इंजीनियरिंग भौतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

स्थिर 18 m/s से तेज़ चल रही एक कार खड़ी पुलिस कार के पास से गुज़रती है। उसी क्षण पुलिस कार चल पड़ती है और 2 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होती है। पुलिस कार अपने प्रारंभिक बिंदु से कितनी दूर पकड़ती है? d ज्ञात कीजिए।

v_car = 18 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 5 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 17 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

v₀ = 17 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

2 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

35° पर झुके रैंप पर एक 2 kg गुटका रैंप के शीर्ष पर एक घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से हल्की डोरी द्वारा एक लटकते 7 kg द्रव्यमान से जुड़ा है। लटकता द्रव्यमान नीचे चलता है। गुटके और रैंप के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 2 kgm₂ = 7 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 26 m/s से क्षैतिज से 30° ऊपर 12 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 26 m/sθ = 30°x = 12 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 55 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 50° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 25 m/sθ = 50°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक खिलौना प्रक्षेपक में 2000 N/m कठोरता वाला ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग है। उस पर 0.5 kg गेंद रखी जाती है और स्प्रिंग को 4 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। वायु प्रतिरोध और स्प्रिंग के द्रव्यमान को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई h ज्ञात कीजिए जिस तक गेंद उठती है, स्प्रिंग संपीडित होने पर उसकी स्थिति से मापकर।

m = 0.5 kgk = 2000 N/mx = 4 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.कार्य और ऊर्जाकठिन

2.5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 3.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 2 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.15) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 1000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग तक पहुँचने पर गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 2.5 kgh = 3.5 mL = 2 mμ = 0.15k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.संवेग और टक्करेंमध्यम

7 m/s से चल रहा 1 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 2 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1 kgm₂ = 2 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.संवेग और टक्करेंकठिन

0.45 kg की एक गेंद 16 m/s से दीवार से टकराती है और 20 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 10 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल F_avg ज्ञात कीजिए।

m = 0.45 kgv_in = 16 m/sv_out = 20 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

11.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 1 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.द्रवस्थैतिक बलकठिन

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 2 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 100 mm से 40 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 370 kPa और वेग 1.75 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 370 kPav₁ = 1.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

50 mm भीतरी व्यास वाला एक होज़ खुली टंकी से पानी साइफ़न करता है। होज़ का उच्चतम बिंदु C पानी की सतह से 0.5 m ऊपर है, और निकास (हवा में खुला) पानी की सतह से 3.5 m नीचे है। हानियों को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। बिंदु C पर परम दाब p_C ज्ञात कीजिए। वायुमंडलीय दाब 101.3 kPa है।

d = 50 mmz_C = +0.5 mz₂ = −3.5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.आदर्श गैस नियममध्यम

700 kPa और 75 °C पर He का 290 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 290 gM = 4.003 g/molP = 700 kPaT = 75 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.आदर्श गैस नियमकठिन

CO₂ की एक निश्चित मात्रा 400 kPa, 10 L, 35 °C से 750 kPa और 90 °C पर जाती है। नया आयतन V₂ ज्ञात कीजिए।

P₁ = 400 kPaV₁ = 10 LT₁ = 35 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 90 °C

V₂ = L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय (कार्नो) ऊष्मा इंजन 225 °C वाले भंडार से प्रति चक्र 3500 kJ ऊष्मा लेता है और 2130 kJ त्यागता है। ठंडे भंडार का तापमान T_L °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 225 °CQ_H = 3500 kJQ_L = 2130 kJ

T_L = °C

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप बाहर 5 °C होने पर घर को 20 °C पर रखता है, और घर को 4 kW ऊष्मा देता है। न्यूनतम शक्ति निवेश Ẇ_min ज्ञात कीजिए।

T_H = 20 °CT_L = 5 °CQ̇_H = 4 kW

Ẇ_min = kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक वस्तु 25 cm फोकस दूरी वाले पतले अभिसारी लेंस के सामने 40 cm पर रखी है। प्रतिबिंब दूरी d_i ज्ञात करें। चिह्न परिपाटी 1/f = 1/d_o + 1/d_i का उपयोग करें (अपसारी लेंस के लिए f < 0, आभासी प्रतिबिंब के लिए d_i < 0)।

d_o = 40 cmf = 25 cm

d_i = cm

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

450 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.08 mm चौड़ी एकल झिरी से गुज़रता है। 2.5 m दूर परदे पर केंद्रीय दीप्त उच्चिष्ठ की चौड़ाई w ज्ञात करें (दोनों ओर के पहले अदीप्त फ्रिंजों के बीच)।

λ = 450 nma = 0.08 mmL = 2.5 m

w = mm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 324 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

समान दूरियाँ

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·18/2 = 18 s

दूरी

d = v·t = 18·18 = 324 m

उत्तर

d = 324 m

उस क्षण पुलिस कार 2v = 36 m/s से चलती है।

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 19.73 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

छत के ऊपर उठान

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9.81) = 14.73 m

ज़मीन से ऊँचाई

h_max = 5 + 14.73 = 19.73 m

उत्तर

h_max = 19.73 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 2.781 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 30° − 0.25·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2165) = 2.781 m/s²

उत्तर

a = 2.781 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 6.112 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

डोरी के साथ बल

m₂·g = 68.67 N

m₁·g·sin θ = 11.25 N

μ·m₁·g·cos θ = 2.411 N

निकाय का त्वरण

a = (68.67 − 11.25 − 2.411)/9 = 6.112 m/s²

उत्तर

a = 6.112 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 5.535 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 26·cos 30° = 22.52 m/s

t = x/v_x = 12/22.52 = 0.5329 s

उस समय ऊँचाई

y = 13·0.5329 − ½·9.81·0.5329² = 5.535 m

उत्तर

y = 5.535 m

दीवार पर गेंद अभी ऊपर उठ रही है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 5.828 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 50° = 16.07 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 50° = 19.15 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 55 + 19.15·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19.15 + √(366.8 + 1079))/9.81 = 5.828 s

उत्तर

t = 5.828 s

7.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: h = 0.3262 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 4 cm = 0.04 m

½kx² = ½·2000·0.04² = 1.6 J

ऊँचाई

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

h = ½kx²/(mg) = 1.6/4.905 = 0.3262 m

उत्तर

h = 0.3262 m

8.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 7.924 m/s

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 24.53·(3.5 − 0.15·2) = 78.48 J

स्प्रिंग पर चाल

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.2) = 7.924 m/s

उत्तर

v = 7.924 m/s

9.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 4.667 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (1 − 2)/(1 + 2)·7 = −2.333 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 2)·7 = 4.667 m/s

उत्तर

v′₂ = 4.667 m/s

10.संवेग और टक्करें

उत्तर: F_avg = 1620 N

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.45·(20 + 16) = 16.2 N·s

औसत बल

F_avg = J/Δt = 16.2/0.01 = 1620 N

उत्तर

F_avg = 1620 N

11.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 22.07 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·1.5 = 22.07 kN

उत्तर

F = 22.07 kN

12.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 2.818 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·2.25 = 60.7 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 0.4219/(2.75·2.25) = 2.818 m

उत्तर

y_cp = 2.818 m

13.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 311.7 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(100/40)² = 10.94 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 10.94²)/1000 = −58.28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 370 + (−58.28) = 311.7 kPa

उत्तर

p₂ = 311.7 kPa

14.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p_C = 62.06 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

होज़ में वेग

सतह और निकास दोनों हवा में खुले हैं, इसलिए दाब पद कट जाते हैं।

v = √(2g·3.5) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

सतह से C तक बर्नूली

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(8.287²/2 + 9.81·0.5)/1000 = 101.3 − 39.24 = 62.06 kPa

उत्तर

p_C = 62.06 kPa

यदि यह दाब पानी के वाष्प दाब तक गिर जाए, तो साइफ़न काम करना बंद कर देता है।

15.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 299.6 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 290/4.003 = 72.45 mol

T = 75 + 273.15 = 348.1 K

आयतन

V = nRT/P = 72.45·8.314·348.1/700 = 299.6 L

उत्तर

V = 299.6 L

16.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V₂ = 6.285 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂।

परम तापमान

T₁ = 308.1 K, T₂ = 363.1 K

संयुक्त गैस नियम

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(400/750)·(363.1/308.1) = 6.285 L

उत्तर

V₂ = 6.285 L

17.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_L = 30.01 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

स्रोत का परम तापमान

T_H = 225 + 273.15 = 498.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 498.1·2130/3500 = 303.2 K = 30.01 °C

उत्तर

T_L = 30.01 °C

18.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ_min = 0.2047 kW

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 278.1) = 19.54

न्यूनतम शक्ति

सबसे कम कार्य उत्क्रमणीय मशीन को चाहिए, जिसका COP सबसे अधिक है।

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 4/19.54 = 0.2047 kW

उत्तर

Ẇ_min = 0.2047 kW

19.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: d_i = 66.67 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

पतले लेंस का समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/40

d_i = 66.67 cm

किरण आरेख

वास्तविक, लेंस के दूसरी ओर

उत्तर

d_i = 66.67 cm

20.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: w = 28.12 mm

व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।

पहला अदीप्त फ्रिंज

y₁ = λL/a = 450 × 10⁻⁹·2.5/(0.08 × 10⁻³) = 14.06 mm

केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई

w = 2y₁ = 28.12 mm

उत्तर

w = 28.12 mm

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