इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

80 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 5.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 80 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 15 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 12 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 12 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक 35 kg डिब्बे को ढलान के समांतर बल से क्षैतिज से 20° पर झुके रैंप पर स्थिर चाल से ऊपर धकेला जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। g = 9.81 m/s² लें। धकेलने वाला बल F ज्ञात कीजिए।

m = 35 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.न्यूटन के नियमकठिन

20° पर झुके रैंप पर एक 4 kg गुटका रैंप के शीर्ष पर एक घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से हल्की डोरी द्वारा एक लटकते 6.5 kg द्रव्यमान से जुड़ा है। लटकता द्रव्यमान नीचे चलता है। गुटके और रैंप के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 4 kgm₂ = 6.5 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 65° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 18 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

H = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 40 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 20 m/s से क्षैतिज से 30° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। यह क्षैतिज से नीचे किस कोण α पर ज़मीन से टकराती है?

v₀ = 20 m/sθ = 30°h = 40 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

समतल सड़क पर 30 km/h से चल रही एक कार ज़ोर से ब्रेक लगाती है और पहिए जाम होकर फिसलते हुए रुक जाती है। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.6 है। रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v = 30 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 5 kg गुटका 30° की ढलान के तल पर विराम से शुरू होता है और ढलान के समांतर 35 N के स्थिर बल से ऊपर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। ढलान पर 8 m ऊपर चलने के बाद गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgF = 35 Nθ = 30°μ = 0.1d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

22 m/s से चल रही एक 600 kg कार खड़ी 800 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 600 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 800 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.संवेग और टक्करेंकठिन

0.45 kg की एक गेंद 9 m/s से दीवार से टकराती है और 12 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 20 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल F_avg ज्ञात कीजिए।

m = 0.45 kgv_in = 9 m/sv_out = 12 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 2 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक समुद्री जल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी के पाइप में एक पिटो-स्थैतिक नली अवरोध दाब और स्थैतिक दाब के बीच 7 kPa का अंतर दिखाती है। सिरे पर पानी का वेग v ज्ञात कीजिए।

p₀ − p = 7 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक फ़व्वारे का नोज़ल सीधे ऊपर की ओर है। नोज़ल के ठीक नीचे आपूर्ति पाइप का व्यास 75 mm और गेज दाब 80 kPa है। नोज़ल निकास व्यास 25 mm है, और नोज़ल के आर-पार ऊँचाई अंतर नगण्य है। हानियों और वायु प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई H ज्ञात कीजिए जिस तक जेट नोज़ल से ऊपर उठता है। g = 9.81 m/s² लें।

d₁ = 75 mmp₁ = 80 kPa (गेज)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.आदर्श गैस नियममध्यम

350 kPa और 40 °C पर He का 210 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 210 gM = 4.003 g/molP = 350 kPaT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.आदर्श गैस नियमकठिन

300 kPa और 90 °C पर O₂ का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 32 g/molP = 300 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय रेफ़्रिजरेटर 10 kW ऊष्मा निकालकर एक ठंडे कमरे को 0 °C पर रखता है, और 20 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_H ज्ञात कीजिए जिस पर यह ऊष्मा त्यागता है।

T_L = 0 °CT_H = 20 °CQ̇_L = 10 kW

Q̇_H = kW

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

दो कार्नो इंजन श्रेणी में काम करते हैं। इंजन A 1200 °C वाले भंडार से ऊष्मा लेता है और तापमान T_m वाले मध्यवर्ती भंडार को ऊष्मा त्यागता है। इंजन B वह सारी ऊष्मा लेता है और 10 °C वाले भंडार को ऊष्मा त्यागता है। दोनों इंजन समान कार्य उत्पन्न करते हैं। T_m को °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 1200 °CT_L = 10 °C

T_m = °C

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

दोनों सिरों पर बँधी डोरी का संनादी संख्या 5 200 Hz पर होना चाहिए; उस पर तरंगें 120 m/s से चलती हैं। उसकी लंबाई L ज्ञात करें।

v = 120 m/sn = 5f₅ = 200 Hz

L = m

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

550 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 100 रेखाएँ प्रति मिलीमीटर वाली झरझरी पर समकोण पर पड़ता है। कोटि-3 उच्चिष्ठ का कोण θ₃ ज्ञात करें।

N = 100 mm⁻¹λ = 550 nmm = 3

θ₃ = °

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 44.89 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·5.5) = 44.89 m

उत्तर

s = 44.89 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 3.357 s

गति का समीकरण

ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।

−15 = 12·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 12·t − 15 = 0

द्विघात समीकरण हल करें

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t = (12 + √(12² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.357 s

उत्तर

t = 3.357 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: F = 165.8 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ढलान के अनुदिश बल

