इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

72 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 6.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 72 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक ट्राम विराम से शुरू होकर 8 s तक 2 m/s² से त्वरित होती है, फिर 13 s तक स्थिर चाल से चलती है, और अंत में रुकने तक 4 m/s² से ब्रेक लगाती है। कुल यात्रा समय t ज्ञात कीजिए।

a₁ = 2 m/s²t₁ = 8 st₂ = 13 sa₃ = −4 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

9 kg और 5.5 kg के द्रव्यमान एक हल्की, घर्षणरहित घिरनी के दोनों ओर लटके हैं, एक हल्की डोरी से जुड़े। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 9 kgm₂ = 5.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 4 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 6 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। मेज़ घर्षणरहित है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 4 kgm₂ = 6 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 70° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 18 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

H = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 60 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 20° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 32 m/sθ = 20°h = 60 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

10 kg का एक गुटका क्षैतिज से 25° पर झुकी ढलान पर 18 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य W_f ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgθ = 25°μ = 0.1d = 18 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

2.5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 4 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.1) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 5000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 2.5 kgh = 5 mL = 4 mμ = 0.1k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

20 m/s से चल रही एक 1300 kg कार खड़ी 2000 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। मूल गतिज ऊर्जा का कितना प्रतिशत ΔK/K नष्ट होता है?

m₁ = 1300 kgv₁ = 20 m/sm₂ = 2000 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

10.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 1500 kg कार एक खड़ी 2000 kg कार से टकराती है। मलबे आपस में जुड़ जाते हैं और रुकने से पहले 9 m फिसलते हैं। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.75 है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से ठीक पहले पहली कार की चाल v₁ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1500 kgm₂ = 2000 kgd = 9 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 1 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक ग्लिसरीन वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2.5 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 2.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 75 mm से 40 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 110 kPa और वेग 2.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 110 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 100 mm से 40 mm तक संकरा होता है और 6 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 270 kPa और वेग 2.25 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 270 kPav₁ = 2.25 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

200 kPa और 100 °C पर CH₄ का 160 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 160 gM = 16.04 g/molP = 200 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.आदर्श गैस नियमकठिन

450 kPa और 30 °C पर N₂ का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 28.01 g/molP = 450 kPaT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय रेफ़्रिजरेटर 1 kW ऊष्मा निकालकर एक ठंडे कमरे को -25 °C पर रखता है, और 40 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_H ज्ञात कीजिए जिस पर यह ऊष्मा त्यागता है।

T_L = -25 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 1 kW

Q̇_H = kW

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

दो कार्नो इंजन श्रेणी में काम करते हैं। इंजन A 800 °C वाले भंडार से ऊष्मा लेता है और तापमान T_m वाले मध्यवर्ती भंडार को ऊष्मा त्यागता है। इंजन B वह सारी ऊष्मा लेता है और 20 °C वाले भंडार को ऊष्मा त्यागता है। दोनों इंजनों की तापीय दक्षता समान है। T_m को °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 800 °CT_L = 20 °C

T_m = °C

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

दोनों सिरों पर खुली नली 1.5 m लंबी है। ध्वनि की चाल 343 m/s है। उसके संनादी संख्या 5 की आवृत्ति f₅ ज्ञात करें।

v = 343 m/sn = 5L = 1.5 m

f₅ = Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

दो पतले लेंस एक ही अक्ष पर 40 cm की दूरी पर हैं: लेंस 1 की f₁ = 15 cm और लेंस 2 की f₂ = −10 cm है। एक वस्तु लेंस 1 के सामने 12 cm पर है। अंतिम प्रतिबिंब की स्थिति d_i2 लेंस 2 से मापकर ज्ञात करें (लेंस 2 के आगे धनात्मक, वास्तविक-धनात्मक परिपाटी)।

f₁ = 15 cmf₂ = −10 cms = 40 cmd_o = 12 cm

d_i2 = cm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 30.77 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·6.5) = 30.77 m

उत्तर

s = 30.77 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 25 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

अधिकतम चाल

v = a₁·t₁ = 2·8 = 16 m/s

ब्रेकिंग समय

t₃ = v/a₃ = 16/4 = 4 s

कुल समय

t = 8 + 13 + 4 = 25 s

उत्तर

t = 25 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 66.98 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

