मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

एक अध्ययन पूर्व-पंजीकृत (preregistered) है। इसका अर्थ है कि:

  1. Aप्रतिभागी अपनी सहमति ऑनलाइन दर्ज करते हैं
  2. Bपरिकल्पनाएँ, विधियाँ और विश्लेषण योजना आँकड़े एकत्र करने से पहले सार्वजनिक रूप से दर्ज की जाती हैं
  3. Cप्रकाशन से पहले परिणामों की जाँच और अनुमोदन एक दूसरे स्वतंत्र सांख्यिकीविद् ने किया
  4. Dअध्ययन पहले ही प्रकाशित हो चुका है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता कार्यस्थल तनाव के अध्ययन के लिए प्रश्नावली, साक्षात्कार और अवलोकन का उपयोग करता है, और निष्कर्ष आपस में मेल खाते हैं। इस दृष्टिकोण को क्या कहते हैं?

  1. Aप्रति-संतुलन
  2. Bपुनरावृत्ति
  3. Cस्तरीकरण
  4. Dत्रिकोणीकरण (triangulation)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
1520253035

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 12, 16, 17, 25, 38।

n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

परीक्षा अंक माध्य 100 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 104.8 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 100σ = 12x = 104.8
z =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)10.320.230.3540.0550.1μ = 2.45

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.2, 0.35, 0.05, 0.1
Var(X) =
6.प्रायिकताकठिन
n = 12, p = 0.1: P(X ≤ 1) = ?k0123456789101112

12 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.1 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 12p = 0.1
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
50.585P = ?

परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 50.5 और 85 अंक के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 65σ = 10x1 = 50.5x2 = 85
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
10 g0X − Y?

लाइन 1 के उत्पाद का द्रव्यमान X और लाइन 2 के उत्पाद का Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 500 g और मानक विचलन 8 g है, Y का माध्य 490 g और मानक विचलन 6 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 10, sd​ = 5.80L = ?Ud̄ = −3E99%

10 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य −3 और मानक विचलन 5.8 है। माध्य अंतर के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 10d̄ = −3sd = 5.899%t(9) = 3.25
निचली सीमा = mmHg
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 29, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

समष्टि मानक विचलन 29 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1 हो?

σ = 29E = 199%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.1312.131t = ?df = 15

16 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर 2.93 और अंतरों का मानक विचलन 6.9 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 16d̄ = 2.93sd = 6.9
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
z −1.64501.645

49 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 72.2 है। समष्टि मानक विचलन 15 है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा L ज्ञात करें।

x̄ = 72.2σ = 15n = 4990%
L =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy1640194522642578287631100xy15202530406080100

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy123220319417515611xy2461520ŷ = 22

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 22 का पूर्वानुमान देती है?

n = 6ŷ = 22
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
हाँनहींकुलपुरुष5763120महिलाएँ73340कुल6496160

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1602 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
हाँनहींकुलसंयंत्र A481260संयंत्र B33740संयंत्र C312960कुल11248160dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 1603 × 2α = 0.01
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · परिकल्पनाएँ, विधियाँ और विश्लेषण योजना आँकड़े एकत्र करने से पहले सार्वजनिक रूप से दर्ज की जाती हैं

यह उत्तर क्यों है

पूर्व-पंजीकरण पुष्टिकारी विश्लेषणों को अन्वेषणात्मक विश्लेषणों से अलग करता है और p-hacking तथा HARKing जैसी प्रथाओं को घटाता है।

उत्तर

B · परिकल्पनाएँ, विधियाँ और विश्लेषण योजना आँकड़े एकत्र करने से पहले सार्वजनिक रूप से दर्ज की जाती हैं
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · त्रिकोणीकरण (triangulation)

यह उत्तर क्यों है

त्रिकोणीकरण कई विधियों, स्रोतों या शोधकर्ताओं का उपयोग करता है। उनके बीच सहमति निष्कर्षों की वैधता में विश्वास बढ़ाती है।

उत्तर

D · त्रिकोणीकरण (triangulation)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 10.31

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 108/5 = 21.6

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−9.6)² + (−5.6)² + (−4.6)² + 3.4² + 16.4² = 425.2

मानक विचलन

s = √(425.2/4) = 10.31

उत्तर

s = 10.31
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 0.4

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = (104.8 − 100)/12 = 0.4

उत्तर

z = 0.4
5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 1.548

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.3 + 2·0.2 + 3·0.35 + 4·0.05 + 5·0.1 = 2.45

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.2 + 9·0.35 + 16·0.05 + 25·0.1 = 7.55

प्रसरण

Var(X) = 7.55 − 2.45² = 1.548

उत्तर

Var(X) = 1.548
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.659

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.912 = 0.2824
P(X = 1) = 12·0.1·0.911 = 0.3766

जोड़ें

P = 0.2824 + 0.3766 = 0.659

उत्तर

P = 0.659
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9037

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (50.5 − 65)/10 = −1.45
z₂ = (85 − 65)/10 = 2

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(2) − Φ(−1.45) = 0.9772 − 0.07353 = 0.9037

उत्तर

P = 0.9037
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8413

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

मानकीकृत करें

z = (0 − 10)/10 = −1

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = −8.961 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 9, t = 3.25

त्रुटि सीमा

E = 3.25·5.8/√10 = 5.961

अंतराल

−3 ± 5.961 → [−8.961, 2.961]

उत्तर

निचली सीमा = −8.961 mmHg
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 5581

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (2.576·29/1)² = 5581

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 5581

उत्तर

n = 5581
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.699

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 6.9/√16 = 1.725

परीक्षण सांख्यिकी

t = 2.93/1.725 = 1.699

उत्तर

t = 1.699

df = 15 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.131 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: L = 68.67

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 1.645·15/√49 = 3.525

अंतराल सीमा

L = 72.2 − 3.525 = 68.67

उत्तर

L = 68.67
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9704

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 141/6 = 23.5
ȳ = 403/6 = 67.17

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 610.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2513

सहसंबंध गुणांक

r = 610.5/√(157.5·2513) = 0.9704

उत्तर

r = 0.9704
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 1.455

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 105/6 = 17.5

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38.5

समाश्रयण रेखा

b = −38.5/17.5 = −2.2
a = 17.5 − (−2.2)·3.5 = 25.2
ŷ = 25.2 − 2.2·x

x के लिए हल करें

x = (22 − 25.2)/(−2.2) = 1.455

उत्तर

x = 1.455
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 11.25

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

पुरुष: 120·64/160 = 48, 120·96/160 = 72
महिलाएँ: 40·64/160 = 16, 40·96/160 = 24

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (57 − 48)²/48 + (63 − 72)²/72 + (7 − 16)²/16 + (33 − 24)²/24
χ² = 11.25

उत्तर

χ² = 11.25

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 15.44

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

संयंत्र A: 42, 18
संयंत्र B: 28, 12
संयंत्र C: 42, 18

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (48 − 42)²/42 + (12 − 18)²/18 + (33 − 28)²/28 + (7 − 12)²/12 + (31 − 42)²/42 + (29 − 18)²/18
χ² = 15.44

निर्णय

df = 2, χ²crit = 9.210
15.44 > 9.210

उत्तर

χ² = 15.44

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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