स्थिर चाल: बल संतुलित हैं।

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

धकेलने वाला बल

F = 117.4 + 48.4 = 165.8 N

उत्तर

F = 165.8 N

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 4.268 m/s²

डोरी के साथ बल

m₂·g = 63.77 N

m₁·g·sin θ = 13.42 N

μ·m₁·g·cos θ = 5.531 N

निकाय का त्वरण

a = (63.77 − 13.42 − 5.531)/10.5 = 4.268 m/s²

उत्तर

a = 4.268 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 13.56 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 65° = 7.607 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 65° = 16.31 m/s

उच्चतम बिंदु

शीर्ष पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है: v_y² = 2gH।

H = v_y²/(2g) = 16.31²/(2·9.81) = 13.56 m

उत्तर

H = 13.56 m

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: α = 59.79 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 20·cos 30° = 17.32 m/s

v_y0 = 20·sin 30° = 10 m/s

टकराने पर ऊर्ध्वाधर चाल

ऊर्जा या ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = v₀² + 2as।

v_y = √(10² + 2·9.81·40) = 29.75 m/s

टकराने का कोण

tan α = v_y/v_x = 29.75/17.32 → α = 59.79°

उत्तर

α = 59.79°

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: d = 5.899 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

मूल इकाइयों में चाल

v = 30/3.6 = 8.333 m/s

ऊर्जा संतुलन

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 8.333²/(2·0.6·9.81) = 5.899 m

उत्तर

d = 5.899 m

चाल दोगुनी करने से रुकने की दूरी चार गुना हो जाती है।

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 4.464 m/s

ढलान के अनुदिश बल

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

mg·sin θ = 24.52 N

μ·mg·cos θ = 4.248 N

कार्य–ऊर्जा

½mv² = (35 − 28.77)·8 = 49.82 J

v = √(2·49.82/5) = 4.464 m/s

उत्तर

v = 4.464 m/s

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 82971 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·22/1400 = 9.429 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·600·22² = 145200 J

K_after = ½·1400·9.429² = 62229 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 145200 − 62229 = 82971 J

उत्तर

ΔK = 82971 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: F_avg = 472.5 N

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.45·(12 + 9) = 9.45 N·s

औसत बल

F_avg = J/Δt = 9.45/0.02 = 472.5 N

उत्तर

F_avg = 472.5 N

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 239.1 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·7.5 = 239.1 kN

उत्तर

F = 239.1 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 75.41 kN

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.5·3 = 75.41 kN

उत्तर

F = 75.41 kN

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: v = 3.742 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

अवरोध बिंदु तक बर्नूली

प्रवाह सिरे पर विराम में आता है, इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा अतिरिक्त दाब के रूप में दिखती है।

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·7000/1000) = 3.742 m/s

उत्तर

v = 3.742 m/s

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: H = 8.257 m

निकास वेग

β = 25/75 = 0.3333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·80000/(1000·0.9877)) = 12.73 m/s

जेट की ऊँचाई

जेट के साथ बर्नूली: शीर्ष पर वेग शून्य है और दाब फिर से वायुमंडलीय है।

H = v₂²/(2g) = 12.73²/(2·9.81) = 8.257 m

उत्तर

H = 8.257 m

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 390.2 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 210/4.003 = 52.46 mol

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

आयतन

V = nRT/P = 52.46·8.314·313.1/350 = 390.2 L

उत्तर

V = 390.2 L

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 3.18 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

घनत्व

ρ = 300·32/(8.314·363.1) = 3.18 kg/m³

उत्तर

ρ = 3.18 kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_H = 10.73 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 10·293.1/273.1 = 10.73 kW

उत्तर

Q̇_H = 10.73 kW

निवेश शक्ति: Ẇ = 0.7322 kW।

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_m = 605 °C

परम तापमान

T_H = 1200 + 273.15 = 1473 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

समान कार्य

W = Q·(1 − T_low/T_high) और Q/T हर भंडार पर समान है, इसलिए W तापमान गिरावट के समानुपाती है।

T_m = (1473 + 283.1)/2 = 878.2 K = 605 °C

उत्तर

T_m = 605 °C

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: L = 1.5 m

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

तरंगदैर्ध्य

λ = v/f = 120/200 = 0.6 m

लंबाई

L = nλ/2 = 5·0.6/2 = 1.5 m

उत्तर

L = 1.5 m

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: θ₃ = 9.497 °

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

रेखा अंतराल

d = 1/100 mm = 1 × 10⁻⁵ m

झरझरी समीकरण

sin θ = mλ/d = 3·550 × 10⁻⁹/(1 × 10⁻⁵) = 0.165

θ = 9.497°

उत्तर

θ₃ = 9.497°

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