इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

45 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 7.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 45 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

गेंद A को 20 m की ऊँचाई से विराम से गिराया जाता है। उसी क्षण गेंद B को ठीक नीचे ज़मीन से 29 m/s से सीधे ऊपर फेंका जाता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंदें कब मिलती हैं? t ज्ञात कीजिए।

H = 20 mv_0B = 29 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 5.5 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 6.2 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 5.5 m/sd = 6.2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

समतल फ़र्श पर दो गुटके एक हल्की क्षैतिज डोरी से जुड़े हैं। 145 N का एक क्षैतिज बल आगे वाले 6 kg गुटके को खींचता है; 12 kg गुटका पीछे घसीटा जाता है। दोनों गुटकों के लिए गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। जोड़ने वाली डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 12 kgm₂ = 6 kgF = 145 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 45° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 40 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 45°R = 40 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 20 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 50° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 19 m/sθ = 50°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 10 kg गेंद 3 m लंबी हल्की डोरी पर लटकी है। उसे तब तक एक ओर खींचा जाता है जब तक डोरी ऊर्ध्वाधर से 45° न बना ले, और विराम से छोड़ा जाता है। जब गेंद निम्नतम बिंदु से गुज़रती है तब डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgL = 3 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 8 kg गुटका 20° की ढलान के तल पर विराम से शुरू होता है और ढलान के समांतर 75 N के स्थिर बल से ऊपर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। ढलान पर 6 m ऊपर चलने के बाद गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 8 kgF = 75 Nθ = 20°μ = 0.25d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

31 m/s से क्षैतिज रूप से चल रहा एक 9 kg प्रक्षेप्य दो टुकड़ों में फटता है जो उसी रेखा में चलते हैं। 2 kg टुकड़ा 77 m/s से आगे चलता रहता है। 7 kg टुकड़े का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए (मूल दिशा में धनात्मक)।

M = 9 kgu = 31 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 77 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 1000 kg कार एक खड़ी 1600 kg कार से टकराती है। मलबे आपस में जुड़ जाते हैं और रुकने से पहले 14 m फिसलते हैं। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.6 है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से ठीक पहले पहली कार की चाल v₁ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1000 kgm₂ = 1600 kgd = 14 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 3 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक समुद्री जल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 3 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 3 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 75 mm से 50 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 290 kPa और वेग 3 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 290 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 100 mm से 40 mm तक संकरा होता है और 3 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 280 kPa और वेग 2.25 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 280 kPav₁ = 2.25 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

500 kPa और 30 °C पर O₂ का 190 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 190 gM = 32 g/molP = 500 kPaT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.आदर्श गैस नियमकठिन

900 kPa और 70 °C पर O₂ का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 32 g/molP = 900 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय रेफ़्रिजरेटर 1 kW ऊष्मा निकालकर एक ठंडे कमरे को -10 °C पर रखता है, और 35 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_H ज्ञात कीजिए जिस पर यह ऊष्मा त्यागता है।

T_L = -10 °CT_H = 35 °CQ̇_L = 1 kW

Q̇_H = kW

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप 5 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेकर 20 °C वाले तापन तंत्र को 5.5 kW ऊष्मा देता है। इसका वास्तविक COP इन तापमानों के बीच कार्नो COP का 60% है। इसके द्वारा ली गई विद्युत शक्ति Ẇ ज्ञात कीजिए।

T_H = 20 °CT_L = 5 °Cη_II = 60%Q̇_H = 5.5 kW

Ẇ = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

दोनों सिरों पर खुली नली का मूल (प्रथम संनादी) 343 Hz पर होना चाहिए। ध्वनि की चाल 343 m/s है। नली की लंबाई L ज्ञात करें।

v = 343 m/sn = 1f₁ = 343 Hz

L = m

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

450 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.12 mm चौड़ी एकल झिरी से गुज़रता है। 1.5 m दूर परदे पर केंद्रीय दीप्त उच्चिष्ठ की चौड़ाई w ज्ञात करें (दोनों ओर के पहले अदीप्त फ्रिंजों के बीच)।

λ = 450 nma = 0.12 mmL = 1.5 m

w = mm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 10.42 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·7.5) = 10.42 m

उत्तर

s = 10.42 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 0.6897 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

