मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

एक शोधकर्ता स्मृति अंकों पर लिंग के प्रभाव का अध्ययन करता है। यह वास्तविक प्रयोग के बजाय अर्ध-प्रयोग (quasi-experiment) क्यों है?

  1. Aकेवल दो स्थितियाँ हैं, और वास्तविक प्रयोग के लिए IV के कम से कम तीन स्तर चाहिए
  2. BDV मापा नहीं जाता
  3. CIV एक पूर्व-विद्यमान विशेषता है, इसलिए प्रतिभागियों को उसमें यादृच्छिक रूप से आवंटित नहीं किया जा सकता
  4. Dअध्ययन प्रयोगशाला में होता है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

कई शोधकर्ता क्यों तर्क देते हैं कि p-मानों को प्रभाव-आकार और विश्वास्यता अंतराल के साथ बताया जाना चाहिए?

  1. Ap-मान यह नहीं दिखाता कि प्रभाव कितना बड़ा या परिशुद्ध है
  2. Bप्रभाव-आकार प्रतिदर्श आकार को सार्थकता के लिए अप्रासंगिक बना देते हैं
  3. Cविश्वास्यता अंतराल केवल गुणात्मक शोध में आवश्यक हैं
  4. Dp-मान परिकल्पना के सत्य होने की प्रायिकता दिखाते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
3540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 53, 35, 40, 58, 33, 56।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 40 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 480 से कम है?

μ = 500σ = 40x = 480
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.3510.320.35μ = 1

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35
Var(X) =
6.प्रायिकताकठिन
€p(x)−30.74120.251470.01

एक खेल खेलने का मूल्य €3 है। आप प्रायिकता 0.25 से €15 जीतते हैं और प्रायिकता 0.01 से €150; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €3€15: p = 0.25€150: p = 0.01
E(G) = €
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
6085.5P = ?

परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 60 और 85.5 अंक के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 65σ = 10x1 = 60x2 = 85.5
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
μ = 65x = ?97.5%

परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 97.5% आते हैं (97.5वाँ शततमक)।

μ = 65σ = 10P = 97.5%
x = अंक
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
x̄E₁ = 5.890%, n = 36x̄E₂ = ?90%, n = 144

ज्ञात σ और 36 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 5.8 है। यदि वही अध्ययन इसके बजाय 144 प्रेक्षणों का उपयोग करे, तो त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

90%n₁ = 36E₁ = 5.8n₂ = 144
E₂ =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 24, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.590%

समष्टि मानक विचलन 24 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2.5 हो?

σ = 24E = 2.590%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −1.9901.99

81 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 52.27 और प्रतिदर्श मानक विचलन 12 है। H₀: μ = 50 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 50x̄ = 52.27s = 12n = 81
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
z −1.64501.645

36 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 49.3 है। समष्टि मानक विचलन 10 है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 49.3σ = 10n = 3690%
U =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy127222317417512xy24152025

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy264126198281033xy510102030x = 7

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (7, 25) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(7, 25)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
हाँनहींकुलपुरुष532780महिलाएँ6753120कुल12080200

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 2002 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 9 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.01 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.01
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · IV एक पूर्व-विद्यमान विशेषता है, इसलिए प्रतिभागियों को उसमें यादृच्छिक रूप से आवंटित नहीं किया जा सकता

यह उत्तर क्यों है

अर्ध-प्रयोग में IV लोगों के बीच स्वाभाविक रूप से होने वाला अंतर है। यादृच्छिक आवंटन के बिना समूहों के बीच अन्य अंतर परिणामों को भ्रमित कर सकते हैं।

उत्तर

C · IV एक पूर्व-विद्यमान विशेषता है, इसलिए प्रतिभागियों को उसमें यादृच्छिक रूप से आवंटित नहीं किया जा सकता
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · p-मान यह नहीं दिखाता कि प्रभाव कितना बड़ा या परिशुद्ध है

यह उत्तर क्यों है

p-मान प्रतिदर्श आकार पर बहुत निर्भर करता है और केवल यह बताता है कि शून्य परिकल्पना के अंतर्गत आँकड़े कितने आश्चर्यजनक हैं। प्रभाव-आकार परिमाण दिखाते हैं और अंतराल परिशुद्धता।

उत्तर

A · p-मान यह नहीं दिखाता कि प्रभाव कितना बड़ा या परिशुद्ध है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 11.13

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 275/6 = 45.83

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 7.167² + (−10.83)² + (−5.833)² + 12.17² + (−12.83)² + 10.17² = 618.8

मानक विचलन

s = √(618.8/5) = 11.13

उत्तर

s = 11.13
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.3085

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −0.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085

उत्तर

P = 0.3085
5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 0.7

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7

प्रसरण

Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7

उत्तर

Var(X) = 0.7
6.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 2.25 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 12 (p = 0.25), 147 (p = 0.01), −3 (p = 0.74)

प्रत्याशित मान

E(G) = 12·0.25 + 147·0.01 − 3·0.74 = 2.25 €

उत्तर

E(G) = 2.25 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.6713

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (60 − 65)/10 = −0.5
z₂ = (85.5 − 65)/10 = 2.05

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(2.05) − Φ(−0.5) = 0.9798 − 0.3085 = 0.6713

उत्तर

P = 0.6713
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 84.6 अंक

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

वापस x पर

x = 65 + 1.96·10 = 84.6 अंक

उत्तर

x = 84.6 अंक
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 2.9

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(36/144) = 0.5

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 5.8·0.5 = 2.9

उत्तर

E₂ = 2.9
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 250

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.645·24/2.5)² = 249.4

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 250

उत्तर

n = 250
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.703

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 12/√81 = 12/9 = 1.333

परीक्षण सांख्यिकी

t = (52.27 − 50)/1.333 = 1.703

उत्तर

t = 1.703
t0.025; df = 80 = 1.99

|t| < 1.99, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 52.04

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 1.645·10/√36 = 2.742

अंतराल सीमा

U = 49.3 + 2.742 = 52.04

उत्तर

U = 52.04
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = −0.9707

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 95/5 = 19

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35
Syy = Σ(y − ȳ)² = 130

सहसंबंध गुणांक

r = −35/√(10·130) = −0.9707

उत्तर

r = −0.9707
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 1.9

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 98/5 = 19.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

समाश्रयण रेखा

b = 140/40 = 3.5
a = 19.6 − 3.5·6 = −1.4
ŷ = −1.4 + 3.5·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = −1.4 + 3.5·7 = 23.1

अवशिष्ट

e = 25 − 23.1 = 1.9

उत्तर

e = 1.9

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 2.17

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

पुरुष: 80·120/200 = 48, 80·80/200 = 32
महिलाएँ: 120·120/200 = 72, 120·80/200 = 48

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (53 − 48)²/48 + (27 − 32)²/32 + (67 − 72)²/72 + (53 − 48)²/48
χ² = 2.17

उत्तर

χ² = 2.17

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 18.48

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = 9 − 1 − 1 = 7

तालिका

χ²crit(df = 7, α = 0.01) = 18.475

उत्तर

χ²crit = 18.475

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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