इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

60 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 8 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 60 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 15 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 10 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 10 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 2.5 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 1.6 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 2.5 m/sd = 1.6 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

समतल फ़र्श पर दो गुटके एक हल्की क्षैतिज डोरी से जुड़े हैं। 40 N का एक क्षैतिज बल आगे वाले 3 kg गुटके को खींचता है; 4 kg गुटका पीछे घसीटा जाता है। दोनों गुटकों के लिए गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। जोड़ने वाली डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgF = 40 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 24 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 40 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 24 m/sR = 40 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 45 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 55° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 23 m/sθ = 55°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 1500 kg कार 4° की ढलान पर स्थिर 90 km/h से ऊपर चढ़ती है। वायु प्रतिरोध और लोटनिक प्रतिरोध मिलकर 200 N हैं। पहियों द्वारा दी जाने वाली आवश्यक शक्ति P, kW में ज्ञात कीजिए।

m = 1500 kgθ = 4°F_r = 200 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 1.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.2) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgh = 5 mL = 1.5 mμ = 0.2k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

9 m/s से चल रहा 0.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 4 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद पहले ग्लाइडर का वेग v′₁ ज्ञात कीजिए (उसकी मूल दिशा में धनात्मक)।

m₁ = 0.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 1700 kg कार एक खड़ी 800 kg कार से टकराती है। मलबे आपस में जुड़ जाते हैं और रुकने से पहले 18.5 m फिसलते हैं। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.7 है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से ठीक पहले पहली कार की चाल v₁ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1700 kgm₂ = 800 kgd = 18.5 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 3 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 3 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक ग्लिसरीन वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 3 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 3 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 100 mm से 50 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 400 kPa और वेग 2.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 400 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक क्षैतिज वेंचुरी मीटर (प्रवेश 80 mm, कंठ 40 mm) पानी ले जाता है। प्रवेश और कंठ के बीच जुड़ा पारे का U-नली मैनोमीटर 190 mm का स्तर अंतर दिखाता है। निस्सरण गुणांक 0.95 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। पानी के लिए ρ = 1000 kg/m³, पारे के लिए 13 600 kg/m³ और g = 9.81 m/s² लें।

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmΔh = 190 mmC_d = 0.95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.आदर्श गैस नियममध्यम

30 L की टंकी में 35 °C पर Ar का 400 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 400 gM = 39.95 g/molV = 30 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

CH₄ की एक निश्चित मात्रा 350 kPa, 5 L, 15 °C से 350 kPa और 140 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 350 kPaV₁ = 5 LT₁ = 15 °CP₂ = 350 kPaT₂ = 140 °C

V₂ = L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 525 °C पर गर्म भंडार और 30 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। यह 3300 kJ ऊष्मा लेता है। यह अधिकतम कितना कार्य W_max उत्पन्न कर सकता है, ज्ञात कीजिए।

T_H = 525 °CT_L = 30 °CQ_H = 3300 kJ

W_max = kJ

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

दो कार्नो इंजन श्रेणी में काम करते हैं। इंजन A 750 °C वाले भंडार से ऊष्मा लेता है और तापमान T_m वाले मध्यवर्ती भंडार को ऊष्मा त्यागता है। इंजन B वह सारी ऊष्मा लेता है और 40 °C वाले भंडार को ऊष्मा त्यागता है। दोनों इंजनों की तापीय दक्षता समान है। T_m को °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 750 °CT_L = 40 °C

T_m = °C

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

दोनों सिरों पर बँधी डोरी 0.75 m लंबी है; उस पर तरंगें 80 m/s से चलती हैं। उसके संनादी संख्या 5 की आवृत्ति f₅ ज्ञात करें।

v = 80 m/sn = 5L = 0.75 m

f₅ = Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

एक प्रकाशिक तंतु का क्रोड n₁ = 1.62 का है और आवरण n₂ = 1.57 का। तंतु अक्ष से वह अधिकतम कोण θ_a ज्ञात करें जिस पर हवा से आया प्रकाश तंतु के सिरे में प्रवेश कर पूर्ण आंतरिक परावर्तन द्वारा निर्देशित हो सके।

n₁ = 1.62n₂ = 1.57n₀ = 1.00

θ_a = °

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 17.36 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·8) = 17.36 m

उत्तर

s = 17.36 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 3.044 s

गति का समीकरण

ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।

−15 = 10·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 10·t − 15 = 0

द्विघात समीकरण हल करें

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t = (10 + √(10² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.044 s

उत्तर

t = 3.044 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.1991

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 2.5²/(2·1.6) = 1.953 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.953/9.81 = 0.1991

उत्तर

μ = 0.1991

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 22.86 N

पूरा तंत्र

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (40 − 17.17)/7 = 3.262 m/s²

केवल पिछला गुटका

T = m₁·(a + μ·g) = 4·(3.262 + 2.453) = 22.86 N

उत्तर

T = 22.86 N

दोनों गुटकों पर समान μ होने से घर्षण हट जाता है: T = F·m₁/(m₁ + m₂)।

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 21.47 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·40/24² = 0.6813

कोण

2θ = 42.94° → θ = 21.47°

उत्तर

θ = 21.47°

दूसरा हल 90° − θ = 68.53° है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 72.65 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 55° = 13.19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 55° = 18.84 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 45 + 18.84·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.84 + √(355 + 882.9))/9.81 = 5.507 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 13.19·5.507 = 72.65 m

उत्तर

x = 72.65 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: P = 30.66 kW

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। शक्ति बल गुणा चाल है: P = F·v।

चालक बल

m·g = 1500·9.81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 4° = 1026 N

F = 1026 + 200 = 1226 N

शक्ति

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 1226·25 = 30662 W = 30.66 kW

उत्तर

P = 30.66 kW

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 96.03 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 49.05·(5 − 0.2·1.5) = 230.5 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 230.5 → x = √(2·230.5/500) = 0.9603 m = 96.03 cm

उत्तर

x = 96.03 cm

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₁ = −7 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (0.5 − 4)/(0.5 + 4)·9 = −7 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 4)·9 = 2 m/s

उत्तर

v′₁ = −7 m/s

ऋण चिह्न का अर्थ है कि पहला ग्लाइडर पीछे लौटता है।

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: v₁ = 23.44 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·18.5) = 15.94 m/s

टक्कर में संवेग

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·15.94/1700 = 23.44 m/s

उत्तर

v₁ = 23.44 m/s

(84.39 km/h)

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 51.5 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·1.5 = 51.5 kN

उत्तर

F = 51.5 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 4.373 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.25·3.75 = 197 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 1.5·2.5³/12 = 1.953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.25 + 1.953/(4.25·3.75) = 4.373 m

उत्तर

y_cp = 4.373 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 353.1 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(100/50)² = 10 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 10²)/1000 = −46.88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 400 + (−46.88) = 353.1 kPa

उत्तर

p₂ = 353.1 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 8.45 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

मैनोमीटर से दाबांतर

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.19 = 23485 Pa

कंठ वेग

सांतत्य और बर्नूली मिलकर आदर्श कंठ वेग देते हैं।

β = 40/80 = 0.5

v₂ = √(2·23485/(1000·(1 − 0.0625))) = 7.078 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.95·0.001257·7.078 = 0.00845 m³/s = 8.45 L/s

उत्तर

Q = 8.45 L/s

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 855.1 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 400/39.95 = 10.01 mol

T = 35 + 273.15 = 308.1 K

दाब

P = nRT/V = 10.01·8.314·308.1/0.03 = 855.1 kPa

उत्तर

P = 855.1 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 7.169 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 288.1 K, T₂ = 413.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(350/350)·(413.1/288.1) = 7.169 L

उत्तर

V₂ = 7.169 L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: W_max = 2047 kJ

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 525 + 273.15 = 798.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/798.1 = 62.02 %

अधिकतम कार्य

W_max = η_max·Q_H = 0.6202·3300 = 2047 kJ

उत्तर

W_max = 2047 kJ

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_m = 292.9 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

समान दक्षताएँ

1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m से T_m² = T_H·T_L मिलता है।

T_m = √(1023·313.1) = 566 K = 292.9 °C

उत्तर

T_m = 292.9 °C

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f₅ = 266.7 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

इस विधा की तरंगदैर्ध्य

λ = 2L/n = 2·0.75/5 = 0.3 m

आवृत्ति

f = v/λ = 80/0.3 = 266.7 Hz

उत्तर

f₅ = 266.7 Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ_a = 23.54 °

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

आवरण पर क्रांतिक कोण

sin θc = 1.57/1.62 = 0.9691 → θc = 75.73°

संख्यात्मक द्वारक

NA = √(1.62² − 1.57²) = 0.3994

स्वीकृति कोण

θ_a = arcsin(0.3994) = 23.54°

उत्तर

θ_a = 23.54°

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