मिलने का समय

ऊपर धनात्मक है, ज़मीन y = 0 है।

20 − ½g·t² = 29·t − ½g·t² → t = 20/29 = 0.6897 s

उत्तर

t = 0.6897 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.2487

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 5.5²/(2·6.2) = 2.44 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.44/9.81 = 0.2487

उत्तर

μ = 0.2487

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 96.67 N

पूरा तंत्र

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (145 − 52.97)/18 = 5.113 m/s²

केवल पिछला गुटका

T = m₁·(a + μ·g) = 12·(5.113 + 2.943) = 96.67 N

उत्तर

T = 96.67 N

दोनों गुटकों पर समान μ होने से घर्षण हट जाता है: T = F·m₁/(m₁ + m₂)।

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 19.81 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·40/sin 90°) = 19.81 m/s

उत्तर

v₀ = 19.81 m/s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 48.72 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 50° = 12.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 50° = 14.55 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 20 + 14.55·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.55 + √(211.8 + 392.4))/9.81 = 3.989 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 12.21·3.989 = 48.72 m

उत्तर

x = 48.72 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: T = 155.6 N

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।

तल पर चाल

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 45°) = 17.24 m²/s²

तल पर बल

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·17.24/3 = 155.6 N

उत्तर

T = 155.6 N

जाँच: T = mg(3 − 2cos θ) = 155.6 N।

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 6.677 m/s

ढलान के अनुदिश बल

m·g = 8·9.81 = 78.48 N

mg·sin θ = 26.84 N

μ·mg·cos θ = 18.44 N

कार्य–ऊर्जा

½mv² = (75 − 45.28)·6 = 178.3 J

v = √(2·178.3/8) = 6.677 m/s

उत्तर

v = 6.677 m/s

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 17.86 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

पहले का संवेग

p = M·u = 9·31 = 279 kg·m/s

बाद का संवेग

279 = 2·77 + 7·v′₂

v′₂ = (279 − 154)/7 = 17.86 m/s

उत्तर

v′₂ = 17.86 m/s

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: v₁ = 33.38 m/s

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·14) = 12.84 m/s

टक्कर में संवेग

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·12.84/1000 = 33.38 m/s

उत्तर

v₁ = 33.38 m/s

(120.2 km/h)

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 157 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·4 = 157 kN

उत्तर

F = 157 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 3.8 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.75·2.25 = 84.84 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.75 + 0.4219/(3.75·2.25) = 3.8 m

उत्तर

y_cp = 3.8 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 271.7 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/50)² = 6.75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 6.75²)/1000 = −18.28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 290 + (−18.28) = 271.7 kPa

उत्तर

p₂ = 271.7 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 154.2 kPa

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(100/40)² = 14.06 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 14.06²)/1000 = −96.35 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 280 + (−96.35) − 29.43 = 154.2 kPa

उत्तर

p₂ = 154.2 kPa

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 29.93 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 190/32 = 5.938 mol

T = 30 + 273.15 = 303.1 K

आयतन

V = nRT/P = 5.938·8.314·303.1/500 = 29.93 L

उत्तर

V = 29.93 L

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 10.09 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

घनत्व

ρ = 900·32/(8.314·343.1) = 10.09 kg/m³

उत्तर

ρ = 10.09 kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_H = 1.171 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 1·308.1/263.1 = 1.171 kW

उत्तर

Q̇_H = 1.171 kW

निवेश शक्ति: Ẇ = 0.171 kW।

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ = 0.469 kW

परम तापमान

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

कार्नो और वास्तविक COP

COP_max = 293.1/(293.1 − 278.1) = 19.54

COP = 0.6·19.54 = 11.73

निवेश शक्ति

Ẇ = Q̇_H/COP = 5.5/11.73 = 0.469 kW

उत्तर

Ẇ = 0.469 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: L = 0.5 m

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

तरंगदैर्ध्य

λ = v/f = 343/343 = 1 m

लंबाई

L = nλ/2 = 1·1/2 = 0.5 m

उत्तर

L = 0.5 m

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: w = 11.25 mm

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

पहला अदीप्त फ्रिंज

y₁ = λL/a = 450 × 10⁻⁹·1.5/(0.12 × 10⁻³) = 5.625 mm

केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई

w = 2y₁ = 11.25 mm

उत्तर

w = 11.25 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers