इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

80 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 3 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 80 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक मॉडल रॉकेट विराम से सीधे ऊपर प्रक्षेपित किया जाता है। इसका इंजन इसे 3 s तक 38 m/s² का स्थिर ऊर्ध्वमुखी त्वरण देता है, जिसके बाद इंजन बंद हो जाता है और रॉकेट मुक्त रूप से चलता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। रॉकेट द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

a = 38 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक 30 kg स्लेज को क्षैतिज से 40° ऊपर एक रस्सी से 160 N के बल से समतल बर्फ़ पर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। स्लेज का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 30 kgF = 160 Nθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

35° पर झुके रैंप पर एक 5.5 kg गुटका रैंप के शीर्ष पर एक घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से हल्की डोरी द्वारा एक लटकते 7.5 kg द्रव्यमान से जुड़ा है। लटकता द्रव्यमान नीचे चलता है। गुटके और रैंप के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 5.5 kgm₂ = 7.5 kgθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 40 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 50 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 40 m/sR = 50 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 55 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 21 m/s से क्षैतिज से 50° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। चट्टान के आधार पर ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 21 m/sθ = 50°h = 55 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

समतल सड़क पर 120 km/h से चल रही एक कार ज़ोर से ब्रेक लगाती है और पहिए जाम होकर फिसलते हुए रुक जाती है। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.6 है। रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v = 120 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

4 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 4.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 4.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.1) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 800 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 4 kgh = 4.5 mL = 4.5 mμ = 0.1k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

6 m/s से चल रहा 1.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 1 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

0.2 kg की एक गेंद 12 m/s से दीवार से टकराती है और 18 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 50 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल F_avg ज्ञात कीजिए।

m = 0.2 kgv_in = 12 m/sv_out = 18 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 1.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

1 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक तेल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 2 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 100 mm से 75 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 380 kPa और वेग 2.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 380 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

32 mm भीतरी व्यास वाला एक होज़ खुली टंकी से पानी साइफ़न करता है। होज़ का उच्चतम बिंदु C पानी की सतह से 1.5 m ऊपर है, और निकास (हवा में खुला) पानी की सतह से 4.5 m नीचे है। हानियों को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए।

d = 32 mmz_C = +1.5 mz₂ = −4.5 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.आदर्श गैस नियममध्यम

50 L की टंकी में 45 °C पर N₂ का 410 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 410 gM = 28.01 g/molV = 50 LT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

N₂ की एक निश्चित मात्रा 350 kPa, 2 L, 30 °C से 250 kPa और 120 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 350 kPaV₁ = 2 LT₁ = 30 °CP₂ = 250 kPaT₂ = 120 °C

V₂ = L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 775 °C पर गर्म भंडार और 35 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। अधिकतम संभव तापीय दक्षता η_max ज्ञात कीजिए।

T_H = 775 °CT_L = 35 °C

η_max = %

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप -10 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेकर 55 °C वाले तापन तंत्र को 19 kW ऊष्मा देता है। इसका वास्तविक COP इन तापमानों के बीच कार्नो COP का 40% है। इसके द्वारा ली गई विद्युत शक्ति Ẇ ज्ञात कीजिए।

T_H = 55 °CT_L = -10 °Cη_II = 40%Q̇_H = 19 kW

Ẇ = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक छोटा स्रोत ध्वनि को सभी दिशाओं में समान रूप से भेजता है। उससे 5 m पर स्तर 100 dB है। अवशोषण और परावर्तन को अनदेखा करते हुए 10 m पर स्तर β₂ ज्ञात करें।

β₁ = 100 dBr₁ = 5 mr₂ = 10 m

β₂ = dB

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

589 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.15 mm चौड़ी एकल झिरी से गुज़रता है। 1.5 m दूर परदे पर केंद्रीय दीप्त उच्चिष्ठ की चौड़ाई w ज्ञात करें (दोनों ओर के पहले अदीप्त फ्रिंजों के बीच)।

λ = 589 nma = 0.15 mmL = 1.5 m

w = mm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 82.3 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·3) = 82.3 m

उत्तर

s = 82.3 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 833.4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

संचालित चरण

v₁ = 38·3 = 114 m/s

h₁ = ½·38·3² = 171 m

ऊपर की ओर मुक्त उड़ान

शीर्ष पर वेग शून्य है।

Δh = v₁²/(2g) = 114²/(2·9.81) = 662.4 m

h_max = 171 + 662.4 = 833.4 m

उत्तर

h_max = 833.4 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 3.447 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

अभिलंब बल

N = m·g − F·sin θ = 294.3 − 160·sin 40° = 191.5 N

क्षैतिज बल

m·a = F·cos θ − μ·N = 122.6 − 19.15

a = 103.4/30 = 3.447 m/s²

उत्तर

a = 3.447 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 54.08 N

डोरी के साथ बल

m₂·g = 73.58 N

m₁·g·sin θ = 30.95 N

μ·m₁·g·cos θ = 8.839 N

निकाय का त्वरण

a = (73.58 − 30.95 − 8.839)/13 = 2.599 m/s²

लटकते द्रव्यमान से तनाव

m₂·g − T = m₂·a → T = 7.5·(9.81 − 2.599) = 54.08 N

उत्तर

T = 54.08 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 8.926 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·50/40² = 0.3066

कोण

2θ = 17.85° → θ = 8.926°

उत्तर

θ = 8.926°

दूसरा हल 90° − θ = 81.07° है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 68.19 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण चाल

v_y = 21·sin 50° = 16.09 m/s

चट्टान से ऊपर उठान

Δh = v_y²/(2g) = 16.09²/(2·9.81) = 13.19 m

ज़मीन से ऊँचाई

H = 55 + 13.19 = 68.19 m

उत्तर

H = 68.19 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: d = 94.39 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

मूल इकाइयों में चाल

v = 120/3.6 = 33.33 m/s

ऊर्जा संतुलन

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33.33²/(2·0.6·9.81) = 94.39 m

उत्तर

d = 94.39 m

चाल दोगुनी करने से रुकने की दूरी चार गुना हो जाती है।

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 63.03 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 39.24·(4.5 − 0.1·4.5) = 158.9 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 158.9 → x = √(2·158.9/800) = 0.6303 m = 63.03 cm

उत्तर

x = 63.03 cm

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 7.2 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (1.5 − 1)/(1.5 + 1)·6 = 1.2 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 1)·6 = 7.2 m/s

उत्तर

v′₂ = 7.2 m/s

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: F_avg = 120 N

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.2·(18 + 12) = 6 N·s

औसत बल

F_avg = J/Δt = 6/0.05 = 120 N

उत्तर

F_avg = 120 N

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 29.43 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·1.5 = 29.43 kN

उत्तर

F = 29.43 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 3.41 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3.25·2.5 = 70.14 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.25 + 1.302/(3.25·2.5) = 3.41 m

उत्तर

y_cp = 3.41 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 373.2 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(100/75)² = 4.444 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 4.444²)/1000 = −6.752 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 380 + (−6.752) = 373.2 kPa

उत्तर

p₂ = 373.2 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 7.557 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

होज़ में वेग

सतह और निकास दोनों हवा में खुले हैं, इसलिए दाब पद कट जाते हैं।

v = √(2g·4.5) = √(2·9.81·4.5) = 9.396 m/s

प्रवाह दर

Q = A·v = 0.0008042·9.396 = 0.007557 m³/s = 7.557 L/s

उत्तर

Q = 7.557 L/s

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 774.4 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 410/28.01 = 14.64 mol

T = 45 + 273.15 = 318.1 K

दाब

P = nRT/V = 14.64·8.314·318.1/0.05 = 774.4 kPa

उत्तर

P = 774.4 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 3.631 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 303.1 K, T₂ = 393.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(350/250)·(393.1/303.1) = 3.631 L

उत्तर

V₂ = 3.631 L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: η_max = 70.6 %

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 775 + 273.15 = 1048 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308.1/1048 = 70.6 %

उत्तर

η_max = 70.6 %

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ = 9.409 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 55 + 273.15 = 328.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

कार्नो और वास्तविक COP

COP_max = 328.1/(328.1 − 263.1) = 5.048

COP = 0.4·5.048 = 2.019

निवेश शक्ति

Ẇ = Q̇_H/COP = 19/2.019 = 9.409 kW

उत्तर

Ẇ = 9.409 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: β₂ = 93.98 dB

तरंगें: आवर्ती तरंग एक आवर्तकाल में एक तरंगदैर्ध्य चलती है, इसलिए v = fλ, जहाँ T = 1/f। तनी हुई डोरी पर v = √(T/μ), जहाँ T तनाव और μ = m/L प्रति मीटर द्रव्यमान है। 20 °C पर वायु में ध्वनि लगभग 343 m/s से चलती है, निर्वात में प्रकाश c = 3.00 × 10⁸ m/s से। प्रबलता लघुगणकीय पैमाने पर मापी जाती है: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, जहाँ I₀ = 10⁻¹² W/m², इसलिए तीव्रता 10 गुनी होने पर 10 dB जुड़ता है। बिंदु स्रोत अपनी शक्ति P को गोले पर फैलाता है: I = P/(4πr²)।

तीव्रता अनुपात

I₂/I₁ = (5/10)² = 0.25

नया स्तर

β₂ = 100 + 10·log₁₀(0.25) = 93.98 dB

उत्तर

β₂ = 93.98 dB

दूरी का हर दोगुना होना स्तर को लगभग 6 dB घटाता है।

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: w = 11.78 mm

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

पहला अदीप्त फ्रिंज

y₁ = λL/a = 589 × 10⁻⁹·1.5/(0.15 × 10⁻³) = 5.89 mm

केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई

w = 2y₁ = 11.78 mm

उत्तर

w = 11.78 mm

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