मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

जब आँकड़े क्रमसूचक हों या स्पष्ट रूप से सामान्य न हों, तो कौन-सा परीक्षण दो स्वतंत्र समूहों की तुलना करता है?

Aस्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण
Bमान–व्हिटनी U परीक्षण
Cकाई-वर्ग परीक्षण
Dविलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक अध्ययन केवल पेशेवर बास्केटबॉल खिलाड़ियों में ऊँचाई और IQ के बीच r = 0.05 सहसंबंध पाता है, हालाँकि सामान्य जनसंख्या में यह अधिक है। कमज़ोर सहसंबंध की सबसे अच्छी व्याख्या क्या है?

Aपरास का प्रतिबंध (restriction of range)
Bमाँग विशेषताएँ
Cमाध्य की ओर प्रतिगमन
DIQ परीक्षणों में छत प्रभाव

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 15, 20, 55, 30, 25।

n = 5

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 170 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 162.5 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 170σ = 15x = 162.5

z =

5.प्रायिकतामध्यम

एक थैले में 5 लाल और 5 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

5 / 5

P =

6.प्रायिकताकठिन

6 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.1 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 6p = 0.1

P =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 12 min और मानक विचलन 1.5 min है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 20 min और मानक विचलन 2 min है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 33.3 min से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 33.3 min

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

IQ अंक औसत 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 10% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 100 अंकσ = 15 अंक10%

x = अंक

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

13 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 4.9 और मानक विचलन 4.2 है। माध्य अंतर के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 13d̄ = 4.9s_d = 4.295%t(12) = 2.179

E = mmHg

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.2 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.03 हो?

p ≈ 0.2E = 0.0390%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

49 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 76.71 और प्रतिदर्श मानक विचलन 5 है। H₀: μ = 75 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 75x̄ = 76.71s = 5n = 49

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

16 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 200.3 है। समष्टि मानक विचलन 5 है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा L ज्ञात करें।

x̄ = 200.3σ = 5n = 1695%

L =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5

r² =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 34 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 34

x =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1002 × 2

χ² =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 4 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 4

df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · मान–व्हिटनी U परीक्षण

यह उत्तर क्यों है

मान–व्हिटनी U परीक्षण दो असंबंधित समूहों के बीच कोटियों की तुलना करता है। विलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण संबंधित प्रतिदर्शों के लिए है।

उत्तर

B · मान–व्हिटनी U परीक्षण

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · परास का प्रतिबंध (restriction of range)

यह उत्तर क्यों है

जब प्रतिदर्श किसी चर के केवल संकरे परास को कवर करता है, तो उससे जुड़े सहसंबंध घट जाते हैं। बास्केटबॉल खिलाड़ी सभी लंबे हैं, इसलिए ऊँचाई में बहुत कम भिन्नता है।

उत्तर

A · परास का प्रतिबंध (restriction of range)

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 15.57

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 145/5 = 29

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−14)² + (−9)² + 26² + 1² + (−4)² = 970

मानक विचलन

s = √(970/4) = 15.57

उत्तर

s = 15.57

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −0.5

मानकीकृत करें

z = (162.5 − 170)/15 = −0.5

उत्तर

z = −0.5

5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.2222

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पहली और दूसरी निकासी

P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0.2222

उत्तर

P = 0.2222

6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.8857

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.9⁶ = 0.5314

P(X = 1) = 6·0.1·0.9⁵ = 0.3543

जोड़ें

P = 0.5314 + 0.3543 = 0.8857

उत्तर

P = 0.8857

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.3015

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

मानकीकृत करें

z = (33.3 − 32)/2.5 = 0.52

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(0.52) = 1 − 0.6985 = 0.3015

उत्तर

P = 0.3015

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 119.2 अंक

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.9

सारणी से z

z ≈ 1.28

मूल इकाइयों में वापस

x = 100 + 1.28·15 = 119.2 अंक

उत्तर

x = 119.2 अंक

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 2.538 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 12, t = 2.179

त्रुटि सीमा

E = 2.179·4.2/√13 = 2.538

उत्तर

E = 2.538 mmHg

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 482

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.645²·0.2·0.8/0.03² = 481.1

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 482

उत्तर

n = 482

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 2.394

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 5/√49 = 5/7 = 0.7143

परीक्षण सांख्यिकी

t = (76.71 − 75)/0.7143 = 2.394

उत्तर

t = 2.394

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: L = 197.9

त्रुटि सीमा

E = 1.96·5/√16 = 2.45

अंतराल सीमा

L = 200.3 − 2.45 = 197.9

उत्तर

L = 197.9

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9724

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 390/5 = 78

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 292

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2192

निर्धारण गुणांक

r² = 292²/(40·2192) = 0.9724

उत्तर

r² = 0.9724

y के विचरण का लगभग 97.24% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 3.571

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 162/5 = 32.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 28

समाश्रयण रेखा

b = 28/10 = 2.8

a = 32.4 − 2.8·3 = 24

ŷ = 24 + 2.8·x

x के लिए हल करें

x = (34 − 24)/2.8 = 3.571

उत्तर

x = 3.571

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 6.25

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

धूम्रपान करने वाले: 40·40/100 = 16, 40·60/100 = 24

धूम्रपान न करने वाले: 60·40/100 = 24, 60·60/100 = 36

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (10 − 16)²/16 + (30 − 24)²/24 + (30 − 24)²/24 + (30 − 36)²/36

χ² = 6.25

उत्तर

χ² = 6.25

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 2

स्वातंत्र्य कोटि

df = 4 − 1 − 1 = 2

उत्तर

df = 2

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