त्वरण

नेट चालक बल भारों का अंतर है; यह कुल द्रव्यमान को चलाता है।

a = (9 − 5.5)·9.81/(9 + 5.5) = 2.368 m/s²

हल्के द्रव्यमान से तनाव

T − m₂·g = m₂·a → T = 5.5·(9.81 + 2.368) = 66.98 N

उत्तर

T = 66.98 N

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 5.886 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 0)/10 = 5.886 m/s²

उत्तर

a = 5.886 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 14.58 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 70° = 6.156 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 70° = 16.91 m/s

उच्चतम बिंदु

शीर्ष पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है: v_y² = 2gH।

H = v_y²/(2g) = 16.91²/(2·9.81) = 14.58 m

उत्तर

H = 14.58 m

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 143.9 m

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 20° = 30.07 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 20° = 10.94 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 60 + 10.94·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.94 + √(119.8 + 1177))/9.81 = 4.787 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 30.07·4.787 = 143.9 m

उत्तर

x = 143.9 m

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: W_f = 160 J

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

घर्षण बल

N = mg·cos θ = 98.1·0.9063 = 88.91 N

F = μN = 0.1·88.91 = 8.891 N

घर्षण के विरुद्ध कार्य

W_f = F·d = 8.891·18 = 160 J

उत्तर

W_f = 160 J

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 21.24 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 24.53·(5 − 0.1·4) = 112.8 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 112.8 → x = √(2·112.8/5000) = 0.2124 m = 21.24 cm

उत्तर

x = 21.24 cm

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK/K = 60.61 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1300·20/3300 = 7.879 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·1300·20² = 260000 J

K_after = ½·3300·7.879² = 102424 J

नष्ट अंश

ΔK/K = 157576/260000 = 60.61 %

उत्तर

ΔK/K = 60.61 %

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: v₁ = 26.85 m/s

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·9) = 11.51 m/s

टक्कर में संवेग

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3500·11.51/1500 = 26.85 m/s

उत्तर

v₁ = 26.85 m/s

(96.67 km/h)

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 51.5 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·3 = 51.5 kN

उत्तर

F = 51.5 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 3.595 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.5·6 = 259.6 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 2/(3.5·6) = 3.595 m

उत्तर

y_cp = 3.595 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 74.5 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(75/40)² = 8.789 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 8.789²)/1000 = −35.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 110 + (−35.5) = 74.5 kPa

उत्तर

p₂ = 74.5 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 114.8 kPa

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(100/40)² = 14.06 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 14.06²)/1000 = −96.35 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 270 + (−96.35) − 58.86 = 114.8 kPa

उत्तर

p₂ = 114.8 kPa

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 154.7 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 160/16.04 = 9.975 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

आयतन

V = nRT/P = 9.975·8.314·373.1/200 = 154.7 L

उत्तर

V = 154.7 L

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 5.001 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 30 + 273.15 = 303.1 K

घनत्व

ρ = 450·28.01/(8.314·303.1) = 5.001 kg/m³

उत्तर

ρ = 5.001 kg/m³

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_H = 1.262 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 40 + 273.15 = 313.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 1·313.1/248.1 = 1.262 kW

उत्तर

Q̇_H = 1.262 kW

निवेश शक्ति: Ẇ = 0.2619 kW।

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_m = 287.7 °C

परम तापमान

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

समान दक्षताएँ

1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m से T_m² = T_H·T_L मिलता है।

T_m = √(1073·293.1) = 560.9 K = 287.7 °C

उत्तर

T_m = 287.7 °C

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f₅ = 571.7 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

इस विधा की तरंगदैर्ध्य

λ = 2L/n = 2·1.5/5 = 0.6 m

आवृत्ति

f = v/λ = 343/0.6 = 571.7 Hz

उत्तर

f₅ = 571.7 Hz

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: d_i2 = −9.091 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

लेंस 1 का प्रतिबिंब

1/d_i1 = 1/15 − 1/12 → d_i1 = −60 cm

लेंस 2 के लिए वस्तु

d_o2 = 40 − (−60) = 100 cm

अंतिम प्रतिबिंब

1/d_i2 = 1/(−10) − 1/100 → d_i2 = −9.091 cm

उत्तर

d_i2 = −9.091 cm

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