इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

60 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 0.5 s है, जिसके बाद कार 7 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 60 km/ht_r = 0.5 sa = −7 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक पत्थर कुएँ में विराम से गिराया जाता है। पत्थर छोड़ने के 2.8 s बाद छपाक की आवाज़ सुनाई देती है। ध्वनि की चाल 343 m/s है; वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। कुएँ की गहराई d ज्ञात कीजिए।

t_total = 2.8 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 2.5 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 1.3 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 2.5 m/sd = 1.3 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

30° पर झुके रैंप पर एक 6 kg गुटका रैंप के शीर्ष पर एक घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से हल्की डोरी द्वारा एक लटकते 10 kg द्रव्यमान से जुड़ा है। लटकता द्रव्यमान नीचे चलता है। गुटके और रैंप के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 6 kgm₂ = 10 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 38 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 50 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 38 m/sR = 50 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 15 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 30 m/s से क्षैतिज से 15° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वह चाल v ज्ञात कीजिए जिससे यह ज़मीन से टकराती है।

v₀ = 30 m/sθ = 15°h = 15 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

समतल सड़क पर 100 km/h से चल रही एक कार ज़ोर से ब्रेक लगाती है और पहिए जाम होकर फिसलते हुए रुक जाती है। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.7 है। रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v = 100 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 1.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 2 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.25) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 5000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgh = 1.5 mL = 2 mμ = 0.25k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

10 m/s से चल रहा 2.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 1.5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद पहले ग्लाइडर का वेग v′₁ ज्ञात कीजिए (उसकी मूल दिशा में धनात्मक)।

m₁ = 2.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

0.1 kg की एक गेंद 16 m/s से दीवार से टकराती है और 7 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 20 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण J ज्ञात कीजिए।

m = 0.1 kgv_in = 16 m/sv_out = 7 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 3 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक तेल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 4 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी के पाइप में एक पिटो-स्थैतिक नली अवरोध दाब और स्थैतिक दाब के बीच 6 kPa का अंतर दिखाती है। सिरे पर पानी का वेग v ज्ञात कीजिए।

p₀ − p = 6 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 100 mm से 40 mm तक संकरा होता है और 9 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 290 kPa और वेग 1.75 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 290 kPav₁ = 1.75 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

20 L की टंकी में 80 °C पर CO₂ का 150 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 150 gM = 44.01 g/molV = 20 LT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.आदर्श गैस नियमकठिन

O₂ की एक निश्चित मात्रा 350 kPa, 10 L, 15 °C से 300 kPa और 210 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 350 kPaV₁ = 10 LT₁ = 15 °CP₂ = 300 kPaT₂ = 210 °C

V₂ = L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 750 °C पर गर्म भंडार और 25 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। यह 1000 kJ ऊष्मा लेता है। यह अधिकतम कितना कार्य W_max उत्पन्न कर सकता है, ज्ञात कीजिए।

T_H = 750 °CT_L = 25 °CQ_H = 1000 kJ

W_max = kJ

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक रेफ़्रिजरेटर 25 °C वाली रसोई में अपने ठंडे भाग को -10 °C पर रखता है, ठंडे भाग से 4 kW ऊष्मा निकालते हुए। न्यूनतम शक्ति निवेश Ẇ_min ज्ञात कीजिए।

T_H = 25 °CT_L = -10 °CQ̇_L = 4 kW

Ẇ_min = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

10 m/s से चलता 400 Hz का एक स्रोत और 15 m/s से चलता एक प्रेक्षक एक-दूसरे के पास आ रहे हैं। ध्वनि की चाल 343 m/s है। प्रेक्षक को सुनाई देने वाली आवृत्ति f′ ज्ञात करें।

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

एक वस्तु 20 cm वक्रता त्रिज्या वाले अवतल दर्पण के सामने 5 cm पर है। आवर्धन m ज्ञात करें (उल्टे प्रतिबिंब के लिए ऋणात्मक)।

d_o = 5 cmR = 20 cm

m =

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 28.17 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 16.67·0.5 = 8.333 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·7) = 19.84 m

कुल

d = 8.333 + 19.84 = 28.17 m

उत्तर

d = 28.17 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 35.65 m

समय के दो भाग

½·9.81·t₁² = 343·(2.8 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 960.4 = 0

गिरने का समय

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·960.4))/(2·4.905) = 2.696 s

गहराई

d = ½·9.81·2.696² = 35.65 m

उत्तर

d = 35.65 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.245

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 2.5²/(2·1.3) = 2.404 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.404/9.81 = 0.245

उत्तर

μ = 0.245

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 63.15 N

डोरी के साथ बल

m₂·g = 98.1 N

m₁·g·sin θ = 29.43 N

μ·m₁·g·cos θ = 12.74 N

निकाय का त्वरण

a = (98.1 − 29.43 − 12.74)/16 = 3.495 m/s²

लटकते द्रव्यमान से तनाव

m₂·g − T = m₂·a → T = 10·(9.81 − 3.495) = 63.15 N

उत्तर

T = 63.15 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 9.929 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·50/38² = 0.3397

कोण

2θ = 19.86° → θ = 9.929°

उत्तर

θ = 9.929°

दूसरा हल 90° − θ = 80.07° है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v = 34.56 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 30·cos 15° = 28.98 m/s

v_y0 = 30·sin 15° = 7.765 m/s

टकराने पर ऊर्ध्वाधर चाल

ऊर्जा या ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = v₀² + 2as।

v_y = √(7.765² + 2·9.81·15) = 18.83 m/s

टकराने की चाल

v = √(28.98² + 18.83²) = 34.56 m/s

उत्तर

v = 34.56 m/s

ऊर्जा से जाँचें: v² = v₀² + 2gh।

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: d = 56.18 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

मूल इकाइयों में चाल

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

ऊर्जा संतुलन

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27.78²/(2·0.7·9.81) = 56.18 m

उत्तर

d = 56.18 m

चाल दोगुनी करने से रुकने की दूरी चार गुना हो जाती है।

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 14.01 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 49.05·(1.5 − 0.25·2) = 49.05 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 49.05 → x = √(2·49.05/5000) = 0.1401 m = 14.01 cm

उत्तर

x = 14.01 cm

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₁ = 2.5 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (2.5 − 1.5)/(2.5 + 1.5)·10 = 2.5 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 1.5)·10 = 12.5 m/s

उत्तर

v′₁ = 2.5 m/s

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: J = 2.3 N·s

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.1·(7 + 16) = 2.3 N·s

उत्तर

J = 2.3 N·s

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 103 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

उत्तर

F = 103 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 259 kN

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·5·6 = 259 kN

उत्तर

F = 259 kN

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: v = 3.464 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

अवरोध बिंदु तक बर्नूली

प्रवाह सिरे पर विराम में आता है, इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा अतिरिक्त दाब के रूप में दिखती है।

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·6000/1000) = 3.464 m/s

उत्तर

v = 3.464 m/s

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 143.4 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(100/40)² = 10.94 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 10.94²)/1000 = −58.28 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 290 + (−58.28) − 88.29 = 143.4 kPa

उत्तर

p₂ = 143.4 kPa

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 500.4 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 150/44.01 = 3.408 mol

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

दाब

P = nRT/V = 3.408·8.314·353.1/0.02 = 500.4 kPa

उत्तर

P = 500.4 kPa

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 19.56 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 288.1 K, T₂ = 483.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(350/300)·(483.1/288.1) = 19.56 L

उत्तर

V₂ = 19.56 L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: W_max = 708.6 kJ

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/1023 = 70.86 %

अधिकतम कार्य

W_max = η_max·Q_H = 0.7086·1000 = 708.6 kJ

उत्तर

W_max = 708.6 kJ

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ_min = 0.532 kW

परम तापमान

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 263.1/(298.1 − 263.1) = 7.519

न्यूनतम शक्ति

सबसे कम कार्य उत्क्रमणीय मशीन को चाहिए, जिसका COP सबसे अधिक है।

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 4/7.519 = 0.532 kW

उत्तर

Ẇ_min = 0.532 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f′ = 430 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

डॉप्लर सूत्र

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 400·(343 + 15)/(343 − 10)

f′ = 430 Hz

उत्तर

f′ = 430 Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: m = 2

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

फोकस दूरी

f = R/2 = 10 cm

दर्पण समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/5

d_i = −10 cm

आवर्धन

m = −(−10)/5 = 2

उत्तर

m = 2

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