भेजता है जो 20 m/s से पास आ रही है और प्रतिध्वनि को उत्सर्जित संकेत से मिलाता है। विस्पंद आवृत्ति f_b ज्ञात करें (ध्वनि की चाल 343 m/s)।

f = 35 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 84.03 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 27.78·0.5 = 13.89 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·5.5) = 70.15 m

कुल

d = 13.89 + 70.15 = 84.03 m

उत्तर

d = 84.03 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 20.42 m

समय के दो भाग

½·9.81·t₁² = 343·(2.1 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 720.3 = 0

गिरने का समय

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·720.3))/(2·4.905) = 2.04 s

गहराई

d = ½·9.81·2.04² = 20.42 m

उत्तर

d = 20.42 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 0.5771 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

त्वरण

नेट चालक बल भारों का अंतर है; यह कुल द्रव्यमान को चलाता है।

a = (9 − 8)·9.81/(9 + 8) = 0.5771 m/s²

उत्तर

a = 0.5771 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 1.051 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 6.131)/3.5 = 1.051 m/s²

उत्तर

a = 1.051 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 47.5 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·115/sin 30°) = 47.5 m/s

उत्तर

v₀ = 47.5 m/s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 61.92 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 50° = 12.86 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 50° = 15.32 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 40 + 15.32·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (15.32 + √(234.7 + 784.8))/9.81 = 4.817 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 12.86·4.817 = 61.92 m

उत्तर

x = 61.92 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: W_f = 554.9 J

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

घर्षण बल

N = mg·cos θ = 98.1·0.7071 = 69.37 N

F = μN = 0.4·69.37 = 27.75 N

घर्षण के विरुद्ध कार्य

W_f = F·d = 27.75·20 = 554.9 J

उत्तर

W_f = 554.9 J

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 59.43 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 49.05·(2 − 0.2·1) = 88.29 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 88.29 → x = √(2·88.29/500) = 0.5943 m = 59.43 cm

उत्तर

x = 59.43 cm

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₁ = 2.667 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (5 − 1)/(5 + 1)·4 = 2.667 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1)·4 = 6.667 m/s

उत्तर

v′₁ = 2.667 m/s

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: J = 11.9 N·s

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.35·(5 + 29) = 11.9 N·s

उत्तर

J = 11.9 N·s

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 161.9 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·3 = 161.9 kN

उत्तर

F = 161.9 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 83.43 kN

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.25·3 = 83.43 kN

उत्तर

F = 83.43 kN

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 232 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(200/100)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 9²)/1000 = −37.97 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 270 + (−37.97) = 232 kPa

उत्तर

p₂ = 232 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 260.8 kPa

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(75/25)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 4.5²)/1000 = −10 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 310 + (−10) − 39.24 = 260.8 kPa

उत्तर

p₂ = 260.8 kPa

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 340.2 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 40/16.04 = 2.494 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

दाब

P = nRT/V = 2.494·8.314·328.1/0.02 = 340.2 kPa

उत्तर

P = 340.2 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 14.25 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 288.1 K, T₂ = 513.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(300/750)·(513.1/288.1) = 14.25 L

उत्तर

V₂ = 14.25 L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_H = 10.87 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -18 + 273.15 = 255.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 9·308.1/255.1 = 10.87 kW

उत्तर

Q̇_H = 10.87 kW

निवेश शक्ति: Ẇ = 1.869 kW।

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_L = 421 kW

परम तापमान

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T₀ = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -15 + 273.15 = 258.1 K

इंजन का कार्य

η = 1 − 293.1/1023 = 0.7135

Ẇ = 0.7135·80 = 57.08 kW

रेफ़्रिजरेटर द्वारा निकाली गई ऊष्मा

COP_R = 258.1/(293.1 − 258.1) = 7.376

Q̇_L = 7.376·57.08 = 421 kW

उत्तर

Q̇_L = 421 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f′ = 862.9 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

डॉप्लर सूत्र

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 800·(343 + 0)/(343 − 25)

f′ = 862.9 Hz

उत्तर

f′ = 862.9 Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f_b = 4334 Hz

कार पर आवृत्ति

f′ = 35000·(343 + 20)/343 = 37041 Hz

प्रतिध्वनि की आवृत्ति

f″ = f′·343/(343 − 20) = 39334 Hz

विस्पंद आवृत्ति

f_b = |f″ − f| = 4334 Hz

उत्तर

f_b = 4334 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers