मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

आंतरिक वैधता (internal validity) किसे संदर्भित करती है?

  1. Aक्या निष्कर्ष अध्ययन से परे अन्य जनसंख्याओं, परिस्थितियों और समयों पर सामान्यीकृत होते हैं
  2. Bक्या प्रेक्षित प्रभाव वास्तव में अन्य कारकों के बजाय IV से हुआ
  3. Cक्या प्रतिभागियों को अध्ययन रोचक लगा
  4. Dक्या परीक्षण समय के साथ समान परिणाम देता है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

Milgram के आज्ञापालन अध्ययनों में प्रतिभागियों को विश्वास था कि वे वास्तविक बिजली के झटके दे रहे हैं। कौन-सा नैतिक मुद्दा सबसे सीधे उठता है, और उसका आंशिक समाधान कैसे किया गया?

  1. Aबच्चों का उपयोग, जिसका समाधान माता-पिता की सहमति से किया गया
  2. Bछल और संभावित व्यथा, जिसका समाधान विस्तृत डीब्रीफ़िंग से किया गया
  3. Cगोपनीयता की कमी, जिसका समाधान नाम प्रकाशित करके किया गया
  4. Dनियंत्रण समूह की कमी, जिसका समाधान प्रतिभागियों को स्थितियों में यादृच्छिक रूप से आवंटित करके किया गया
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
2530354045

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 48, 38, 24, 40, 25।

n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 44 से कम है?

μ = 60σ = 8x = 44
P =
5.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2?3?4?5P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 5 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 5
P =
6.प्रायिकताकठिन
xp(x)00.3520.240.260.25μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = −2X + 1। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.2, 0.2, 0.25Y = −2X + 1
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
200 mm199.5 mmX + Y?

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 120 mm और मानक विचलन 0.3 mm है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 80 mm और मानक विचलन 0.4 mm है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 199.5 mm से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 199.5 mm
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
10 cm0X − Y?

किसी समूह में पुरुषों की ऊँचाई X और महिलाओं की ऊँचाई Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 180 cm और मानक विचलन 10 cm है, Y का माध्य 170 cm और मानक विचलन 12 cm है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 16, sd​ = 0.50LUd̄ = 3.8E = ?90%

16 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 3.8 और मानक विचलन 0.5 है। माध्य अंतर के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 16d̄ = 3.8sd = 0.590%t(15) = 1.753
E = mmHg
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 3, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.599%

समष्टि मानक विचलन 3 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.5 हो?

σ = 3E = 0.599%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.1312.131t = ?df = 15

दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 9 छात्र, माध्य अंक 80.5, मानक विचलन 10। समूह 2: 8 छात्र, माध्य अंक 76.7, मानक विचलन 7। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n₁ = 9x̄₁ = 80.5s₁ = 10n₂ = 8x̄₂ = 76.7s₂ = 7
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₀x̄c

H₀: μ = 80 बनाम H₁: μ > 80 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.05 पर 64 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 24 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 83.9 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 80μ = 83.9σ = 24n = 64α = 0.05
1 − β = %
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy3535657709801185xy510607080

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy1770198621104231032512627134xy202580100120140ŷ = 116

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 116 का पूर्वानुमान देती है?

n = 6ŷ = 116
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
सुधार हुआसुधार नहीं हुआकुलनई दवा8119100प्लेसिबो5169120कुल13288220

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 2202 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
उत्तीर्णअनुत्तीर्णकुलसंयंत्र A265480संयंत्र B3169100संयंत्र C93140कुल66154220dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.05 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2203 × 2α = 0.05
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · क्या प्रेक्षित प्रभाव वास्तव में अन्य कारकों के बजाय IV से हुआ

यह उत्तर क्यों है

उच्च आंतरिक वैधता का अर्थ है कि वैकल्पिक व्याख्याएँ, जैसे भ्रामक चर, माँग विशेषताएँ या प्रयोगकर्ता पक्षपात, ख़ारिज कर दी गई हैं। बाह्य वैधता सामान्यीकरण से संबंधित है।

उत्तर

B · क्या प्रेक्षित प्रभाव वास्तव में अन्य कारकों के बजाय IV से हुआ
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · छल और संभावित व्यथा, जिसका समाधान विस्तृत डीब्रीफ़िंग से किया गया

यह उत्तर क्यों है

प्रतिभागियों को झटकों के बारे में धोखा दिया गया और कई ने बहुत तनाव दिखाया। Milgram ने प्रतिभागियों की डीब्रीफ़िंग की और उन्हें "शिक्षार्थी" से मिलवाया; अनुवर्ती अध्ययन में अधिकांश ने भाग लेने पर ख़ुशी जताई, पर नैतिकता पर बहस अब भी जारी है।

उत्तर

B · छल और संभावित व्यथा, जिसका समाधान विस्तृत डीब्रीफ़िंग से किया गया
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 10.3

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 175/5 = 35

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 13² + 3² + (−11)² + 5² + (−10)² = 424

मानक विचलन

s = √(424/4) = 10.3

उत्तर

s = 10.3
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.02275

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.5981

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)5 = 0.4019
P = 1 − 0.4019 = 0.5981

उत्तर

P = 0.5981
6.प्रायिकता

उत्तर: σY = 4.779

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 2.7, Var(X) = 5.71, σX = 2.39

रैखिक परिवर्तन

σY = |−2|·2.39 = 4.779

उत्तर

σY = 4.779

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = −2·2.7 + 1 = −4.4।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8413

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

मानकीकृत करें

z = (199.5 − 200)/0.5 = −1

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7389

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

मानकीकृत करें

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

उत्तर

P = 0.7389
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 0.2191 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 15, t = 1.753

त्रुटि सीमा

E = 1.753·0.5/√16 = 0.2191

उत्तर

E = 0.2191 mmHg
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 239

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (2.576·3/0.5)² = 238.9

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 239

उत्तर

n = 239
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 0.8959

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

संयुक्त प्रसरण

sp² = (8·10² + 7·7²)/15 = 76.2
sp = 8.729

मानक त्रुटि

SE = 8.729·√(1/9 + 1/8) = 4.242

परीक्षण सांख्यिकी

t = (80.5 − 76.7)/4.242 = 0.8959

उत्तर

t = 0.8959

df = 15 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.131 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: 1 − β = 36.5 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 24/√64 = 3
x̄c = 80 + 1.645·3 = 84.94

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (84.94 − 83.9)/3 = 0.345

शक्ति

शक्ति = P(Z > 0.345) = 36.5%
1 − β = 36.5%

उत्तर

1 − β = 36.5%
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9897

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 353/5 = 70.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158
Syy = Σ(y − ȳ)² = 637.2

सहसंबंध गुणांक

r = 158/√(40·637.2) = 0.9897

उत्तर

r = 0.9897
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 23.94

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 623/6 = 103.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 439

समाश्रयण रेखा

b = 439/70 = 6.271
a = 103.8 − 6.271·22 = −34.14
ŷ = −34.14 + 6.271·x

x के लिए हल करें

x = (116 − (−34.14))/6.271 = 23.94

उत्तर

x = 23.94
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 33.69

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

नई दवा: 100·132/220 = 60, 100·88/220 = 40
प्लेसिबो: 120·132/220 = 72, 120·88/220 = 48

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (81 − 60)²/60 + (19 − 40)²/40 + (51 − 72)²/72 + (69 − 48)²/48
χ² = 33.69

उत्तर

χ² = 33.69

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 1.357

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

संयंत्र A: 24, 56
संयंत्र B: 30, 70
संयंत्र C: 12, 28

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (26 − 24)²/24 + (54 − 56)²/56 + (31 − 30)²/30 + (69 − 70)²/70 + (9 − 12)²/12 + (31 − 28)²/28
χ² = 1.357

निर्णय

df = 2, χ²crit = 5.991
1.357 < 5.991

उत्तर

χ² = 1.357

χ² क्रांतिक मान से कम है, इसलिए H₀ अस्वीकृत नहीं है: संबंध का कोई सार्थक प्रमाण नहीं है।

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