मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

50 के माध्य के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल (confidence interval) 46 से 54 है। सबसे सटीक व्याख्या क्या है?

  1. Aपरिणाम सार्थक नहीं है
  2. Bप्रतिदर्श के 95% व्यक्तिगत प्रतिभागियों ने इस माप पर 46 और 54 के बीच अंक प्राप्त किए
  3. Cप्रयुक्त प्रक्रिया ऐसे अंतराल बनाती है जिनमें 95% बार वास्तविक माध्य होता है
  4. D95% संभावना है कि प्रतिदर्श माध्य 50 है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

किसी अध्ययन में प्रतिदर्श का आकार बढ़ाने से सबसे सीधे क्या होता है?

  1. Aप्रतिदर्श से हर पक्षपात हट जाता है
  2. Bवास्तविक प्रभाव पकड़ने की सांख्यिकीय शक्ति बढ़ती है
  3. Cयदि कोई प्रभाव मौजूद हो तो सांख्यिकीय रूप से सार्थक परिणाम की गारंटी मिलती है
  4. Dप्रभाव का आकार बढ़ता है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
25303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 25, 33, 32, 50, 38, 55।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 70 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 55 से कम है?

μ = 70σ = 10x = 55
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.110.1520.230.3540.2μ = 2.4

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.15, 0.2, 0.35, 0.2
σ =
6.प्रायिकताकठिन
€p(x)−50.79200.2950.01

एक खेल खेलने का मूल्य €5 है। आप प्रायिकता 0.2 से €25 जीतते हैं और प्रायिकता 0.01 से €100; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €5€25: p = 0.2€100: p = 0.01
E(G) = €
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
48 kg46.4 kgT = X₁ + … + X₄?

डिब्बे के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 12 kg और मानक विचलन 0.8 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 4 का कुल द्रव्यमान 46.4 kg से कम है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 4< 46.4 kg
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
10 cm0X − Y?

किसी समूह में पुरुषों की ऊँचाई X और महिलाओं की ऊँचाई Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 180 cm और मानक विचलन 10 cm है, Y का माध्य 170 cm और मानक विचलन 12 cm है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 12, sd​ = 7.50L = ?Ud̄ = 4E99%

12 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 4 और मानक विचलन 7.5 है। माध्य अंतर के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 12d̄ = 4sd = 7.599%t(11) = 3.106
निचली सीमा = mmHg
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 19, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 490%

समष्टि मानक विचलन 19 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 4 हो?

σ = 19E = 490%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.0932.093t = ?df = 19

20 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर 2.41 और अंतरों का मानक विचलन 9 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 20d̄ = 2.41sd = 9
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
z −1.9601.96

100 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 198.8 है। समष्टि मानक विचलन 5 है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा L ज्ञात करें।

x̄ = 198.8σ = 5n = 10095%
L =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy143516391840205422592462xy152025405060

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 114Σy = 289Σx² = 2236Σy² = 14587Σxy = 5700
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy124224322419517xy2420x = 2.5

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (2.5, 24) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(2.5, 24)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
निम्नमध्यमउच्चकुलशहरी10292160ग्रामीण174360120कुल277281180

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1802 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 4 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.05
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · प्रयुक्त प्रक्रिया ऐसे अंतराल बनाती है जिनमें 95% बार वास्तविक माध्य होता है

यह उत्तर क्यों है

95% CI जनसंख्या प्राचल के लिए संभावित मानों का एक परास देता है। बड़े प्रतिदर्शों से मिलने वाले संकरे अंतराल का अर्थ है अधिक परिशुद्ध अनुमान।

उत्तर

C · प्रयुक्त प्रक्रिया ऐसे अंतराल बनाती है जिनमें 95% बार वास्तविक माध्य होता है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · वास्तविक प्रभाव पकड़ने की सांख्यिकीय शक्ति बढ़ती है

यह उत्तर क्यों है

बड़े प्रतिदर्श मानक त्रुटि घटाकर शक्ति बढ़ाते हैं। वे वास्तविक प्रभाव-आकार नहीं बदलते और व्यवस्थित पक्षपात नहीं हटाते।

उत्तर

B · वास्तविक प्रभाव पकड़ने की सांख्यिकीय शक्ति बढ़ती है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 11.48

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 233/6 = 38.83

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−13.83)² + (−5.833)² + (−6.833)² + 11.17² + (−0.8333)² + 16.17² = 658.8

मानक विचलन

s = √(658.8/5) = 11.48

उत्तर

s = 11.48
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.06681

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −1.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681

उत्तर

P = 0.06681
5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 1.241

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.1 + 1·0.15 + 2·0.2 + 3·0.35 + 4·0.2 = 2.4

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.1 + 1·0.15 + 4·0.2 + 9·0.35 + 16·0.2 = 7.3

प्रसरण

Var(X) = 7.3 − 2.4² = 1.54
σ = √1.54 = 1.241

उत्तर

σ = 1.241
6.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 1 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 20 (p = 0.2), 95 (p = 0.01), −5 (p = 0.79)

प्रत्याशित मान

E(G) = 20·0.2 + 95·0.01 − 5·0.79 = 1 €

उत्तर

E(G) = 1 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.1587

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μT = 48 kg, σT = 0.8·√4 = 1.6 kg

मानकीकृत करें

z = (46.4 − 48)/1.6 = −1

प्रायिकता

P = Φ(−1) = 0.1587

उत्तर

P = 0.1587
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7389

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

मानकीकृत करें

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

उत्तर

P = 0.7389
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = −2.725 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 11, t = 3.106

त्रुटि सीमा

E = 3.106·7.5/√12 = 6.725

अंतराल

4 ± 6.725 → [−2.725, 10.72]

उत्तर

निचली सीमा = −2.725 mmHg
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 62

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.645·19/4)² = 61.05

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 62

उत्तर

n = 62
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.198

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 9/√20 = 2.012

परीक्षण सांख्यिकी

t = 2.41/2.012 = 1.198

उत्तर

t = 1.198

df = 19 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.093 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: L = 197.8

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 1.96·5/√100 = 0.98

अंतराल सीमा

L = 198.8 − 0.98 = 197.8

उत्तर

L = 197.8
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9674

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 5700 − 114·289/6 = 209
Sxx = 2236 − 114²/6 = 70
Syy = 14587 − 289²/6 = 666.8

सहसंबंध गुणांक

r = 209/√(70·666.8) = 0.9674

उत्तर

r = 0.9674
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 1.85

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 106/5 = 21.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

समाश्रयण रेखा

b = −19/10 = −1.9
a = 21.2 − (−1.9)·3 = 26.9
ŷ = 26.9 − 1.9·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 26.9 + (−1.9)·2.5 = 22.15

अवशिष्ट

e = 24 − 22.15 = 1.85

उत्तर

e = 1.85

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 3.729

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

शहरी: 60·27/180 = 9, 60·72/180 = 24, 60·81/180 = 27
ग्रामीण: 120·27/180 = 18, 120·72/180 = 48, 120·81/180 = 54

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (10 − 9)²/9 + (29 − 24)²/24 + (21 − 27)²/27 + (17 − 18)²/18 + (43 − 48)²/48 + (60 − 54)²/54
χ² = 3.729

उत्तर

χ² = 3.729

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 5.991

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = 4 − 1 − 1 = 2

तालिका

χ²crit(df = 2, α = 0.05) = 5.991

उत्तर

χ²crit = 5.991

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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