मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

पूर्णतः सामान्य बंटन (normal distribution) में:

  1. Aमाध्य, माध्यिका और बहुलक बराबर होते हैं
  2. Bअधिकांश अंक पुच्छों में होते हैं
  3. Cबहुलक सबसे कम अंक होता है
  4. Dमाध्य हमेशा माध्यिका से बड़ा होता है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

व्याख्यात्मक परिघटनात्मक विश्लेषण (IPA) का मुख्य उद्देश्य क्या है?

  1. Aपाठों में शब्दों की आवृत्ति गिनना
  2. Bबड़े प्रतिदर्शों के साथ कारण-संबंधी परिकल्पनाओं का परीक्षण
  3. Cयह जानना कि व्यक्ति अपने जिए हुए अनुभवों का अर्थ कैसे निकालते हैं
  4. Dप्रतिक्रिया समय को सटीक रूप से मापना
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
152025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 14, 29, 56, 35, 42, 52।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 76 से अधिक है?

μ = 60σ = 8x = 76
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.110.2520.130.2540.3μ = 2.4

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.25, 0.1, 0.25, 0.3
σ =
6.प्रायिकताकठिन
n = 6, p = 0.2: P(X = 3) = ?k0123456

एक परीक्षा में 6 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.2 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 3 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 6p = 0.2k = 3
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123z−z और z के बीच छायांकित क्षेत्रफल = 0.9684

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.9684 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.9684
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
557085100115130145अंकऊपर 15%

IQ अंक औसत 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 15% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 100 अंकσ = 15 अंक15%
x = अंक
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 16, s = 12.5LU = ?x̄ = 106E90%

16 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 106 और मानक विचलन s = 12.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 16x̄ = 106s = 12.590%t(15) = 1.753
ऊपरी सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 25σ = ?Us = 11.295%

25 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 11.2 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 24 के साथ χ² बंटन का 2.5% 12.401 से नीचे और 2.5% 39.364 से ऊपर है।

n = 25s = 11.2 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −2.06402.064

25 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 199.1 और प्रतिदर्श मानक विचलन 5 है। H₀: μ = 200 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 200x̄ = 199.1s = 5n = 25
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0.01βσ = 10, शक्ति 80%, n = ?

α = 0.01 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 80% शक्ति के साथ माध्य में 5 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 10 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.01शक्ति = 80%δ = 5σ = 10zα = 2.326zβ = 0.842
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy1568176619742194239625110xy15202580100

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 120Σy = 508Σx² = 2470Σy² = 44608Σxy = 10480
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy23944765586510691270xy51040506070x = 5

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 6x = 5
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
बससाइकिलकारकुलछात्र6112340कर्मचारी24312580कुल304248120

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1202 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
उत्तीर्णअनुत्तीर्णकुलआयु 18–302971100आयु 31–50112940आयु 51+5644100कुल96144240dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.05 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2403 × 2α = 0.05
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · माध्य, माध्यिका और बहुलक बराबर होते हैं

यह उत्तर क्यों है

सामान्य बंटन सममित और घंटी के आकार का होता है, इसलिए केंद्रीय प्रवृत्ति के तीनों माप केंद्र पर पड़ते हैं।

उत्तर

A · माध्य, माध्यिका और बहुलक बराबर होते हैं
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · यह जानना कि व्यक्ति अपने जिए हुए अनुभवों का अर्थ कैसे निकालते हैं

यह उत्तर क्यों है

IPA छोटे, समरूप प्रतिदर्शों का गहराई से अध्ययन करता है, यह जाँचते हुए कि प्रतिभागी महत्वपूर्ण अनुभवों की व्याख्या कैसे करते हैं, और शोधकर्ता उनके अर्थ-निर्माण की व्याख्या करता है।

उत्तर

C · यह जानना कि व्यक्ति अपने जिए हुए अनुभवों का अर्थ कैसे निकालते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 15.5

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 228/6 = 38

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−24)² + (−9)² + 18² + (−3)² + 4² + 14² = 1202

मानक विचलन

s = √(1202/5) = 15.5

उत्तर

s = 15.5
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.02275

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(2) = 0.9772
P = 1 − 0.9772 = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275
5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 1.393

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.1 + 1·0.25 + 2·0.1 + 3·0.25 + 4·0.3 = 2.4

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.1 + 1·0.25 + 4·0.1 + 9·0.25 + 16·0.3 = 7.7

प्रसरण

Var(X) = 7.7 − 2.4² = 1.94
σ = √1.94 = 1.393

उत्तर

σ = 1.393
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.08192

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 3) = 20·0.23·0.83 = 20·0.008·0.512 = 0.08192

उत्तर

P = 0.08192
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 2.15

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = (1 + 0.9684)/2 = 0.9842

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.9842 खोजें और z पढ़ें।

z = 2.15

उत्तर

z = 2.15
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 115.6 अंक

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.85

सारणी से z

z ≈ 1.04

मूल इकाइयों में वापस

x = 100 + 1.04·15 = 115.6 अंक

उत्तर

x = 115.6 अंक
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 111.5

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 15, t = 1.753

त्रुटि सीमा

E = 1.753·12.5/√16 = 5.478

अंतराल

106 ± 5.478 → [100.5, 111.5]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 111.5
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 8.745 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 24·11.2² = 3011

σ² की सीमाएँ

3011/39.364 = 76.48
3011/12.401 = 242.8

σ की सीमा

σ = √76.48 = 8.745 µm

उत्तर

σ = 8.745 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [8.745, 15.58] µm।

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −0.9

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

परीक्षण सांख्यिकी

t = (199.1 − 200)/1 = −0.9

उत्तर

t = −0.9
t0.025; df = 24 = 2.064

|t| < 2.064, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 41

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((2.326 + 0.842)·10/5)² = 40.14

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 41

उत्तर

n = 41
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.957

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 10480 − 120·508/6 = 320
Sxx = 2470 − 120²/6 = 70
Syy = 44608 − 508²/6 = 1597

सहसंबंध गुणांक

r = 320/√(70·1597) = 0.957

उत्तर

r = 0.957
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 50.9

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 345/6 = 57.5

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 231

समाश्रयण रेखा

b = 231/70 = 3.3
a = 57.5 − 3.3·7 = 34.4
ŷ = 34.4 + 3.3·x

पूर्वानुमान

ŷ = 34.4 + 3.3·5 = 50.9

उत्तर

ŷ = 50.9
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 7.958

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

छात्र: 40·30/120 = 10, 40·42/120 = 14, 40·48/120 = 16
कर्मचारी: 80·30/120 = 20, 80·42/120 = 28, 80·48/120 = 32

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (6 − 10)²/10 + (11 − 14)²/14 + (23 − 16)²/16 + (24 − 20)²/20 + (31 − 28)²/28 + (25 − 32)²/32
χ² = 7.958

उत्तर

χ² = 7.958

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 18.31

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

आयु 18–30: 40, 60
आयु 31–50: 16, 24
आयु 51+: 40, 60

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (29 − 40)²/40 + (71 − 60)²/60 + (11 − 16)²/16 + (29 − 24)²/24 + (56 − 40)²/40 + (44 − 60)²/60
χ² = 18.31

निर्णय

df = 2, χ²crit = 5.991
18.31 > 5.991

उत्तर

χ² = 18.31

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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