इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

एक विमान विराम से शुरू होकर रनवे पर 3.5 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होता है। 600 m के बाद इसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

v₀ = 0a = 3.5 m/s²s = 600 m

v = m/s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 5 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 20 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 20 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

9 kg का एक गुटका क्षैतिज से 20° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 9 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

एक गुटके को धक्का दिया जाता है ताकि वह 15° के रैंप पर 11.5 m/s की चाल से ऊपर फिसलना शुरू करे। गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। रुकने से पहले यह रैंप पर कितनी दूर d फिसलता है?

v₀ = 11.5 m/sθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 50° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 35 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 50°R = 35 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 45 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 40° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 23 m/sθ = 40°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

समतल सड़क पर 120 km/h से चल रही एक कार ज़ोर से ब्रेक लगाती है और पहिए जाम होकर फिसलते हुए रुक जाती है। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.7 है। रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v = 120 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

1 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 2.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 2.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.2) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 1000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgh = 2.5 mL = 2.5 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

3 m/s से चल रहा 1 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 4.5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

0.4 kg की एक गेंद 9 m/s से दीवार से टकराती है और 7 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 10 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण J ज्ञात कीजिए।

m = 0.4 kgv_in = 9 m/sv_out = 7 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2.5 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक बड़ी खुली टंकी से 50 mm व्यास वाले तीक्ष्ण-धार छिद्र (ऑरिफ़िस) से निकलता है। जल स्तर छिद्र से 3 m ऊपर बनाए रखा जाता है और निस्सरण गुणांक 0.63 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। g = 9.81 m/s² लें।

d = 50 mmh = 3 mC_d = 0.63g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 150 mm से 40 mm तक संकरा होता है और 6 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 280 kPa और वेग 1 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 150 mmd₂ = 40 mmp₁ = 280 kPav₁ = 1 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

750 kPa और 90 °C पर CO₂ का 340 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 340 gM = 44.01 g/molP = 750 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.आदर्श गैस नियमकठिन

O₂ की एक निश्चित मात्रा 400 kPa, 2 L, 30 °C से 650 kPa और 70 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 400 kPaV₁ = 2 LT₁ = 30 °CP₂ = 650 kPaT₂ = 70 °C

V₂ = L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय (कार्नो) ऊष्मा इंजन 775 °C वाले भंडार से प्रति चक्र 1700 kJ ऊष्मा लेता है और 540 kJ त्यागता है। ठंडे भंडार का तापमान T_L °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 775 °CQ_H = 1700 kJQ_L = 540 kJ

T_L = °C

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा इंजन प्रति चक्र 350 °C वाले भंडार से 2900 kJ ऊष्मा लेता है, 1218 kJ कार्य उत्पन्न करता है और शेष को 25 °C वाले भंडार को त्यागता है। प्रति चक्र उत्पन्न कुल एन्ट्रॉपी S_gen ज्ञात कीजिए।

T_H = 350 °CT_L = 25 °CQ_H = 2900 kJW = 1218 kJ

S_gen = kJ/K

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

दोनों सिरों पर खुली नली का मूल (प्रथम संनादी) 114 Hz पर होना चाहिए। ध्वनि की चाल 343 m/s है। नली की लंबाई L ज्ञात करें।

v = 343 m/sn = 1f₁ = 114 Hz

L = m

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

दो पतले लेंस एक ही अक्ष पर 40 cm की दूरी पर हैं: लेंस 1 की f₁ = 12 cm और लेंस 2 की f₂ = −15 cm है। एक वस्तु लेंस 1 के सामने 25 cm पर है। अंतिम प्रतिबिंब की स्थिति d_i2 लेंस 2 से मापकर ज्ञात करें (लेंस 2 के आगे धनात्मक, वास्तविक-धनात्मक परिपाटी)।

f₁ = 12 cmf₂ = −15 cms = 40 cmd_o = 25 cm

d_i2 = cm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: v = 64.81 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

दूरी के बाद चाल

v = √(2·a·s) = √(2·3.5·600) = 64.81 m/s

उत्तर

v = 64.81 m/s

(233.3 km/h)

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 4.314 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

गति का समीकरण

ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।

−5 = 20·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 20·t − 5 = 0

द्विघात समीकरण हल करें

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t = (20 + √(20² + 2·9.81·5))/9.81 = 4.314 s

उत्तर

t = 4.314 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 1.972 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 20° − 0.15·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.141) = 1.972 m/s²

उत्तर

a = 1.972 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: d = 14.91 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

दोनों बल ढलान के नीचे की ओर हैं; द्रव्यमान कट जाता है।

a = 9.81·(sin 15° + 0.2·cos 15°) = 4.434 m/s²

दूरी

d = v₀²/(2a) = 11.5²/(2·4.434) = 14.91 m

उत्तर

d = 14.91 m

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 18.67 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·35/sin 100°) = 18.67 m/s

उत्तर

v₀ = 18.67 m/s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 86.16 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 40° = 17.62 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 40° = 14.78 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 45 + 14.78·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.78 + √(218.6 + 882.9))/9.81 = 4.89 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 17.62·4.89 = 86.16 m

उत्तर

x = 86.16 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: d = 80.9 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

मूल इकाइयों में चाल

v = 120/3.6 = 33.33 m/s

ऊर्जा संतुलन

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33.33²/(2·0.7·9.81) = 80.9 m

उत्तर

d = 80.9 m

चाल दोगुनी करने से रुकने की दूरी चार गुना हो जाती है।

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 19.81 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 9.81·(2.5 − 0.2·2.5) = 19.62 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 19.62 → x = √(2·19.62/1000) = 0.1981 m = 19.81 cm

उत्तर

x = 19.81 cm

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 1.091 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (1 − 4.5)/(1 + 4.5)·3 = −1.909 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 4.5)·3 = 1.091 m/s

उत्तर

v′₂ = 1.091 m/s

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: J = 6.4 N·s

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.4·(7 + 9) = 6.4 N·s

उत्तर

J = 6.4 N·s

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 176.6 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·6 = 176.6 kN

उत्तर

F = 176.6 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 3.308 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·2.25 = 71.74 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.25 + 0.4219/(3.25·2.25) = 3.308 m

उत्तर

y_cp = 3.308 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 9.49 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

आदर्श जेट वेग

√(2gh) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

निस्सरण गुणांक जेट के संकुचन और किनारे पर घर्षण को ध्यान में रखता है।

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.63·0.001963·7.672 = 0.00949 m³/s = 9.49 L/s

उत्तर

Q = 9.49 L/s

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 122.8 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/40)² = 14.06 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 14.06²)/1000 = −98.38 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 280 + (−98.38) − 58.86 = 122.8 kPa

उत्तर

p₂ = 122.8 kPa

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 31.1 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 340/44.01 = 7.726 mol

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

आयतन

V = nRT/P = 7.726·8.314·363.1/750 = 31.1 L

उत्तर

V = 31.1 L

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 1.393 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 303.1 K, T₂ = 343.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(400/650)·(343.1/303.1) = 1.393 L

उत्तर

V₂ = 1.393 L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_L = 59.79 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

स्रोत का परम तापमान

T_H = 775 + 273.15 = 1048 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 1048·540/1700 = 332.9 K = 59.79 °C

उत्तर

T_L = 59.79 °C

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: S_gen = 0.9877 kJ/K

एन्ट्रॉपी उत्पादन: पूरे चक्र में कार्यकारी तरल का कोई नेट एन्ट्रॉपी परिवर्तन नहीं होता। गर्म भंडार Q_H/T_H खोता है और ठंडा भंडार Q_L/T_L पाता है। इनका योग उत्पन्न एन्ट्रॉपी है, जो उत्क्रमणीय चक्र के लिए शून्य और हर वास्तविक चक्र के लिए धनात्मक है।

त्यागी गई ऊष्मा

Q_L = Q_H − W = 2900 − 1218 = 1682 kJ

परम तापमान

T_H = 350 + 273.15 = 623.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

भंडारों के एन्ट्रॉपी परिवर्तन

ΔS_H = −2900/623.1 = −4.654 kJ/K

ΔS_L = 1682/298.1 = 5.641 kJ/K

S_gen = 5.641 − 4.654 = 0.9877 kJ/K

उत्तर

S_gen = 0.9877 kJ/K

S_gen > 0, इसलिए इंजन संभव है पर अनुत्क्रमणीय है।

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: L = 1.504 m

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

तरंगदैर्ध्य

λ = v/f = 343/114 = 3.009 m

लंबाई

L = nλ/2 = 1·3.009/2 = 1.504 m

उत्तर

L = 1.504 m

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: d_i2 = −7.952 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

लेंस 1 का प्रतिबिंब

1/d_i1 = 1/12 − 1/25 → d_i1 = 23.08 cm

लेंस 2 के लिए वस्तु

d_o2 = 40 − 23.08 = 16.92 cm

अंतिम प्रतिबिंब

1/d_i2 = 1/(−15) − 1/16.92 → d_i2 = −7.952 cm

उत्तर

d_i2 = −7.952 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers