मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

दो कोटि-समुच्चयों के बीच संबंध के लिए, जैसे चित्रों की निर्णायकों द्वारा कोटियाँ, कौन-सा सांख्यिकी माप उपयुक्त है?

Aस्पीयरमैन rho
Bस्वतंत्र t-परीक्षण
Cकाई-वर्ग
Dपियर्सन r

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता एक आँकड़ा समुच्चय पर 20 विश्लेषण करता है और केवल p < 0.05 वाला एक प्रस्तुत करता है। इस प्रथा को क्या कहते हैं?

Aपूर्व-पंजीकरण
Bत्रिकोणीकरण (triangulation)
CP-hacking
Dप्रति-संतुलन

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 47, 53, 38, 28, 31, 37, 19।

n = 7

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 170 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 160.4 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 170σ = 12x = 160.4

z =

5.प्रायिकतामध्यम

11 लोगों के समूह से 5 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।

n = 11k = 5

N =

6.प्रायिकताकठिन

एक परीक्षा में 5 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.5 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 4 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 5p = 0.5k = 4

P =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

डिलीवरी समय माध्य 32 min और मानक विचलन 6 min के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 25.1 और 37.1 min के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 32σ = 6x₁ = 25.1x₂ = 37.1

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.04 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.01 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

ज्ञात σ और 64 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 9.6 है। यदि वही अध्ययन इसके बजाय 128 प्रेक्षणों का उपयोग करे, तो त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

95%n₁ = 64E₁ = 9.6n₂ = 128

E₂ =

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 22 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.5 हो?

σ = 22E = 0.599%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

25 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 502.3 और प्रतिदर्श मानक विचलन 4 है। H₀: μ = 500 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 500x̄ = 502.3s = 4n = 25

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1 हो? मानक विचलन 10 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 10E = 195%

n =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 15Σy = 276Σx² = 55Σy² = 15554Σxy = 881

r =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (19, 74) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(19, 74)

e =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “शहरी, उच्च” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 101स्तंभ योग = 71N = 185

E =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

2 पंक्तियों और 3 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

2 × 3

df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · स्पीयरमैन rho

यह उत्तर क्यों है

स्पीयरमैन कोटि सहसंबंध दो कोटिबद्ध या क्रमसूचक चरों के बीच एकदिष्ट (monotonic) संबंध की प्रबलता मापता है।

उत्तर

A · स्पीयरमैन rho

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · P-hacking

यह उत्तर क्यों है

P-hacking सार्थकता पाने के लिए विश्लेषण के लचीलेपन का लाभ उठाता है, जिससे मिथ्या धनात्मक दर 5% से बहुत ऊपर चली जाती है। पूर्व-पंजीकरण और पारदर्शी रिपोर्टिंग इसे घटाते हैं।

उत्तर

C · P-hacking

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 11.5

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 253/7 = 36.14

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 10.86² + 16.86² + 1.857² + (−8.143)² + (−5.143)² + 0.8571² + (−17.14)² = 792.9

मानक विचलन

s = √(792.9/6) = 11.5

उत्तर

s = 11.5

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −0.8

मानकीकृत करें

z = (160.4 − 170)/12 = −0.8

उत्तर

z = −0.8

5.प्रायिकता

उत्तर: N = 462

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

संचय

C(11, 5) = (11·10·9·8·7)/(5·4·3·2·1) = 462

उत्तर

N = 462

6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.1563

द्विपद सूत्र

P(X = 4) = 5·0.5⁴·0.5¹ = 5·0.0625·0.5 = 0.1563

उत्तर

P = 0.1563

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.6773

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (25.1 − 32)/6 = −1.15

z₂ = (37.1 − 32)/6 = 0.85

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(0.85) − Φ(−1.15) = 0.8023 − 0.1251 = 0.6773

उत्तर

P = 0.6773

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9633

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02236 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.04)/0.02236 = −1.79

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.79) = 0.9633

उत्तर

P = 0.9633

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 6.788

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(64/128) = 0.7071

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 9.6·0.7071 = 6.788

उत्तर

E₂ = 6.788

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 12847

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (2.576·22/0.5)² = 12847

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 12847

उत्तर

n = 12847

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 2.875

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 4/√25 = 4/5 = 0.8

परीक्षण सांख्यिकी

t = (502.3 − 500)/0.8 = 2.875

उत्तर

t = 2.875

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 385

n ज्ञात करें

n = (1.96·10/1)² = 384.2

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 385

उत्तर

n = 385

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9387

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 881 − 15·276/5 = 53

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 15554 − 276²/5 = 318.8

सहसंबंध गुणांक

r = 53/√(10·318.8) = 0.9387

उत्तर

r = 0.9387

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 3.905

माध्य

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 472/6 = 78.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 300

समाश्रयण रेखा

b = 300/70 = 4.286

a = 78.67 − 4.286·21 = −11.33

ŷ = −11.33 + 4.286·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = −11.33 + 4.286·19 = 70.1

अवशिष्ट

e = 74 − 70.1 = 3.905

उत्तर

e = 3.905

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 38.76

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 101·71/185 = 38.76

उत्तर

E = 38.76

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 2

स्वातंत्र्य कोटि

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

उत्तर

df = 2

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