मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

विश्वविद्यालय की जनसंख्या के समान अनुपात में प्रथम, द्वितीय और तृतीय वर्ष के छात्रों वाला प्रतिदर्श पाने के लिए शोधकर्ता को किसका उपयोग करना चाहिए?

  1. Aस्वयंसेवी प्रतिचयन
  2. Bस्तरीकृत प्रतिचयन
  3. Cस्नोबॉल प्रतिचयन
  4. Dअवसर प्रतिचयन
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता तीन या अधिक समूह-माध्यों की तुलना करती है। कई t-परीक्षणों के बजाय एक-मार्गी ANOVA क्यों उपयोग होता है?

  1. AANOVA हमेशा समतुल्य t-परीक्षणों के समूह से बड़े प्रभाव पाता है
  2. Bt-परीक्षण 100 से बड़ी संख्याएँ नहीं संभाल सकते
  3. Cकई t-परीक्षण कुल प्रकार I त्रुटि दर को बढ़ा देते हैं
  4. Dt-परीक्षणों को गुणात्मक आँकड़े चाहिए
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
152025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 53, 45, 23, 13, 55, 21।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 67.2 से अधिक है?

μ = 60σ = 12x = 67.2
P =
5.प्रायिकतामध्यम
लाल: 3नीली: 6

एक थैले में 3 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

3 / 6
P =
6.प्रायिकताकठिन
xp(x)00.3510.3520.3μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 5X + 10। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3Y = 5X + 10
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123zz के दाईं ओर छायांकित क्षेत्रफल = 0.9756

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.9756 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.9756
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
μ = 500x = ?95%

बैटरी जीवनकाल माध्य 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 95% आते हैं (95वाँ शततमक)।

μ = 500σ = 40P = 95%
x = h
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 25, s = 8.5LUx̄ = 111E = ?95%

25 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 111 और मानक विचलन s = 8.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 25x̄ = 111s = 8.595%t(24) = 2.064
E =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₁ − μ₂, t(12) = 3.0550LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 7 प्लॉट, माध्य उपज 30.5 kg, मानक विचलन 7 kg। प्लॉट समूह 2: 7 प्लॉट, माध्य 25 kg, मानक विचलन 7 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n₁ = 7x̄₁ = 30.5s₁ = 7n₂ = 7x̄₂ = 25s₂ = 799%t(12) = 3.055
E = kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.1312.131t = ?df = 15

16 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर −8.83 और अंतरों का मानक विचलन 10.7 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 16d̄ = −8.83sd = 10.7
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 3α = 0.05βσ = 28, शक्ति 80%, n = ?

α = 0.05 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 80% शक्ति के साथ माध्य में 3 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 28 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.05शक्ति = 80%δ = 3σ = 28zα = 1.645zβ = 0.842
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy344450554664770xy46506070

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy2741361982410311236xy510102030x = 5

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (5, 19) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(5, 19)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
कोई दोष नहींमामूलीगंभीरकुलदिन की शिफ़्ट7132040रात की शिफ़्ट255936120कुल327256160

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1602 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

4 पंक्तियों और 4 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.05
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · स्तरीकृत प्रतिचयन

यह उत्तर क्यों है

स्तरीकृत प्रतिचयन उपसमूहों (स्तरों) की पहचान करता है और हर एक से जनसंख्या में उसके आकार के अनुपात में यादृच्छिक प्रतिदर्श लेता है, जिससे प्रतिदर्श अधिक प्रतिनिधि बनता है।

उत्तर

B · स्तरीकृत प्रतिचयन
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · कई t-परीक्षण कुल प्रकार I त्रुटि दर को बढ़ा देते हैं

यह उत्तर क्यों है

कई युग्मवार परीक्षण मिथ्या धनात्मक की संभावना गुणा कर देते हैं। ANOVA सभी समूहों का एक साथ परीक्षण करता है और उसके बाद संशोधित पोस्ट-हॉक परीक्षण किए जाते हैं।

उत्तर

C · कई t-परीक्षण कुल प्रकार I त्रुटि दर को बढ़ा देते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 18.15

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 210/6 = 35

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 18² + 10² + (−12)² + (−22)² + 20² + (−14)² = 1648

मानक विचलन

s = √(1648/5) = 18.15

उत्तर

s = 18.15
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.2743

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 0.6

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743

उत्तर

P = 0.2743
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.08333

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पहली और दूसरी निकासी

P = 3/9 · 2/8 = 6/72 = 0.08333

उत्तर

P = 0.08333
6.प्रायिकता

उत्तर: σY = 4.023

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 0.95, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047

रैखिक परिवर्तन

σY = |5|·0.8047 = 4.023

उत्तर

σY = 4.023

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 5·0.95 + 10 = 14.75।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = −1.97

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.9756 = 0.0244

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.0244 खोजें और z पढ़ें।

z = −1.97

उत्तर

z = −1.97
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 565.8 h

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

वापस x पर

x = 500 + 1.645·40 = 565.8 h

उत्तर

x = 565.8 h
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 3.509

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 24, t = 2.064

त्रुटि सीमा

E = 2.064·8.5/√25 = 3.509

उत्तर

E = 3.509
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 11.43 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

संयुक्त मानक विचलन

sp² = (6·7² + 6·7²)/12 = 49
sp = 7

त्रुटि सीमा

E = 3.055·7·√(1/7 + 1/7) = 11.43

उत्तर

E = 11.43 kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −3.301

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 10.7/√16 = 2.675

परीक्षण सांख्यिकी

t = −8.83/2.675 = −3.301

उत्तर

t = −3.301

df = 15 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.131 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 539

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((1.645 + 0.842)·28/3)² = 538.8

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 539

उत्तर

n = 539
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9914

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 282/5 = 56.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66
Syy = Σ(y − ȳ)² = 443.2

सहसंबंध गुणांक

r = 66/√(10·443.2) = 0.9914

उत्तर

r = 0.9914
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 3.162

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 130/6 = 21.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 204

समाश्रयण रेखा

b = 204/70 = 2.914
a = 21.67 − 2.914·7 = 1.267
ŷ = 1.267 + 2.914·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 1.267 + 2.914·5 = 15.84

अवशिष्ट

e = 19 − 15.84 = 3.162

उत्तर

e = 3.162

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 5.447

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

दिन की शिफ़्ट: 40·32/160 = 8, 40·72/160 = 18, 40·56/160 = 14
रात की शिफ़्ट: 120·32/160 = 24, 120·72/160 = 54, 120·56/160 = 42

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (7 − 8)²/8 + (13 − 18)²/18 + (20 − 14)²/14 + (25 − 24)²/24 + (59 − 54)²/54 + (36 − 42)²/42
χ² = 5.447

उत्तर

χ² = 5.447

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 16.92

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9

तालिका

χ²crit(df = 9, α = 0.05) = 16.919

उत्तर

χ²crit = 16.919

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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