मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

जब आँकड़े क्रमसूचक हों या स्पष्ट रूप से सामान्य न हों, तो कौन-सा परीक्षण दो स्वतंत्र समूहों की तुलना करता है?

Aकाई-वर्ग परीक्षण
Bमान–व्हिटनी U परीक्षण
Cविलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण
Dस्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक मनोविज्ञान विभाग केवल प्रारंभिक मनोविज्ञान पाठ्यक्रमों से प्रतिभागी भर्ती करता है। आलोचक कहते हैं कि प्रतिदर्श "WEIRD" हैं। इसका क्या अर्थ है?

Aपश्चिमी (Western), शिक्षित (Educated), औद्योगीकृत (Industrialised), समृद्ध (Rich) और लोकतांत्रिक (Democratic) प्रतिदर्श जो सामान्यीकृत नहीं भी हो सकते
Bभारित यादृच्छिक विधियों से भर्ती किए गए प्रतिदर्श
Cऐसे प्रतिदर्श जिनका व्यवहार असामान्य रूप से अजीब है
Dऐसे प्रतिदर्श जो अध्ययनों से जल्दी हट जाते हैं

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 58, 16, 52, 12, 42, 11।

n = 6

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 45 से अधिक है?

μ = 60σ = 10x = 45

P =

5.प्रायिकतामध्यम

15 लोगों के समूह से 5 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।

n = 15k = 5

N =

6.प्रायिकताकठिन

11 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.2 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 11p = 0.2

P =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

IQ अंक माध्य 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 70 और 127.75 अंक के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 100σ = 15x₁ = 70x₂ = 127.75

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

डिलीवरी समय माध्य 32 min और मानक विचलन 6 min के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 80% आते हैं (80वाँ शततमक)।

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

7 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 36.5 और मानक विचलन s = 7.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 7x̄ = 36.5s = 7.595%t(6) = 2.447

निचली सीमा =

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 34 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 3 हो?

σ = 34E = 390%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

एक समष्टि का माध्य 120 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 32 ज्ञात है। 64 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 124.32 है। H₀: μ = 120 बनाम H₁: μ > 120 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 120σ = 32n = 64x̄ = 124.32H₁: μ > μ₀

p =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

H₀: μ = 50 बनाम H₁: μ < 50 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.01 पर 64 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 12 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 47.45 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 50μ = 47.45σ = 12n = 64α = 0.01

1 − β = %

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5

r² =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 41 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 41

x =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “शहरी, निम्न” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 74स्तंभ योग = 22N = 126

E =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 4 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.01 पर क्रांतिक मान χ²_crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.01

χ²_crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · मान–व्हिटनी U परीक्षण

यह उत्तर क्यों है

मान–व्हिटनी U परीक्षण दो असंबंधित समूहों के बीच कोटियों की तुलना करता है। विलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण संबंधित प्रतिदर्शों के लिए है।

उत्तर

B · मान–व्हिटनी U परीक्षण

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · पश्चिमी (Western), शिक्षित (Educated), औद्योगीकृत (Industrialised), समृद्ध (Rich) और लोकतांत्रिक (Democratic) प्रतिदर्श जो सामान्यीकृत नहीं भी हो सकते

यह उत्तर क्यों है

Henrich और सहयोगियों ने ध्यान दिलाया कि अधिकांश मनोविज्ञान प्रतिभागी WEIRD समाजों से आते हैं, जो मानवता का प्रतिनिधित्व नहीं करते, जिससे जनसंख्या वैधता को ख़तरा है।

उत्तर

A · पश्चिमी (Western), शिक्षित (Educated), औद्योगीकृत (Industrialised), समृद्ध (Rich) और लोकतांत्रिक (Democratic) प्रतिदर्श जो सामान्यीकृत नहीं भी हो सकते

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 21.32

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 191/6 = 31.83

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 26.17² + (−15.83)² + 20.17² + (−19.83)² + 10.17² + (−20.83)² = 2273

मानक विचलन

s = √(2273/5) = 21.32

उत्तर

s = 21.32

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.9332

मानकीकृत करें

z = −1.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 1 − 0.06681 = 0.9332

उत्तर

P = 0.9332

5.प्रायिकता

उत्तर: N = 3003

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

संचय

C(15, 5) = (15·14·13·12·11)/(5·4·3·2·1) = 3003

उत्तर

N = 3003

6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.3221

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.8¹¹ = 0.0859

P(X = 1) = 11·0.2·0.8¹⁰ = 0.2362

जोड़ें

P = 0.0859 + 0.2362 = 0.3221

उत्तर

P = 0.3221

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9451

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (70 − 100)/15 = −2

z₂ = (127.75 − 100)/15 = 1.85

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1.85) − Φ(−2) = 0.9678 − 0.02275 = 0.9451

उत्तर

P = 0.9451

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 37.05 min

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

वापस x पर

x = 32 + 0.8416·6 = 37.05 min

उत्तर

x = 37.05 min

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 29.56

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 6, t = 2.447

त्रुटि सीमा

E = 2.447·7.5/√7 = 6.937

अंतराल

36.5 ± 6.937 → [29.56, 43.44]

उत्तर

निचली सीमा = 29.56

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 348

n ज्ञात करें

n = (1.645·34/3)² = 347.6

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 348

उत्तर

n = 348

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.1401

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 32/√64 = 4

z = (124.32 − 120)/4 = 1.08

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(1.08) = 0.8599

1 − Φ(1.08) = 0.1401

p-मान

p = 0.1401

उत्तर

p = 0.1401

p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: 1 − β = 26.57 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 12/√64 = 1.5

x̄_c = 50 − 2.326·1.5 = 46.51

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (46.51 − 47.45)/1.5 = −0.626

शक्ति

शक्ति = P(Z < −0.626) = 26.57%

1 − β = 26.57%

उत्तर

1 − β = 26.57%

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9657

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 115/5 = 23

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 70

निर्धारण गुणांक

r² = −26²/(10·70) = 0.9657

उत्तर

r² = 0.9657

y के विचरण का लगभग 96.57% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 2.509

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 218/5 = 43.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53

समाश्रयण रेखा

b = 53/10 = 5.3

a = 43.6 − 5.3·3 = 27.7

ŷ = 27.7 + 5.3·x

x के लिए हल करें

x = (41 − 27.7)/5.3 = 2.509

उत्तर

x = 2.509

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 12.92

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 74·22/126 = 12.92

उत्तर

E = 12.92

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²_crit = 9.21

स्वातंत्र्य कोटि

df = 4 − 1 − 1 = 2

तालिका

χ²_crit(df = 2, α = 0.01) = 9.210

उत्तर

χ²_crit = 9.210

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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