मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

अवलोकन में व्यवहार श्रेणियों को आँकड़े एकत्र करने से पहले संक्रियात्मक रूप से परिभाषित क्यों किया जाता है?

  1. Aताकि आँकड़े देखने के बाद परिकल्पना बदली जा सके
  2. Bताकि पर्यवेक्षक एक ही व्यवहार लगातार दर्ज करें, जिससे विश्वसनीयता सुधरे
  3. Cताकि अवलोकन एक प्रयोग बन जाए
  4. Dताकि प्रतिभागी ठीक-ठीक जानें कि क्या दर्ज हो रहा है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

विषयगत (थीमैटिक) विश्लेषण में विश्लेषक मुख्यतः क्या करता है?

  1. Aगुणात्मक आँकड़ों में बार-बार आने वाले अर्थ-पैटर्नों की पहचान करता है
  2. Bहर विषय का माध्य अंक निकालता है ताकि उनकी सांख्यिकीय तुलना हो सके
  3. Cकिसी संख्यात्मक परिकल्पना का परीक्षण करता है
  4. Dकेवल शब्द-आवृत्तियाँ गिनता है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
2025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 20, 45, 58, 45, 26।

n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 90 से अधिक है?

μ = 60σ = 15x = 90
P =
5.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 2 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 2
P =
6.प्रायिकताकठिन
€p(x)−50.69150.32450.01

एक खेल खेलने का मूल्य €5 है। आप प्रायिकता 0.3 से €20 जीतते हैं और प्रायिकता 0.01 से €250; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €5€20: p = 0.3€250: p = 0.01
E(G) = €
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
27.541P = ?

डिलीवरी समय माध्य 32 min और मानक विचलन 6 min के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 27.5 और 41 min के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 32σ = 6x1 = 27.5x2 = 41
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
μ = 32x = ?95%

डिलीवरी समय माध्य 32 min और मानक विचलन 6 min के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 95% आते हैं (95वाँ शततमक)।

μ = 32σ = 6P = 95%
x = min
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 30, s = 16.5LUx̄ = 19E = ?95%

30 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 19 और मानक विचलन s = 16.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 30x̄ = 19s = 16.595%t(29) = 2.045
E =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 16σ = ?Us = 11.195%

16 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 11.1 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 15 के साथ χ² बंटन का 2.5% 6.262 से नीचे और 2.5% 27.488 से ऊपर है।

n = 16s = 11.1 µmχ² = 6.262, 27.488
σ = µm
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−1.71.7p = ?

एक समष्टि का माध्य 50 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 4 ज्ञात है। 64 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 50.85 है। H₀: μ = 50 बनाम H₁: μ ≠ 50 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 50σ = 4n = 64x̄ = 50.85H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.590%

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.5 हो? मानक विचलन 15 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 15E = 0.590%
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy23543664985710631264xy510405060

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 6
r² =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy294216288361045xy5102040x = 3

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (3, 12) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(3, 12)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
निम्नमध्यमउच्चकुलशहरी18233980ग्रामीण363133100कुल545472180

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1802 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
उत्तीर्णअनुत्तीर्णकुलआयु 18–306733100आयु 31–505248100आयु 51+13940कुल120120240dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.05 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2403 × 2α = 0.05
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · ताकि पर्यवेक्षक एक ही व्यवहार लगातार दर्ज करें, जिससे विश्वसनीयता सुधरे

यह उत्तर क्यों है

स्पष्ट, अवलोकनीय श्रेणियाँ (जैसे "खुले हाथ से मारना") व्यक्तिपरक निर्णय घटाती हैं और अंतर-पर्यवेक्षक विश्वसनीयता बढ़ाती हैं।

उत्तर

B · ताकि पर्यवेक्षक एक ही व्यवहार लगातार दर्ज करें, जिससे विश्वसनीयता सुधरे
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · गुणात्मक आँकड़ों में बार-बार आने वाले अर्थ-पैटर्नों की पहचान करता है

यह उत्तर क्यों है

विषयगत विश्लेषण में आँकड़ों से परिचय, कोडिंग, विषय बनाना, उनकी समीक्षा, नामकरण और लेखन शामिल हैं; इसका केंद्र सांख्यिकी के बजाय अर्थ है।

उत्तर

A · गुणात्मक आँकड़ों में बार-बार आने वाले अर्थ-पैटर्नों की पहचान करता है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 15.51

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 194/5 = 38.8

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−18.8)² + 6.2² + 19.2² + 6.2² + (−12.8)² = 962.8

मानक विचलन

s = √(962.8/4) = 15.51

उत्तर

s = 15.51
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.02275

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(2) = 0.9772
P = 1 − 0.9772 = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.3056

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056

उत्तर

P = 0.3056
6.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 3.5 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 15 (p = 0.3), 245 (p = 0.01), −5 (p = 0.69)

प्रत्याशित मान

E(G) = 15·0.3 + 245·0.01 − 5·0.69 = 3.5 €

उत्तर

E(G) = 3.5 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7066

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (27.5 − 32)/6 = −0.75
z₂ = (41 − 32)/6 = 1.5

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1.5) − Φ(−0.75) = 0.9332 − 0.2266 = 0.7066

उत्तर

P = 0.7066
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 41.87 min

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

वापस x पर

x = 32 + 1.645·6 = 41.87 min

उत्तर

x = 41.87 min
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 6.161

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 29, t = 2.045

त्रुटि सीमा

E = 2.045·16.5/√30 = 6.161

उत्तर

E = 6.161
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 8.2 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 15·11.1² = 1848

σ² की सीमाएँ

1848/27.488 = 67.23
1848/6.262 = 295.1

σ की सीमा

σ = √67.23 = 8.2 µm

उत्तर

σ = 8.2 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [8.2, 17.18] µm।

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.08913

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 4/√64 = 0.5
z = (50.85 − 50)/0.5 = 1.7

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(1.7) = 0.9554
1 − Φ(1.7) = 0.0446

p-मान

p = 2·0.0446 = 0.08913

उत्तर

p = 0.08913

p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 2436

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (1.645·15/0.5)² = 2435

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 2436

उत्तर

n = 2436
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9387

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 304/6 = 50.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 234
Syy = Σ(y − ȳ)² = 833.3

निर्धारण गुणांक

r² = 234²/(70·833.3) = 0.9387

उत्तर

r² = 0.9387

y के विचरण का लगभग 93.87% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −2.75

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 139/5 = 27.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 174

समाश्रयण रेखा

b = 174/40 = 4.35
a = 27.8 − 4.35·6 = 1.7
ŷ = 1.7 + 4.35·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 1.7 + 4.35·3 = 14.75

अवशिष्ट

e = 12 − 14.75 = −2.75

उत्तर

e = −2.75

बिंदु रेखा के नीचे है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 5.531

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

शहरी: 80·54/180 = 24, 80·54/180 = 24, 80·72/180 = 32
ग्रामीण: 100·54/180 = 30, 100·54/180 = 30, 100·72/180 = 40

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (18 − 24)²/24 + (23 − 24)²/24 + (39 − 32)²/32 + (36 − 30)²/30 + (31 − 30)²/30 + (33 − 40)²/40
χ² = 5.531

उत्तर

χ² = 5.531

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 47.82

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

आयु 18–30: 50, 50
आयु 31–50: 50, 50
आयु 51+: 20, 20

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (67 − 50)²/50 + (33 − 50)²/50 + (52 − 50)²/50 + (48 − 50)²/50 + (1 − 20)²/20 + (39 − 20)²/20
χ² = 47.82

निर्णय

df = 2, χ²crit = 5.991
47.82 > 5.991

उत्तर

χ² = 47.82

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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